2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）人教版

2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）人教版

‎2019学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）‎ 一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）．‎ 已知、、均为实数，，为确定实数．写成下列各问题：‎ ‎（可用字母与符号：、、、、、、、、）‎ ‎1．设命题为：“”，表述命题：__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵的否这是：，‎ ‎∴若为：，则．‎ ‎2．设命题为：“”，用字母与符号表述命题“、均为非零实数”：__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】“、均为非零实数”，即“，”，‎ 又命题“”，命题为：“”，故用字母符号表述命题：“、均为非零实数”为：．‎ ‎3．已知增函数，命题“，”，是：__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题“，”，‎ 则是：，．‎ - 12 -‎ ‎4．某学生三好学生的评定标准为：‎ ‎（）各学科成绩等级均不低于等级，且达及以上等级学科比例不低于；‎ ‎（）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%；‎ ‎（）体育学科综合成绩不低于分．‎ 设学生达及以上等级学科比例为，学生的品德被投票评定为优秀比例为，学生的体育学科综合成绩为．用表示学生的评定数据．‎ 已知参评候选人各学业成绩均不低于，且无违反学校规定行为．则：‎ ‎（）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．‎ ‎① ② ③ ④‎ ‎（）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________．‎ ‎【答案】（）②④（）‎ ‎【解析】（）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是，低于，不能被评三好学生，充分性不成立；‎ 对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是，必要性不成立，故②符合题意；‎ 对于③，由，，，得，故是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；‎ 对于④，由③知是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意．‎ 综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．‎ ‎（）由（）可知，是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：．‎ 二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分）‎ 已知单位正方形，点为中点．‎ ‎1．设，，以为基底．‎ 表示：（）__________；（）__________．‎ ‎【答案】（）．（）．‎ ‎【解析】（）在，，， 为中点，‎ ‎∴．‎ - 12 -‎ ‎（）．‎ ‎2．以为原点，分别以、、为、、轴，建立空间直角坐标系，则：‎ ‎（）点坐标为__________．‎ ‎（）若点满足：在直线上，且面，则点坐标为__________．‎ ‎【答案】（）．（）．‎ ‎【解析】（）∵是单位正方体，‎ ‎∴棱长为，‎ ‎∴，，‎ ‎∴由中点坐标公式得．‎ ‎（）易知当为中点时，，从而平面，‎ ‎∴．‎ 以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像）‎ ‎3．求直线与所成的角．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：设直线与平面所成的角为，‎ ‎∵，，，，‎ ‎∴，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，令，则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即直线与平面所成的角为．‎ ‎4．求二面角的大小．‎ ‎【答案】见解析．‎ - 12 -‎ ‎【解析】解：设平面的一个法向量为，‎ 则，即，令，则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴由知平面的法向量，‎ ‎∴，‎ 故二面角的大小为．‎ ‎5．过点与直线所成角为，且与平面所成角为的直线条数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过点与直线所成角为，且与平面所成角为的直线条数与过与直线所成角为，且与平面所在的角为的直线条数相同，过与直线所成角为的直线为以为项点，以为轴线的圆锥的母线，过且与平面所成角为的直线是以为顶点，以为轴线，顶角为的圆锥的母线，由于，所以，故这两个圆锥曲面的相交，有条交线，从而过点与直线所成角为，且与平面所成角为的直线条数为．‎ ‎6．设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点的平面组为：面、面、面．正方体内（含表面）有一动点，到共点于的三个面的距离依次为、、．‎ ‎（）写出一个满足的点坐标__________．（按题建系）‎ ‎（）若一个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于，则该点轨迹图形的体积为：__________．‎ - 12 -‎ ‎【答案】（）．（）．‎ ‎【解析】（）设，则到平面的距离为，到平面的距离为，到平面的距离为，故由得，故任写一个满足的坐标即可，．‎ ‎（）若点到共顶点的平面组的距离和，则点位于平面上，若点到共顶点的平面组的距离和，则位于正方体除去三棱锥剩余的几何体内，因此，若一个点到每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于，则点位于正方体削去如图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积．‎ 三、本大题共4小题共计总分41分．（填空1，3（1）每小题4分，3（3），（4）每小题2分，其余各填空题每题3分，共12小题，合计36分，4（1）题赋分最高5分）‎ 圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图）‎ ‎1．写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称：__________．‎ ‎【答案】圆，椭圆，双曲线，抛物线．‎ ‎【解析】因垂直于锥面的平面去截圆锥，得到的是圆，得平面逐渐倾斜，得到椭圆，当平面倾斜得“和且仅和”‎ - 12 -‎ 圆锥的一条母线平行时，得到抛物线，用平行于圆锥的轴线的平面去截二次锥面可得到双曲线，故圆中不同类型的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线．‎ ‎2．直角坐标系，圆锥曲线的方程，为原点．