数学卷·2018届黑龙江、吉林两省八校联考高二上学期期中数学试卷（文科）+（解析版）

数学卷·2018届黑龙江、吉林两省八校联考高二上学期期中数学试卷（文科）+（解析版）

‎2016-2017学年黑龙江、吉林两省八校联考高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．“x2＞16”是“x＞4”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．抛物线y2=6x的焦点到准线的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3．若f（x）=xcosx，则函数f（x）的导函数f'（x）等于（　　）‎ A．1﹣sinx B．x﹣sinx C．sinx+xcosx D．cosx﹣xsinx ‎4．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎5．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则=（　　）‎ A．3 B． C． D．2‎ ‎6．曲线f（x）=x2+2x﹣ex在点（0，f（0））处的切线的方程为（　　）‎ A．y=x﹣1 B．y=x+1 C．y=2x﹣1 D．y=2x+1‎ ‎7．P为抛物线y2=﹣4x上一点，A（0，1），则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设函数f（x）=﹣lnx的导函数为f'（x），则f'（x）最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左，右焦点为F1，F2，P是双曲线C上的一点，PF1与x轴垂直，△PF1F2的内切圆方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则双曲线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设命题p：函数f（x）=3x﹣在区间（1，）内有零点；命题q：设f'（x）是函数f（x）的导函数，若存在x0使f'（x0）=0，则x0为函数f（x）的极值点．下列命题中真命题是（　　）‎ A．p且q B．p或q C．（非p）且q D．（非p）或q ‎11．已知函数f（x）=kx2﹣lnx，若f（x）＞0在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线的两条渐近线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于2（a+），则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（1，2） B．（，2） C．（1，） D．（，）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．‎ ‎13．命题p：∀x∈R，cosx＞sinx﹣1的否定为　　．‎ ‎14．抛物线x2=3y上一点A的纵坐标为，则点A到此抛物线焦点的距离为　　．‎ ‎15．若函数f（x）=在x=x0处取得极值，则x0=　　．‎ ‎16．椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，下顶点为C，若直线AB与直线CF的交点为（3a，16），则椭圆的标准方程为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．求双曲线C：﹣=1的焦点坐标、实轴长、虚轴长及渐近线方程．‎ ‎18．已知函数f（x）=x﹣﹣lnx的导函数为f'（x）．‎ ‎（1）解不等式：f'（x）＜2；‎ ‎（2）求函数g（x）=f（x）﹣4x的单调区间．‎ ‎19．已知命题p：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；命题q：不等式x2+ax+2＜0有解．若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．‎ ‎20．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=x﹣8与此抛物线交于A、B两点，与x轴交于点C，O为坐标原点，若=3．‎ ‎（1）求此抛物线的方程；‎ ‎（2）求证：OA⊥OB．‎ ‎21．设函数f（x）=x2ex．‎ ‎（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；‎ ‎（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．‎ ‎22．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率为且过点（，0），过定点C（﹣1，0）的动直线与该椭圆相交于A、B两点．‎ ‎（1）若线段AB中点的横坐标是﹣，求直线AB的方程；‎ ‎（2）在x轴上是否存在点M，使•为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年黑龙江、吉林两省八校联考高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．“x2＞16”是“x＞4”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．‎ ‎【解答】解：由x2＞16，解得：x＞4或x＜﹣4，‎ 故x2＞16是x＞4的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．抛物线y2=6x的焦点到准线的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由抛物线的方程求得焦点坐标及准线方程，即可求得焦点到准线的距离．‎ ‎【解答】解：由抛物线y2=6x焦点坐标为（，0），‎ 准线方程为：x=﹣，‎ ‎∴焦点到准线的距离﹣（）=3，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．若f（x）=xcosx，则函数f（x）的导函数f'（x）等于（　　）‎ A．1﹣sinx B．x﹣sinx C．sinx+xcosx D．cosx﹣xsinx ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据导数的运算法则计算即可．