数学卷·2018届吉林省辽源市东辽一中高二上学期第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届吉林省辽源市东辽一中高二上学期第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年吉林省辽源市东辽一中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．已知椭圆的方程为+=1，则此椭圆的长轴长为（　　）‎ A．3 B．4 C．6 D．8‎ ‎2．若直线ax+y﹣1=0与直线4x+（a﹣3）y﹣2=0垂直，则实数a的值（　　）‎ A．﹣1 B．4 C． D．﹣‎ ‎3．一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图中x的值为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎5．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下面命题正确的是（　　）‎ A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B．若α∩γ=m，β∩γ=n，则α∥β C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β D．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ ‎6．动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（　　）‎ A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2=‎ ‎7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若+，则x、y的值分别为（　　）‎ A．x=1，y=1 B．x=1，y= C．x=，y= D．x=，y=1‎ ‎8．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD，PA=AB，则直线PB与直线AC所成角的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎11．若方程有两个不等实根，则k的取值范围（　　）‎ A．（0，） B．（，] C．（，+∞） D．‎ ‎12．已知F1、F2是椭圆C：的左右焦点，P是C上一点，3||•||=4b2，则C的离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）‎ ‎13．一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为　　．‎ ‎14．已知P为椭圆+=1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为　　．‎ ‎15．已知动圆M与圆C1：（x+5）2+y2=16外切，与圆C2：（x﹣5）2+y2=16内切，则动圆圆心的轨迹方程为　　．‎ ‎16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是线段AB上的一点，且∠CDB1=90°，AA1=CD，则点A1到平面B1CD的距离为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）‎ ‎17．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB．‎ ‎18．已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．‎ ‎19．已知椭圆的左焦点F及点A（0，b），原点O到直线FA的距离为．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率e；‎ ‎（2）若点F关于直线l：2x+y=0的对称点P在圆O：x2+y2=4上，求椭圆C的方程及点P的坐标．‎ ‎20．已知四棱锥P﹣ABCD中，面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，，M为PB的中点，N、S分别为AB、CD上的点，且．‎ ‎（1）证明：DM⊥SN；‎ ‎（2）求SN与平面DMN所成角的余弦值．‎ ‎21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥‎ 平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．‎ ‎（1）求证：BC⊥平面ACFE；‎ ‎（2）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论；‎ ‎（3）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．‎ ‎22．已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省辽源市东辽一中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．已知椭圆的方程为+=1，则此椭圆的长轴长为（　　）‎ A．3 B．4 C．6 D．8‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆的性质求解．‎ ‎【解答】解：∵椭圆的方程为+=1，‎ ‎∴a=4，b=3，‎ ‎∴此椭圆的长轴长为2a=8．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．若直线ax+y﹣1=0与直线4x+（a﹣3）y﹣2=0垂直，则实数a的值（　　）‎ A．﹣1 B．4 C． D．﹣‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．‎ ‎【解答】解：当a=3时，两条直线分别化为：3x+y﹣1=0，2x﹣1=0，此时两条直线不垂直，舍去．‎ 当a≠3时，由于两条直线相互垂直，∴﹣a×=﹣1，解得a=．‎ 综上可得：a=．‎ 故选；C．‎ ‎　‎ ‎3．一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图中x的值为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】几何体是一个组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是对角线长度为4的正方形，四棱锥的侧棱长是3，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是x，写出组合体体积的表示式，解方程即可．