（如图）‎ ‎（）为获得（如图）中用与圆锥轴线垂直方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取 __________；‎ ‎（）为获得（如图）中用与圆锥轴线平行方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取 __________；‎ ‎（）上问（）中，对应取定值的曲线，其离心率 __________；‎ ‎（）上问（）中，对应取定值的曲线，其渐近线方程是__________；‎ ‎（）为得到比（）中开口更大同类曲线，写出一个新取值__________．‎ ‎【答案】（）．（）．（）．（）．（）．‎ ‎【解析】（）若用垂直于圆锥轴线的平面截得的圆锥曲线是圆，此时．‎ ‎（）用与圆锥轴线平行方向的平面截得的圆锥曲线是双曲线，此时，故可取．‎ ‎（）当时，圆锥曲线的方程为，此时，，，故其离心率．‎ ‎（）由（）知，双曲线的渐近线方程为：．‎ ‎（）双曲线的离心率越大，开口越大，对于，要使离心率大于，则，故可取．‎ ‎3．同2小题中曲线条件，且曲线为椭圆，设、为两个焦点，点在曲线上．‎ ‎（）若焦点在轴上，可取__________；‎ ‎（）描述3（1）中椭圆至少两个几何特征：‎ ‎①__________；②__________．‎ ‎（）若，则的周长为__________；‎ ‎（）若是以为斜边的等腰直角三角形（如图），则椭圆的离心率__________．‎ - 12 -‎ ‎【答案】（）．‎ ‎（）①椭圆落在，围成的矩形中；‎ ‎②图象关于轴，轴，原点对称．‎ ‎（）．‎ ‎（）．‎ ‎【解析】（）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，故可取．‎ ‎（）①对于椭圆的几何性质有：的取值范围是，的取值范围是，椭圆位于直线，围成的矩形中；从图形上看：椭圆关于轴，轴，原点对称，既是轴对称图象，又是中心对称图形；椭圆的四个顶点分别是，，，，离心率，长半轴长为，短半轴长为，焦距为等，任写两个几何特证即可．‎ ‎（）若，则椭圆的方程为，‎ 此时，，，由椭圆的定义可知，‎ 若在曲线上，则，‎ 故的周长为．‎ ‎（）若是以为斜边的等腰直角三角形，‎ 则，即，又，‎ 得，故，‎ 解得，又，故．‎ - 12 -‎ ‎4．直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．‎ 同小题中曲线条件，且，直线过曲线的上焦点，与椭圆交于点、．‎ ‎（）下面的三个问题中，直线分别满足不同的前提条件，选择其中一个研究．‎ ‎（三个问题赋分不同，若对多个问题解答，只对其中第一个解答过程赋分）‎ ‎①直线斜率为，求线段的长．‎ ‎②，求直线的方程．‎ ‎③当面积最大时，求直线的方程．‎ 我选择问题__________，研究过程如下：‎ ‎（）梳理总结你的研究过程，你使用主要的知识点、研究方法和工具（公式）有：__________（至少个关键词）．‎ ‎（）在题题干同样条件下，自构造一个几何图形，并自定一个相关的几何问题（无需解）．‎ ‎（在图中绘制出该几何图形，用正确的符号和文字描述图形的已知条件，并准确简洁叙述待研究的几何问题．无需解答，描述不清晰和不准确的不得分，绘制图像与描述不匹配的不得分）__________．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（）①解：由题意可知直线的方程为，‎ 椭圆的方程为，‎ - 12 -‎ 由得，‎ 设，，则由韦达定理得：，，‎ ‎∴线段．‎ ‎②解：易知直线的斜率一定存在，设直线，‎ 代入椭圆中得：，‎ 设，，则由韦达定理得：，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴直线的方程为：．‎ ‎③解：易知直线斜率一定存在，设直线，‎ 代入椭圆中得：，‎ 设，，则由韦达定理得：，，‎ ‎∴线段 ‎，‎ 又原点到直线的距离，‎ ‎∴的面积 ‎，‎ - 12 -‎ ‎∵，‎ ‎∵，当且仅当，即时，取等号，‎ ‎∴的面积最大为，此时直线的方程为：．‎ ‎（）函数与方程思想，不等式性质，弦长公式，根与系数关系，设而不求等．‎ ‎（）设直线的斜率为，若椭圆的下顶点为，‎ 求证：对于任意的，直线，的斜率之积为定值．‎ 四、本大题4小题，共计总分13分．（第2，3，4小题，每题3分，每1小题4分，合计13分）‎ 汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）．其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）．‎ 定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线．‎ 设计一款汽车前灯，已知灯口直径为，灯深（如图）．设抛物镜面的一个轴截面为抛物线，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为轴建立平面直角坐标系（如图）．‎ 抛物线上点到焦点距离为，且在轴上方．研究以下问题：‎ ‎1．求抛物线的标准方程和准线方程．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：设抛物线的方程为：，‎ 由于灯口直径为，灯深，故点在抛物线上，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴抛物线为标准方程为：，准线方程为．‎ - 12 -‎ ‎2．求点坐标．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：设点坐标为，，则，‎ ‎∵点到焦点的距离为，‎ ‎∴，得，‎ ‎∴，‎ 故点的坐标为．‎ ‎3．求抛物线在点处法线方程．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：设抛物线在点处的切线方程为：，‎ 则由，消去得：，‎ ‎，即，解得，‎ ‎∴抛物线在点处法线的斜率为，‎ 故抛物线在点处法线的方程为，即．‎ ‎4．为证明（检验）车灯的光学原理，从以下两个命题中选择其一进行研究：（只记一个分值）‎ ‎①求证：由在抛物线焦点处的点光源发射的光线经点反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．‎ ‎②求证：由在抛物线焦点处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．‎ 我选择问题__________，研究过程如下：‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】①证明：设关于法线的对称点，‎ 则在反射光线上，‎ 则，‎ 解得，‎ ‎∴反射光线过点，‎ - 12 -‎ 又∵点在反射光线上，‎ ‎∴反射光线的方程为，‎ 故由在抛物线焦点处的点光源经点发射，‎ 反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．‎ ‎②证明：设为抛物线上，任意一点，‎ 则抛物线在处切线方程为：，‎ 由得，‎ ‎，‎ 又代入上式化简得，‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线在处法线的斜率为，‎ 法线方程为，‎ 即，‎ 设关于在点处的法线的对称点为，‎ 则，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线在点处反射光线过，‎ 又∵反射光线过，‎ ‎∴反射光线所在直线方程为，‎ 故由在抛物线焦点处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，‎ 反射光线所在的直线平行于抛物线的对称轴．‎ - 12 -‎