‎ ‎【解答】解：f（x）=xcosx，则函数f（x）的导函数f'（x）=cosx﹣xsinx，‎ 故选：D ‎　‎ ‎4．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线方程求出焦点坐标及一条渐近线方程，在由点到直线的距离公式求得答案．‎ ‎【解答】解：由双曲线﹣=1，得 a2=2，b2=3，c2=a2+b2=5，‎ ‎∴双曲线的右焦点F（，0），‎ 一条渐近线方程为y==x，即2y﹣x=0．‎ 由点到直线的距离公式得，焦点到其渐近线的距离d==．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则=（　　）‎ A．3 B． C． D．2‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得： =，解出即可得出．‎ ‎【解答】解：由题意可得： =，解得=2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．曲线f（x）=x2+2x﹣ex在点（0，f（0））处的切线的方程为（　　）‎ A．y=x﹣1 B．y=x+1 C．y=2x﹣1 D．y=2x+1‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到切线的方程．‎ ‎【解答】解：f（x）=x2+2x﹣ex的导数为f′（x）=2x+2﹣ex，‎ ‎∴f′（0）=1‎ ‎∵f（0）=﹣1‎ ‎∴曲线f（x）=x2+2x﹣ex在点（0，f（0））处的切线的方程为y=x﹣1．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．P为抛物线y2=﹣4x上一点，A（0，1），则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】通过抛物线方程可知焦点F（﹣1，0），利用两点间距离公式可知|AF|=，通过抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值．‎ ‎【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣4x，‎ ‎∴焦点F（﹣1，0），‎ 又∵A（0，1），‎ ‎∴|AF|==，‎ 由抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，‎ ‎∴d+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．设函数f（x）=﹣lnx的导函数为f'（x），则f'（x）最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】两次求导，根据导数的和函数的最值的关系即可求出．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=﹣lnx的导函数为f'（x）=﹣，‎ ‎∴f″（x）=﹣+=，‎ 令f″（x）=0，解得x=16，‎ 当0＜x＜16时，f″（x）＞0，函数f′（x）单调递增 当x＞16时，f″（x）＜0，函数f′（x）单调递减，‎ 故f'（x）max=f′（16）=，‎ 故选：A ‎　‎ ‎9．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左，右焦点为F1，F2，P是双曲线C上的一点，PF1与x轴垂直，△PF1F2的内切圆方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则双曲线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得：△PF1F2的内切圆圆心C（﹣1，1），半径为r=1，由丨OF1丨=2r=2，即可求得c，根据双曲线的性质，求得丨PF1丨=，丨PF2丨=2a+，丨F1F2丨=2c=4，由内切圆的半径公式径r==2﹣a=1，即可求得a，则b2=c2﹣a2=3求得双曲线方程．‎ ‎【解答】解：，△PF1F2的内切圆方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆心C（﹣1，1），半径为r=1，‎ ‎∴丨OF1丨=2r=2，‎ P（﹣2，），‎ ‎∴丨PF1丨=，由双曲线的定义可知：丨PF2丨=2a+，丨F1F2丨=2c=4，‎ 由三角形的内切圆的半径r==2﹣a=1，‎ 则a=1，‎ 由b2=c2﹣a2=3‎ ‎∴双曲线方程为：，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．设命题p：函数f（x）=3x﹣在区间（1，）内有零点；命题q：设f'（x）是函数f（x）的导函数，若存在x0使f'（x0）=0，则x0为函数f（x）的极值点．下列命题中真命题是（　　）‎ A．p且q B．p或q C．（非p）且q D．（非p）或q ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】先判断命题p，q的真假，再由复合命题真假判断的真值表判断四个复合命题的真假，可得答案．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=3x﹣在区间（1，）上连续，‎ 且f（1）=﹣1＜0，‎ f（）=3﹣＞0，‎ 故命题p：函数f（x）=3x﹣在区间（1，）内有零点为真命题；‎ 若存在x0使f'（x0）=0，则x0可能不是函数f（x）的极值点．‎ 故命题q：设f'（x）是函数f（x）的导函数，若存在x0使f'（x0）=0，则x0为函数f（x）的极值点为假命题；‎ 故p且q，（非p）且q，（非p）或q为假命题；‎ p或q为真命题，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=kx2﹣lnx，若f（x）＞0在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】求出原函数的导函数，利用导数求得函数的最小值，由最小值大于0求得k的范围．‎ ‎【解答】解：由f（x）=kx2﹣lnx（x＞0），得f′（x）=2kx﹣=，‎ 当k≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，‎ 又当x→+∞时，f（x）→﹣∞．不满足f（x）＞0在函数定义域内恒成立；‎ 当k＞0时，由f′（x）=0，解得x=±．