【推荐】专题12-2+古典概型与几何概型-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

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‎1.【2017山东，理8】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是[KS5UKS5U.KS5U ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【考点解读】本题考查古典概型。古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题。但是作为理科试卷，命题者绝对不会放过排列组合的考查机会。‎ ‎2.【2017江苏，7】 记函数的定义域为.在区间上随机取一个数,则的概率是 ▲ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】解得,在区间上随机取一个数，的事件记为A，则 ‎【考点解读】本题考查几何概型概率。几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．本题涉及到一维的变量，研究实数所分布的区间，因此本题属于几何概型。‎ ‎3.（2016年高考新课标Ⅱ卷理）从区间随机抽取个数,，…，，，‎ ‎，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】从区间随机抽取两个数字，满足，点分布在边长为1的正方形内部，那么对于满足的点，必定落在圆内部，‎ 所以， 落在圆中的点的概率等于圆形的面积和正方形的面积比为，所以.选C.‎ ‎【考点解读】本题考查了 几何概型. 因为点的个数无法计算，而落点位置又是随机出现等可能，因此属于几何概型，其次本题涉及两个变量，属于二维变量，因此考虑二维平面区域的面积。 ‎ ‎4.【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【考点解读】本题考查了的是几何概型。《太极图》据传是宋朝道士陈抟所传出，‎ 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.数学新课标把数学文化的考查放在一个重要地位，值得关注。‎ ‎5（2016年高考新课标Ⅰ卷理）某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】B ‎【解析】因为小明在7:50至8:30之间到达发车站，‎ 所以小明到达车站的时间跨度一共为40分钟长，‎ 等待不超过10分钟的时间跨度为7:50~8:00，或者8:20~8:30，小 明等车时间不超过10分钟的概率为．故选B．‎ ‎【考点解读】本题考查了几何概型，这是全国卷首次考查几何概型,本题涉及的变量只有时间一个量，属于一维变量，因此可以通过数轴来求解。学科@网 ‎6．（2016年高考江苏卷）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点解读】本题考查古典概型概率.古典概型计算难点在于所研究的基本事件个数，当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.‎ ‎7.（2016年高考天津卷理）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率 ‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】从这10人中随机选出2人的基本事件总数,‎ 出的2人参加义工活动次数之和为4,即从活动次数为1次3人中选1人，在活动次数为3的4人中选出1人，或活动次数为2次的3人中选出2人，合计有,‎ 所以事件A发生的概率是 所以，事件发生的概率为.‎ ‎【考点解读】本题考查古典概型与排列组合。古典概型的概率计算关键是求对事件包含的基本事件数，本题事件A包含两类子事件，需要仔细分析。‎ 考纲内容 内容细化 概率 内容 A B C[KS5UKS5U][KS5UKS5U]‎ 古典概型 ‎√‎ 几何概型 ‎√‎ 知识点1　古典概型的两大特点 ‎1.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2‎ ‎2.每个基本事件出现的可能性相等 知识点2　 古典概型的概率计算公式 ‎ 通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率: ‎ ‎；‎ ‎ 知识点3　几何概型的定义 对于一个随机试验，将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域D 内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而每一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域d中的点，这里的区域可以是线段、平面图形等，用这种方法处理随机试验，称为几何概型 ‎ 知识点4几何概型的概率公式 一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为 知识点5几何概型概率的性质 ‎（1）由公式可知概率只与D、d的测度有关，且与d的测度成正比.‎ ‎（2）因为测度都不小于零，且d的测度一定不大于D的测度，所以.‎ ‎（3）概率与d的形状和位置无关，当D、d的测度一定，则概率也确定.‎ 知识点6 几何概型与古典概型的联系与区别 类型 不同点 相同点 古典概型 基本事件是有限个 基本事件发生的可能性都相等。概率的范围都是 几何概型 基本事件是无限个 从本质上讲，几何概型和古典概型的概率的计算方法都是一样的，只不过是几何概型中的基本事件是不可数的，但是我们只要把这些事件看做区域内的点，用这些点所能分布的区域来代替数量的多少，计算所占的比例，便可得到相应的概率。‎ 题型一　简单的实际应用的古典概型 典例1. 【江苏省南京市2017届高三上学期学情调研卷数学试题】某单位要在4名员工（含甲、乙两人）中随机选2名到某地出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是 ▲ ．‎ ‎【答案】 ‎【解析】在4名员工（含甲、乙两人）中随机选2名 有，甲、乙两人都没选的方法是 所以．‎ ‎2.‎ ‎ 【河北省承德二中2018届高三上学期第一次月考】为应对电信诈骗，工信部对微信、支付宝等网络支付进行规范，并采取了一些相应的措施，为了调查公众对这些措施的看法，某电视台法制频道节目组从2组青年组，2组中年组2，2组老年组中随机抽取2组进行采访了解，则这2组不含青年组的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设2组青年组的编号分别为1,2,2组中年组的编号分别为3,4,2组老年组的编号为5,6，则从中抽取两组所有的情况为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），‎ ‎（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6），共15种，‎ 其中不含青年组的情况有6种，故所求概率为 ‎3．