‎ ‎【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，‎ 上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是对角线长度为4的正方形，‎ 四棱锥的侧棱长是3，‎ 下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是x，‎ 根据组合体的体积的值，得到12=×‎ ‎∴12，‎ ‎∴x=3，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．‎ ‎【解答】解：由双曲线的离心率为，‎ 则e==，即c=a，‎ b===a，‎ 由双曲线的渐近线方程为y=x，‎ 即有y=x．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下面命题正确的是（　　）‎ A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B．若α∩γ=m，β∩γ=n，则α∥β C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β D．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据空间直线与平面的位置关系的定义，判断定理，性质定理及几何特征，逐一分析四个答案中命题的正误，可得答案．‎ ‎【解答】解：若m⊂β，α⊥β，则m与α的夹角不确定，故A错误；‎ 若α∩γ=m，β∩γ=n，则α与β可能平行与可能相交，故B错误；‎ 若m∥α，则存在直线n⊂α，使m∥n，又由m⊥β，可得n⊥β，故α⊥β，故C正确；‎ 若α⊥β，α⊥γ，则β与γ的夹角不确定，故D错误，‎ 故选：D ‎　‎ ‎6．动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（　　）‎ A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2=‎ ‎【考点】轨迹方程；中点坐标公式．‎ ‎【分析】‎ 根据已知，设出AB中点M的坐标（x，y），根据中点坐标公式求出点A的坐标，根据点A在圆x2+y2=1上，代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：设中点M（x，y），则动点A（2x﹣3，2y），∵A在圆x2+y2=1上，‎ ‎∴（2x﹣3）2+（2y）2=1，‎ 即（2x﹣3）2+4y2=1．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若+，则x、y的值分别为（　　）‎ A．x=1，y=1 B．x=1，y= C．x=，y= D．x=，y=1‎ ‎【考点】棱柱的结构特征；空间向量的加减法．‎ ‎【分析】画出正方体，表示出向量，为+的形式，可得x、y的值．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎++（）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD，PA=AB，则直线PB与直线AC所成角的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】连接BD，与AC交于O点，取PD的中点E，连接OE，AE．运用中位线定理，可得∠‎ AOE即为直线PB与直线AC所成角．运用线面垂直的性质和勾股定理，解三角形AOE，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：连接BD，与AC交于O点，取PD的中点E，连接OE，AE．‎ 由中位线定理，可得OE∥PB，且OE=PB，‎ 即有∠AOE即为直线PB与直线AC所成角．‎ 由PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a，‎ 可得直角三角形PAB中，PB=a，‎ OE=a，‎ 在等腰直角三角形PAD中，AE=PD=a，‎ 在正方形ABCD中，AO=AC=a，‎ 则△AOE为等边三角形，‎ 可得∠AOE=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．‎ ‎【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．‎ 几何体的直观图如图，‎ 所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据OM⊥PF，且FM=PM判断出△POF为等腰直角三角形，推断出∠OFP=45°，进而在Rt△OFM中求得半径a和OF的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．‎ ‎【解答】解：∵OM⊥PF，且FM=PM ‎∴OP=OF，‎ ‎∴∠OFP=45°‎ ‎∴|0M|=|OF|•sin45°，即a=c•‎ ‎∴e==‎ 故选A ‎　‎ ‎11．若方程有两个不等实根，则k的取值范围（　　）‎ A．（0，） B．（，] C．（，+∞） D．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】首先注意到等式左边是一段圆弧x2+y2=4 （y≥0），右边是条直线y=kx+3﹣2k，直线恒过定点（2，3），再考虑直线与圆相切及过点（﹣2，0）两个位置的斜率，从而得解．‎ ‎【解答】解：由题意，等式左边是一段圆弧x2+y2=4 （y≥0）‎ 右边是条直线y=kx+3﹣2k，直线恒过定点（2，3）‎ 根据点到直线的距离小于半径时才有和圆弧所在的圆有两个交点 ‎∴k＞‎ 当直线过点（﹣2，0）时，‎ 所以方程有两个不等实根时，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．已知F1、F2是椭圆C：的左右焦点，P是C上一点，3||•||=4b2，则C的离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义．‎ ‎【分析】利用椭圆定义及基本不等式，寻找几何量的关系，再求离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：由3||•||=4b2，可得，∴，∴，‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）‎ ‎13．一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为　16π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】求出长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：由题意可知长方体的对角线的长，就是外接球的直径，‎ 所以球的直径： =4，所以外接球的半径为：2．