‎ 当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．‎ ‎∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，‎ ‎∴==．‎ 由＞0，得ln＜，即k＞．‎ ‎∴k的取值范围是（∞），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线的两条渐近线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于2（a+），则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（1，2） B．（，2） C．（1，） D．（，）‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得•=﹣1，求出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于2（a+），建立不等式关系，结合双曲线离心率的定义，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意可得D为△ABC的垂心，‎ 即有AD⊥BC，即D在x轴上，‎ 令x=c，可得y2=b2（﹣1），‎ 解得y=±，‎ 可设B（c，），C（c，﹣），‎ 由BD⊥AC，可得kBD•kAC=﹣1，‎ 由题意，A（a，0），‎ 设D（x，0），则由BD⊥AB得•=﹣1，‎ ‎∴c﹣x=，‎ ‎∵D到直线BC的距离小于2（a+）=2（a+c），‎ ‎∴c﹣x=||＜2（a+c），‎ ‎∴＜2（c2﹣a2）=2b2，‎ ‎∴（）2＜2，‎ 则b2＜2a2，‎ 即c2﹣a2＜2a2，‎ 则c2＜3a2，‎ c＜a，‎ 即1＜e＜，‎ 则曲线的离心率的取值范围是（1，），‎ 故选：C ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．‎ ‎13．命题p：∀x∈R，cosx＞sinx﹣1的否定为　∃x∈R，cosx≤sinx﹣1　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，cosx＞sinx﹣1的否定为∃x∈R，cosx≤sinx﹣1‎ 故答案为：∃x∈R，cosx≤sinx﹣1；‎ ‎　‎ ‎14．抛物线x2=3y上一点A的纵坐标为，则点A到此抛物线焦点的距离为　2　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线方程求得其准线方程，由题意可得：点A到此抛物线焦点的距离为+=2．‎ ‎【解答】解：由抛物线x2=3y的焦点在x轴上，准线方程为：y=﹣，‎ 由A的纵坐标为，‎ ‎∴点A到此抛物线焦点的距离为+=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．若函数f（x）=在x=x0处取得极值，则x0=　3　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】求得函数f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间．进而得到函数的极大值点，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=的导数为f′（x）==，‎ 由x＞3时，f′（x）＜0，可得f（x）在（3，+∞）递减；‎ 由x＜3时，f′（x）＞0，可得f（x）在（﹣∞，3）递增．‎ 即有f（x）在x=3处取得极大值．‎ 由题意可得x0=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎16．椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，下顶点为C，若直线AB与直线CF的交点为（3a，16），则椭圆的标准方程为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得：直线AB，CF的方程分别为： =1， =1，把（3a，16）代入上述方程可得： =1， =1，又a2=b2+c2，联立解得即可得出．‎ ‎【解答】解：由题意可得：直线AB，CF的方程分别为： =1， =1，‎ 把（3a，16）代入上述方程可得： =1， =1，又a2=b2+c2，‎ 联立解得a=5，b=4，‎ ‎∴椭圆的标准方程为：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．求双曲线C：﹣=1的焦点坐标、实轴长、虚轴长及渐近线方程．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线方程可知：a2=8，b2=12，c2=20，求得a，b和c的值，即可求得焦点坐标、实轴长、虚轴长及渐近线方程．‎ ‎【解答】解：由双曲线C：﹣=1，‎ ‎∴a2=8，b2=12，c2=20，‎ ‎∴…‎ ‎∴焦点为，实轴长为，虚轴长为，‎ 渐近线方程为…‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=x﹣﹣lnx的导函数为f'（x）．‎ ‎（1）解不等式：f'（x）＜2；‎ ‎（2）求函数g（x）=f（x）﹣4x的单调区间．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）首先对f（x）求导，根据题意转化为不等式方程求解即可；‎ ‎（2）首先列出g（x）的表达式，直接利用导数研究函数的单调性区间即可；‎ ‎【解答】解：（1）对f（x）求导后：，‎ ‎∴由f'（x）＜2，即得，‎ ‎∴x2+x﹣2＞0 （x＞0），‎ ‎∴x＞1，则f'（x）＜2的解集为（1，+∞）．‎ ‎（2）g（x）=f（x）﹣4x=﹣3x﹣﹣lnx，‎ 则g'（x）=﹣3+﹣=，‎ ‎∴0＜x＜时，g'（x）＞0；x＞时，g'（x）＜0，‎ ‎∴g（x）的单调增区间为，单调减区间为．‎ ‎　‎ ‎19．已知命题p：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；命题q：不等式x2+ax+2＜0有解．