【2017年第三次全国大联考江苏卷】从甲、乙、丙、丁四个人中随机选取两人，则甲、乙两人有且仅有一人被选中的概率是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 4．【南京市2017届高三第三次模拟考试】甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球的方法有8种，乒乓球的编号之和大于6是1+6,2+6，2+5三种，所以概率为 ‎【变式训练】‎ ‎1. （2016年高考新课标Ⅲ卷文）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】C ‎【解析】开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C．‎ ‎2（2016年高考新课标Ⅱ卷文）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.‎ ‎3【南通市2017届高三年级第四次模拟考试6】口袋中有形状大小都相同的2只白球和1只黑球. 先从口袋中摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出一只球，则出现“1只白球，1只黑球”的概率为 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】记“1只白球，1只黑球”为A，1只白球，1只黑球：白1，黑；白2，黑；黑，白1；黑，白2，合计四种情况. 学科@网 ‎4（2016年高考上海卷文）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.‎ ‎【答案】‎ 解题技巧与方法总结 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．‎ ‎(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．‎ ‎(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.‎ 题型二　学科内综合的古典概型问题 ‎ 典例 ‎ 1．【扬州市2017届高三考前调研测试4．】在区间内任取一个实数, 则满足的概率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】数m分布在区间内，分布在内的数占，如图。‎ ‎2.（2016年高考四川卷文）从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率= .‎ ‎【答案】‎ ‎ 3.【盐城市2017届高三年级第三次模拟考试5】甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88、89、90；乙组：87、88、92. 如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从甲、乙两组中随机选取一名的方法是9种，这两名同学的成绩，的有只有一个，即88-92，所以这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是学科@网 ‎ ‎ ‎【变式训练】‎ ‎1 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量,,则向量的概率为________.‎ ‎【解析】因为向量，所以所以，满足条件的有3个：，所以.‎ ‎2.,,则 的概率是 ‎ ‎【解析】有序实数对的取值情形共有种，满足的情形有：‎ ‎1）此时；‎ ‎2）此时;‎ ‎3)此时.所以 的概率为 ‎ ‎ ‎3. 先后随机投掷2枚正方体骰子，其中表示第枚骰子出现的点数，表示第枚骰子出现的点数．（1）求点在直线上的概率； （2）求点满足的概率．‎ ‎（1）每颗骰子出现的点数都有种情况，所以基本事件总数为个. ‎ 记“点在直线上”为事件，有5个基本事件：‎ ‎， ‎ ‎（2）记“点满足”为事件，则事件有个基本事件: 当时，当时，；当时，；当时， 当时，；当时，． ‎ ‎4. 如图，在边长为3m的正方形中随机撒3000粒豆子，有800粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为　 　m2．‎ 解题技巧与方法总结 古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ 题型三、与长度有关的几何概型 典例 ‎1.【珠海市2017-2018学年度第一学期高三摸底考试】3.如图在中，在线段上任取一点，恰好满足的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】,所以学科@网 ‎2. （2016年高考山东卷理）在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【变式训练】‎ ‎1. 设,则在区间上随机取一个数，使的概率为 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】D区域为，长度为，由得，区间长度为4，则 ‎2. 假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00---7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30---7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ 3. 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为_______.(用数字作答)‎ ‎【解析】用 x 表示小王到校的时间，30≤x≤50，用 y 表示小张到校的时间，30≤y≤50，则所有可能的结果对应的直角坐标系中的正方形 ABCD 区域，小张比小王至少早 5分钟到校，即 x－y≥5，所对应的区域为△BEF，所以 .‎ 解题技巧与方法总结 首先要判断所研究变量是一维还是二维，即事件发生需要一个量，即一维，用长度来度量；‎ 其次分析不加限制条件时的范围区间长度D；‎ 第三分析所研究的事件区间D在相应的长度d 第四，计算d占据D的比例，即概率 题型四、 与面积有关的几何概型 典例 ‎ ‎1.【2017-2018第一学期宝安区高三调研测试卷】2．某居民小区为如图所示矩形ABCD，A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF，若在该小区内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是 (注：该小区内无其他信号来源, 基站工作正常).‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】扇形区域面积是半圆的面积,矩形面积是 所以，该地点无信号的概率是 ‎ ‎2.