‎ 所以这个球的表面积：4π×22=16π．‎ 故答案为：16π．‎ ‎　‎ ‎14．已知P为椭圆+=1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为　7　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a=10．圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的圆心和半径分别为F1（﹣3，0），r1=1；F2（3，0），r2=2．由|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．|PM|+|PN|≥|PF1|+|PF2|﹣1﹣2=7．‎ ‎【解答】解：由椭圆+=1焦点在x轴上，a=5，b=4，c=3，‎ ‎∴焦点分别为：F1（﹣3，0），F2（3，0）．‎ ‎|PF1|+|PF2|=2a=10．‎ 圆（x+3）2+y2=1的圆心与半径分别为：F1（﹣3，0），r1=1；‎ 圆（x﹣3）2+y2=4的圆心与半径分别为：F2（3，0），r2=2．‎ ‎∵|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．‎ ‎∴|PM|+|PN|≥|PF1|+|PF2|﹣1﹣2=7．‎ 故答案为：7．‎ ‎　‎ ‎15．已知动圆M与圆C1：（x+5）2+y2=16外切，与圆C2：（x﹣5）2+y2=16内切，则动圆圆心的轨迹方程为　　．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】设动圆圆心M（x，y），半径为r，则|MC1|=r+4，|MC2|=r﹣4，可得|MC1|﹣|MC2|=r+4﹣r+4=8＜|C1C2|=10，利用双曲线的定义，即可求动圆圆心M的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，则|MC1|=r+4，|MC2|=r﹣4，‎ ‎∴|MC1|﹣|MC2|=r+4﹣r+4=8＜|C1C2|=10，‎ 由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且2a=8，a=4，b=3‎ 双曲线的方程为：（x＞0）．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是线段AB上的一点，且∠CDB1=90°，AA1=CD，则点A1到平面B1CD的距离为　3　．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A1到平面B1CD的距离．‎ ‎【解答】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，‎ ‎∴AC⊥BC，‎ 以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设AA1=CD=t，C（0，0，0），D（a，b，0），B1（0，4，t），A（3，0，0），‎ B（0，4，0），，‎ 设，则（a﹣3，b，0）=（﹣3λ，4λ，0），‎ ‎∴a=3﹣3λ，b=4λ，即D（3﹣3λ，4λ，0），‎ ‎∴=（3﹣3λ，4λ，0），=（3﹣3λ，4λ﹣4，﹣t），‎ ‎∵∠CDB1=90°，‎ ‎∴=25λ2﹣34λ+9=0，‎ 解得λ=1或，‎ 当λ=1时，D与B重合，点A到面B1CD的距离为3；‎ 当λ=时， =（，，0），t==， =（0，4，），‎ 设平面B1CD的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=3，得=（3，﹣4，），‎ ‎=（3，0，），‎ ‎∴点A1到平面B1CD的距离为：d===3．‎ 综上所述，点A1到平面B1CD的距离为3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）‎ ‎17．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB．‎ ‎【考点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）推导出OE∥PA，从而OE∥平面PAC，由OM∥AC，得OM∥平面PAC．由此能证明平面MOE∥平面PAC．‎ ‎（2）推导出BC⊥AC，PA⊥BC，从而BC⊥平面PAC．由此能证明平面PAC⊥‎ 平面PBC．‎ ‎【解答】（本小题满分10分）‎ 证明：（1）因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA．‎ 因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，‎ 所以OE∥平面PAC．因为OM∥AC，‎ 又AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，‎ 所以OM∥平面PAC．‎ 因为OE⊂平面MOE，OM⊂平面MOE，OE∩OM=O，‎ 所以平面MOE∥平面PAC．…‎ ‎（2）因为点C在以AB为直径的⊙O上，‎ 所以∠ACB=90°，即BC⊥AC．‎ 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，‎ 所以PA⊥BC．‎ 因为AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC=A，‎ 所以BC⊥平面PAC．‎ 因为BC⊂平面PBC，‎ 所以平面PAC⊥平面PBC．…‎ ‎　‎ ‎18．已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由椭圆方程可求其焦点坐标，从而可得双曲线C的焦点坐标，利用点在双曲线C上，根据双曲线定义||AF1|﹣|AF2||=2a，即可求出所求双曲线C的方程；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入A、B在双曲线方程得，两方程相减，借助于P（1，2）为中点，可求弦AB所在直线的斜率，进而可求其方程．‎ ‎【解答】解：（1）由已知双曲线C的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0）‎ 由双曲线定义||AF1|﹣|AF2||=2a，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴b2=2‎ ‎∴所求双曲线为…‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A、B在双曲线上 ‎∴，两方程相减得：得（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴弦AB的方程为即x﹣2y+3=0‎ 经检验x﹣2y+3=0为所求直线方程．