若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】由已知可得∈[2，3]，而由不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立可得a2﹣5a﹣3≥3，解不等式可求a的范围，即P的范围；由不等式x2+ax+2＜0有解，可得△=a2﹣8＞0，可求q的范围，结合p真，q假可求 ‎【解答】解：∵m∈[﹣1，1]，‎ ‎∴∈[2，3]．‎ ‎∵对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，可得a2﹣5a﹣3≥3，‎ ‎∴a≥6或a≤﹣1．‎ 故命题p为真命题时，a≥6或a≤﹣1．‎ 又命题q：不等式x2+ax+2＜0有解，‎ ‎∴△=a2﹣8＞0，‎ ‎∴a＞2或a＜﹣2．‎ 从而命题q为假命题时，﹣2≤a≤2，‎ ‎∴命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为﹣2≤a≤﹣1．‎ ‎　‎ ‎20．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=x﹣8与此抛物线交于A、B两点，与x轴交于点C，O为坐标原点，若=3．‎ ‎（1）求此抛物线的方程；‎ ‎（2）求证：OA⊥OB．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由抛物线y2=2px（p＞0），焦点F（，0），C（8，0），由=3，可得3×=8﹣，即可求得p的值，求得抛物线的方程；‎ ‎（2）将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理定理可知：y1y2=﹣64，代入求得x1x2，由•=x1x2+y1y2=0，可知⊥，因此OA⊥OB．‎ ‎【解答】解：（1）解：抛物线y2=2px（p＞0），焦点F（，0），‎ 直线y=x﹣8与x轴交于点C，即C（8，0），‎ ‎∵=3．即3•=8﹣，解得：p=4‎ ‎∴抛物线的方程为y2=8x…‎ ‎（2）证明：由，得y2=8（y+8），即y2﹣8y﹣64=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∴y1y2=﹣64，‎ 又，‎ ‎∴•=x1x2+y1y2=64﹣64=0，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴OA⊥OB…‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=x2ex．‎ ‎（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；‎ ‎（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f'（1），代入直线方程的点斜式得答案；‎ ‎（2）由f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，分离参数a，可得a＜xex，构造函数g（x）=xex，利用导数求其最小值可得a的取值范围；‎ ‎（3）由F（x）=0，得，当x＜0时方程不成立，可得F（x）的零点在（0，+∞）上，由函数单调性可得方程仅有一解x0，再由零点判定定理求得整数n的值．‎ ‎【解答】解：（1）f'（x）=（x2+2x）ex，‎ ‎∴f'（1）=3e，‎ ‎∴所求切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），即y=3ex﹣2e；‎ ‎（2）∵f（x）＜ax，对x∈（﹣∞，0）恒成立，∴，‎ 设g（x）=xex，g'（x）=（x+1）ex，‎ 令g'（x）＞0，得x＞﹣1，令g'（x）＜0得x＜﹣1，‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，0）上递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（3）令F（x）=0，得，‎ 当x＜0时，，‎ ‎∴F（x）的零点在（0，+∞）上，‎ 令f'（x）＞0，得x＞0或x＜﹣2，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）上递增，又在（0，+∞）上递减，‎ ‎∴方程仅有一解x0，且x0∈（n，n+1），n∈Z，‎ ‎∵，‎ ‎∴由零点存在的条件可得，则n=0．‎ ‎　‎ ‎22．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率为且过点（，0），过定点C（﹣1，0）的动直线与该椭圆相交于A、B两点．‎ ‎（1）若线段AB中点的横坐标是﹣，求直线AB的方程；‎ ‎（2）在x轴上是否存在点M，使•为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0），可得，a=，a2=b2+c2，解出可得椭圆的方程．直线斜率不存在时显然不成立，设直线AB：y=k（x+1），将AB：y=k（x+1）代入椭圆的方程，消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0，由线段AB的中点的横坐标为，解得k，即可得出．‎ ‎（2）假设在x轴上存在点M（m，0），使得MA•MB为常数，‎ ‎①当直线AB与x轴不垂直时，利用根与系数的关系与数量积运算性质可得•=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2，即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0），‎ ‎∴，a=，a2=b2+c2，‎ 解得a=，c=，b2=．‎ ‎∴椭圆的方程为x2+3y2=5，‎ 直线斜率不存在时显然不成立，设直线AB：y=k（x+1），‎ 将AB：y=k（x+1）代入椭圆的方程，消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，‎ ‎∵线段AB的中点的横坐标为，解得，‎ ‎∴直线AB的方程为．‎ ‎（2）假设在x轴上存在点M（m，0），使得MA•MB为常数，‎ ‎①当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知，‎ ‎∴•=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2=，‎ ‎∵•是与k无关的常数，从而有，‎ 此时•=．‎ ‎②当直线AB与x轴垂直时，此时结论成立，‎ 综上可知，在x轴上存在定点，使，为常数．‎ ‎　‎ ‎2016年12月1日