数学文卷·2018届四川省成都市龙泉驿区第一中学校高二下学期入学考试（2017-02）

数学文卷·2018届四川省成都市龙泉驿区第一中学校高二下学期入学考试（2017-02）

成都龙泉中学高2016-2017学年度高二（下）入学考试卷 数 学（文）‎ 第Ⅰ卷 （选择题60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分。每小题只有一个选项符合题意 ‎1．已知是虚数单位，则复数等于（ ）‎ A B C D ‎2.已知集合,则（ ） ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.“”是方程表示椭圆的( )‎ ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ ‎ C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.对于R上可导函数，若满足，则必有( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎5．阅读右面的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S的值是(　　)‎ ‎ A．5 049 B．5 050 ‎ ‎ C．5 051 D．5 052‎ ‎6．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（ ）‎ A.60%，60 B.60%，80 C.80%，80 D.80%，60‎ ‎7．如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（　　）‎ ‎ ‎ ‎ A． cm2 B． cm2 C．8cm2 D．14cm2‎ ‎8.点在边长为1的正方形内运动，则动点到顶点的距离的概率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9.在中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，若，则是( )‎ ‎ A. 等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形 ‎ ‎ C. 直角三角形 D.等腰直角三角形 ‎10．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值范围是（　　）‎ ‎ A．（﹣1，5） B．（﹣∞，3） C．（3，+∞） D．（3，5）‎ ‎11.为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下：‎ 喜欢数学 不喜欢数学 总计 男 ‎40‎ ‎80‎ ‎120‎ 女 ‎40‎ ‎140‎ ‎180‎ 总计 ‎80‎ ‎220‎ ‎300‎ 并经计算：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 请判断有（ ）把握认为性别与喜欢数学课有关.D ‎ A．％ B． C． D． ‎ ‎12．若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（　　）‎ ‎ A．﹣2或2 B．或 C．2或0 D．﹣2或0‎ 第Ⅱ卷 （非选择题90分）‎ 二．填空题（本体包括4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________． ‎ ‎14．已知函数，若关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是　 ．‎ ‎15 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段： 后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在[70，80）内的人数是 ． ‎ 16． 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为_____________‎ 三．解答题（本体包括6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 在直角坐标系xOy中, 直线过点P（1, -5）, 且倾斜角为, 以原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 半径为4的圆C的圆心的极坐标为．‎ ‎（Ⅰ）写出直线的参数方程和圆C的极坐标方程;‎ ‎（Ⅱ）试判定直线和圆C的位置关系．‎ ‎18（12分）.在长丰中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.‎ ‎（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）求这两个班参赛的学生人数，并回答这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内.‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 已知函数， .‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）在中，内角，，所对边的长分别是，，，若，，，求的面积的值.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥p—ABCD中，底面ABCD为矩形，‎ PA⊥面ABCD，E为PD的中点. ‎ ‎（1）证明：PB//平面AEC;‎ ‎(2) 设AP=1，AD=,三棱锥P-ABD的体积V=，‎ 求A到平面PBC的距离.‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截的弦长．‎ ‎ ‎ ‎22.（本题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．是椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）当四边形面积取最大值时，求的值．‎ 成都龙泉中学高2016-2017学年度高二（下）入学考试卷 数 学（文）参考答案 ‎1-5 ACABA 6-10 CCCBD 11-12 BC ‎ ‎13. 14.[0，1）∪（2，+∞）　 15.30 16. ‎ ‎17.【解析】：（1）由已知得, 直线l的参数方程是 （t为参数）‎ 圆心C的直角坐标为（0, 4）.∴圆C的直角坐标方程为x2+（y-4） 2=16‎ 由得圆C的极坐标方程是ρ=8sin θ ‎（2）∵圆心的直角坐标是（0, 4） , 直线l的普通方程是x-y-5-=0‎ ‎∴圆心到直线l的距离∴直线l和圆C相离 ‎18.解析 （1）∵各小组的频率之和为，第一、三、四、五小组的频率分别是，，，‎ ‎∴第二小组的频率为：‎ ‎∴落在的第二小组的小长方形的高，则补全的频率分布直方图如图所示 ‎（2）设九年级两个班参赛的学生人数为人 ‎∵第二小组的频数为人，频率为 ‎∴，解得 所以这两个班参赛的学生人数为人 因为，，，，‎ 即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为，，，，‎ 所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内 ‎19.解（1）∵，，‎ ‎∴， ……3分 由，，解得，.‎ ‎∴函数的单调递增区间是，.……6分 ‎（2）∵在中，，，，‎ ‎∴，解得，.‎ 又，∴. ……8分 依据正弦定理，有，解得.……9分 ‎∴，……10分 ‎∴.……12分 ‎20. 【解析】：‎ ‎（1）设AC的中点为G, 连接EG。在三角形PBD中，中位线EG//PB,且EG在平面AEC上，所以PB//平面AEC.‎ ‎（2）‎ ‎21 .解(1)将点(0,4)代入椭圆C的方程，得＝1，∴b＝4，‎ 又e＝＝，则＝，∴1－＝，∴a＝5，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，‎ 设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入椭圆方程得＋＝1，即x2－3x－8＝0，由韦达定理得x1＋x2＝3，所以 ‎22.解析（1）由题意知：＝ ∴，∴. ‎ 又∵圆与直线相切， ∴，∴， ‎ 故所求椭圆C的方程为 ‎ ‎（2）设，其中，‎ 将代入椭圆的方程整理得：，‎ 故．① ‎ 又点到直线的距离分别为，‎ ‎． ‎ ‎ ‎ 所以四边形的面积为 ‎ ‎ ‎， ‎ 当，即当时，上式取等号．‎ 所以当四边形面积的最大值时，=2. ‎