…‎ ‎　‎ ‎19．已知椭圆的左焦点F及点A（0，b），原点O到直线FA的距离为．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率e；‎ ‎（2）若点F关于直线l：2x+y=0的对称点P在圆O：x2+y2=4上，求椭圆C的方程及点P的坐标．‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由点F（﹣ae，0），点A（0，b）及得直线FA的方程为，由原点O到直线FA的距离为，知，由此能求出椭圆C的离心率．‎ ‎（2）设椭圆C的左焦点F关于直线l：2x+y=0的对称点为P（x0，y0），则有，由此入手能够推导出点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）由点F（﹣ae，0），点A（0，b）及得直线FA的方程为，即，‎ ‎∵原点O到直线FA的距离为，‎ ‎∴．‎ 故椭圆C的离心率．‎ ‎（2）解：设椭圆C的左焦点F关于直线l：2x+y=0的对称点为P（x0，y0），则有 解之，得．∵P在圆x2+y2=4上 ‎∴，‎ ‎∴a2=8，b2=（1﹣e2）a2=4．‎ 故椭圆C的方程为，‎ 点P的坐标为．‎ ‎　‎ ‎20．已知四棱锥P﹣ABCD中，面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，，M为PB的中点，N、S分别为AB、CD上的点，且．‎ ‎（1）证明：DM⊥SN；‎ ‎（2）求SN与平面DMN所成角的余弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）取AB中点E，连接EM、ED，推导出EM⊥SN，ES⊥ED，由此能证明SN⊥DM．‎ 解：设PA=1，以A为原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用同量法能求出SN与平面DMN所成角的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）如图，取AB中点E，连接EM、ED，…‎ ‎∵M为PB中点，所以EM∥PA…‎ 又PA⊥面ABCD，SN⊂面ABCD，‎ ‎∴PA⊥SN，所以EM⊥SN…‎ ‎∵，所以∠AED=45°…‎ 过S作SF⊥AB交AB于F则NF=FS，∴∠FNS=45°‎ ‎∴ES⊥ED…又ED∩ME=E，SN⊥平面EDM ‎∴SN⊥DM…‎ 解：设PA=1，以A为原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，‎ 则P（0，0，1），D（0，1，0），，，…‎ ‎，，，‎ 设为平面DMN的一个法向量，‎ 则，∴…‎ 取x=2，得…‎ 设SN与平面DMN所成角为α ‎∴…‎ ‎∴…‎ ‎∴SN与平面DMN所成角的余弦值为．…‎ ‎　‎ ‎21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．‎ ‎（1）求证：BC⊥平面ACFE；‎ ‎（2）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论；‎ ‎（3）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）由已知中梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，我们易求出AC⊥BC，结合已知中平面ACFE⊥平面ABCD，及平面与平面垂直的性质定理，即可得到BC⊥平面ACFE．‎ ‎（2）以点ABC﹣A1B1C1为原点，△ABC所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，看出AM∥平面BDF等价于与、共面，也等价于存在实数m、n，使=m+n，根据向量之间的关系得到结论．‎ ‎（3）要求两个平面所成的角，根据向量的加减运算做出平面的法向量，二面角B﹣EF﹣D的大小就是向量与向量所夹的角．根据向量的夹角做出结果．‎ ‎【解答】证明：（1）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，‎ ‎∴四边形ABCD是等腰梯形，‎ 且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°‎ ‎∴∠ACB=∠DCB﹣∠DCA=90°‎ ‎∴AC⊥BC 又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，‎ ‎∴BC⊥平面ACFE 解：（2）当时，AM∥平面BDF，‎ 以点C为坐标原点，CF所在直线为z轴，CA、CB所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ AM∥平面BDF⇔与、共面，也等价于存在实数m、n，使=m+n，‎ 设．‎ ‎∵=（﹣a，0，0），，0，0）‎ ‎∴=+=（﹣at，0，0）‎ 又=（a，﹣a，﹣a），=（0，a，﹣a），‎ 从而要使得：成立，‎ 需，解得∴当时，AM∥平面BDF ‎（3）B（0，a，0），，‎ 过D作DG⊥EF，垂足为G．令==λ（a，0，0），‎ ‎=+=（aλ，0，a），=﹣=（λa﹣a， a，a）‎ 由得，，‎ ‎∴‎ ‎∴，即 ‎∵BC⊥AC，AC∥EF，‎ ‎∴BC⊥EF，BF⊥EF ‎∴二面角B﹣EF﹣D的大小就是向量与向量所夹的角．‎ ‎∵=（0，a，﹣a）‎ cos＜，＞=，即二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎22．已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知，得=又，‎ 所以a=2=，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．‎ ‎（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）‎ 将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，‎ 当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，‎ 从而=+ 又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，‎ 设，则t＞0，，‎ 当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，‎ 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…‎ ‎　‎