【百校联盟2018届TOP20九月联考(全国Ⅱ卷)】太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎3. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知是集合所表示的区域，是集合所表示的区域，向区域内随机的投一个点，则该点落在区域内的概率为 ． ‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】的区域是单位圆及其内部， 的区域是阴影区域，大小是半个圆，该点落在区域内的概率为 ‎【变式训练】‎ ‎1.在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P(x，y)，则| x |+| y | ≤ 2的概率为 . ‎ ‎【答案】D ‎ 2.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】“小波周末不在家看书”即“去看电影”或“去打篮球”，它们为互斥事件，去看电影的概率为去打篮球的概率为，则小波周末不在家看书的概率为. ‎ ‎3(原创)已知函数和直线的图象围成一个封闭的平面图形ABCD，如图，则在四边形ABCD内取点，能满足不等式的点的概率是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（法1）根据三角函数图象的对称性可知，图中阴影部分面积是长为，宽为2的矩形面积的一半，。‎ 所以满足不等式的点的概率是 ‎（法2）根据三角函数图象的对称性可知，图中阴影部分面积是矩形面积的一半，。 ‎ 解题技巧与方法总结 ‎1．涉及两个独立变量的时候，可用点（x,y）表示，把单独变量的长度问题转化为平 面图形的二维面积问题，即面积有关的几何概型问题.‎ ‎2.两个区域面积之比就是事件发生的概率 ‎ 题型五、 与体积有关的几何概型 典例1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1内有一个内切球O，在正方体内任取一点M，则M落在球O内的概率是_________.‎ ‎【解析】设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，则正方体的体积为，内切球的体积为，故M在球O内的概率为.‎ ‎【变式训练】‎ 1. 一个棱长为2cm正方体容器的，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个SARS病毒，从中任取1ml水，含有SARS病毒的概率是___________.‎ ‎【答案】：‎ 解题技巧与方法总结 ‎ 1.解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可．‎ ‎2.几何概型的概率公式 课本典例解析与变式 例1. ‎ ‎1. 【必修2P101例题1】取一个边长为的正方形里有一内切圆如右图示，随机地向正方形内丢一颗豆子，求豆子落入圆内的概率？‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】记“豆子落在圆内”为A，有几何概型的概率的计算公式，‎ 得。 ‎ ‎【原题解读】本题考查几个概型。把“向正方形中撒豆子”看做试验，把“豆子落在内切圆”‎ 看成随机事件A，则落在内切圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数的比值就是事件A发生的频率，当我们撒一大把豆子时，这时频率就可以近似地看作事件A的概率.‎ ‎2.【必修二102例题2】在100ml小麦种子里面混入一粒带带铁锈的种子，从中随机取出10ml，含有带铁锈的种子的概率是多少？‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取出10ml 的麦种，其中“带病的种子”这一事件记为A，则 ‎【原题解读】本题考查了几何概型，从体积角度看所占比例，可以获得所求概率。‎ 变式1. 取一个边长为2的正方形里有一内切圆，假如向正方形内撒100粒豆子，其中有78颗豆子落在内切圆中,据此估计圆周率的值.‎ ‎ ‎ ‎2.【必修二97练习4】连续3次抛掷同一颗骰子，求3次抛掷的点数之和16的概率。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】“3次抛掷的点数之和16”的事件记为A，‎ ‎【课本回眸反思】‎ ‎ 1. 注重运用概念思考解决教材中的例题，例题常常是高考题目生成和变化的源头；‎ ‎2. 在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；‎ ‎3． 解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。‎ 1. 欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】记“油正好落入孔中”为A，有几何概型的概率的计算公式，得 ‎2【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）‎ ‎ A．1 B. C. D. ‎ ‎【答案】．‎ ‎ 3【2015高考陕西，理11】设复数，若，则的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】所以 如图可求得A(1,1),B(1,0),阴影面积等于 若，则y≥x的概率是，故选B.‎ ‎4.【2015高考湖北，理7】在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 （ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎5【2015江苏高考，5】袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎6.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的 木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截 取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）‎ A. ①②③‎ B. ①②③‎ C. ①②③‎ D. ①②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】程序运行过程中，各变量值如下表所示：‎ 第1次循环：，‎ 第2次循环：，‎ 第3次循环：，…‎ 依此类推,第7次循环：，‎ 此时不满足条件，退出循环，‎ 其中判断框内①应填入的条件是：i⩽128?，‎ 执行框②应填入：，‎ ‎③应填入：i=2i.‎ 本题选择B选项.‎ ‎7. （2016年高考北京卷文）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎ ‎