2012年数学高考模拟试题（理科试卷1）

2012年数学高考模拟试题（理科试卷1）

‎2012届高考模拟试题（理科试卷1）‎ 一、选择题 ‎1、已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2、若集合，，则“”是“”的 ‎ （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎ （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎ ‎3、若实数，满足不等式组则的最小值为 ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎4、右图给出的是计算 的值的一个程序框图，‎ ‎ 其中判断框内应填入的条件是 ‎ （A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎5、己知某几何体的三视图如右图所示，‎ 则其体积为 ‎ (A)8 (B) 4 ‎ ‎(C) (D)‎ 主视图 左视图 俯视图 ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎6、某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为 ‎ （A）16 （B）18 （C）24 （D）32‎ ‎7、在中，已知，，，则为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎8、已知，，，若，，，，成等比数列，则的值为 ‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎9、在直角梯形中，已知∥，，，，，若为的中点，则的值为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎10、已知点在抛物线上，则点到直线的距离和到直线 的距离之和的最小值为 ‎（A） (B） （C） （D）‎ ‎11、若，，是虚数单位，且，则的值为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎12、正四棱柱的底面边长为，，点是的中点，是平面内的一个动点，且满足，到和的距离相等，则点的轨迹的长度为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 二、填空题 ‎13、在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数 是 ；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大 数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的 一组是 组．‎ ‎14、 抛物线的准线方程为 ；此抛物线的焦点是，则经过和点 ‎ ，且与准线相切的圆共有 个．‎ ‎15、 如图，在边长为的正方形中，点在上，‎ 正方形以为轴逆时针旋转角 到的位置 ，同时点沿着从点运 动点，，点在上，在运动过程中点始终满足，记点在 面上的射影为，则在运动过程中向量与夹角的正切值的最大值为 .‎ ‎16、曲线与直线及轴所围成的图形的面积为 ．‎ 三、解答题 ‎17、 已知a和b是任意非零实数.‎ ‎（1）求的最小值。 ‎ ‎（2）若不等式恒成立，求实数x的取值范围.‎ ‎18、 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当[,]时，求的最大值和最小值.‎ ‎ ‎ ‎19、某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为，二等品率为；乙产品的一等品率为，二等品率为.生产件甲产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元；生产件乙产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元.两种产品生产的质量相互独立.‎ ‎（Ⅰ）设生产件甲产品和件乙产品可获得的总利润为（单位：万元），求的分布列；‎ ‎（Ⅱ）求生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率.‎ ‎20、 如图1，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结，.（如图2）‎ ‎（Ⅰ）求证：⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21、 已知函数在处的切线斜率为零．‎ ‎（Ⅰ）求和的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：在定义域内恒成立；‎ ‎(Ⅲ) 若函数有最小值，且，求实数的取值范围.‎ ‎22、已知椭圆：的左、右顶点分别为，，为短轴的端点，△的面积为，离心率是．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：以为直径的圆与直线相切于点 (为椭圆的右焦点)．‎ ‎23、‎ 在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆 交于点P，交BC延长线于点D。‎ ‎ （1）求证： ；‎ ‎ （2）若AC=3，求的值。‎ ‎24、在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.‎ ‎（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线 试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；‎ ‎（2）在曲线上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 A ‎2、 A ‎3、 A ‎4、 B ‎5、 B ‎6、 C ‎7、 A ‎8、 A ‎9、 D ‎10、 C ‎11、 D ‎12、 D 二、填空题 ‎13、84 乙 ‎14、 ‎ ‎15、‎ ‎16、‎ 三、解答题 ‎17、解：（I）对于任意非零实数a和b恒成立，‎ ‎ 当且仅当时取等号，‎ ‎ 的最小值等于4。 ‎ ‎（II） 恒成立，‎ ‎ 故不大于的最小值 ‎ ‎ 由（I）可知的最小值等于4。 ‎ 实数x的取值范围即为不等式的解。‎ ‎ 解不等式得 ‎ ‎ ‎ ‎18、 ‎ 解：（Ⅰ） , ‎ 所以函数的最小正周期为. ‎ ‎（Ⅱ）依题意,[] ‎ 因为，所以. ‎ 当，即时，取最大值；‎ 当，即时， 取最小值. ‎ ‎19、解：（Ⅰ）由题设知，的可能取值为，，，. ‎ 由此得的分布列为：‎ ‎（Ⅱ）设生产的件甲产品中一等品有件，则二等品有件.由题设知，解得，又，得，或.‎ 所求概率为.（或写成）‎ 答：生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率为. ‎ ‎20、（Ⅰ）证明：取中点，连结.‎ 因为，，‎ 所以，而，即△是正三角形.又因为, 所以.所以在图2中有，. ‎ 所以为二面角的平面角. ‎ 又二面角为直二面角，　所以. ‎ 又因为,　所以⊥平面,即⊥平面. ‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知⊥平面，，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，.‎ 在图１中，连结.因为，‎ 所以∥，且.所以四边形 为平行四边形.‎ 所以∥，且.‎ 故点的坐标为（1，，0）.图2‎ 所以， ，. ‎ 不妨设平面的法向量，则 即令，得.　 ‎ 所以 ‎ 故直线与平面所成角的大小为.‎ ‎21、（Ⅰ）解：. ‎ 由题意有即，解得或（舍去）．‎ 得即，解得． ‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， ‎ ‎．在区间上，有；在区间上，有． 故在单调递减，在单调递增，‎ 于是函数在上的最小值是． ‎ 故当时，有恒成立． ‎ ‎(Ⅲ)解： ．‎ 当时，则，当且仅当时等号成立，故的最小值，符合题意； ‎ 当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；‎ 当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数的取值范围．‎ ‎22、‎ ‎（Ⅰ）解：由已知 ‎ ‎ 解得，． 故所求椭圆方程为． ‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，设椭圆右焦点．设，则． 于是直线方程为 ，令，得；‎ 所以，同理． ‎ 所以，.‎ 所以 ‎ ‎．‎ 所以 ，点在以为直径的圆上． ‎ 设的中点为，则． ‎ 又，‎ 所以 ‎．‎ 所以 ．‎ 因为是以为直径的圆的半径，为圆心，，故以为直径的圆与直线相切于右焦点．‎ ‎23、解：（1）， ～，‎ ‎ 又 ‎ ‎ （2）～，‎ ‎ ‎ ‎24、解(Ⅰ) 由题意知，直线的直角坐标方程为：2x-y-6=0， ‎ ‎∵曲线的直角坐标方程为：，‎ ‎∴曲线的参数方程为：‎ ‎(Ⅱ) 设点P的坐标，则点P到直线的距离为：‎ ‎， ‎ ‎∴当sin(600－θ)=-1时，点P(-，此时. ‎