福建省三明市2018届高三5月质量检查测试数学文试题

福建省三明市2018届高三5月质量检查测试数学文试题

准考证号_______________姓名______________‎ ‎（在此卷上答题无效）‎ ‎2018年三明市普通高中毕业班质量检查测试 文 科 数 学 本试卷共5页．满分150分．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． ‎ ‎3．考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若命题：，则为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎2．已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎3．若复数满足是虚数单位，则复数的共轭复数 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知向量，，且，则 A. B. C. D. ‎ ‎5．《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各 个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛．现组委会要从甲、乙等五位候 选参赛者中随机选取2人进行比拼，记“甲被选上且乙不被选上”为事件，则事件的 概率为 A. B. C. D.‎ ‎6．若为数列的前项和，且，则等于 A． B． C． D．‎ ‎7．已知定义在上的奇函数，当时，恒有，且当时，‎ ‎，则 A．0 B． C． D．‎ ‎8．将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，则的可能取值为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的是，‎ 输出的结果是7，则判断框中“”应填入 A．　　　 　 B．‎ ‎　C．　　　　 D．‎ ‎10．已知某几何体的三视图如图所示，网格线上小正方形的边长为1， ‎ 则该几何体的体积为 A. B. ‎ C. 18 D. ‎ ‎11．函数的零点个数为 A．　　　　 B．　　　 　C．　　 　 　D．‎ ‎12．已知双曲线的左,右焦点分别是，过的直线与的 右支交于两点，分别是的中点，为坐标原点，若是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则的离心率是 A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知中心是坐标原点的椭圆过点，且它的一个焦点为，则的标准方程为 ．‎ ‎14．在等差数列中，若，则 ．‎ ‎15．若直线将平面区域划分为面积成的两部分，则实 数的值等于 ．‎ ‎16．如图，正方形的边长为，点分别在边上， ‎ 且．将此正方形沿切割得到四个三角 ‎ 形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的 内切球的体积为 ．‎ ‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答．‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）‎ 在△中，，，点在边上，且.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求△的周长.‎ ‎18．（12分） ‎ 在四棱锥中，与相交于点，点在线段上，，且．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，, 求点到平面的距离．‎ ‎19．（12分）‎ 已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称．‎ ‎（1）求和的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线与交于，与交于，求证：．‎ ‎20．（12分）‎ 近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1． ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎（1）记“在年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在”为事件，试估计的概率；‎ ‎（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中(单位：年)表示二手车的使用时间，(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．‎ 由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表（表中，）： ‎ ‎5.5‎ ‎8.7‎ ‎1.9‎ ‎301.4‎ ‎79.75‎ ‎385‎ ‎①根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程；‎ ‎②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．‎ 附注：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；‎ ‎②参考数据：．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若曲线在处切线的斜率为，求此切线方程；‎ ‎（2）若有两个极值点，求的取值范围，并证明：．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．‎ ‎22．选修4－4：坐标系与参数方程（10分）‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设与交于两点，求．‎ ‎23. 选修4－5：不等式选讲（10分）‎ 已知函数，，．‎ ‎（1）当时，解关于的不等式；‎ ‎（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值 范围．‎ ‎2018年三明市普通高中毕业班质量检查测试 文科数学参考答案和评分细则 评分说明：‎ ‎1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 ‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C D B A C D A C C C D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13． 14． 15．或 16．‎ ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．解法一：如图，已知，，‎ 所以，则.………………1分 在△中，根据余弦定理，，‎ 所以. 2分 ‎（1）在△中，，，，‎ 由余弦定理，‎ 所以，解得，所以，‎ 在△中，由正弦定理，‎ 所以，， 4分 由，，，在△中，由，得 ‎ ‎，故， 5分 所以 ，‎ 所以 7分 ‎（2）设，则，从而，‎ 故． 9分 在△中，由余弦定理得，‎ 因为 ，所以，解得． 11分 所以．故△周长为． 12分 解法二：如图，已知，，所以，则. …… 1分 在△中，根据余弦定理，，‎ 所以. 2分 ‎（1）在△中，，，，‎ 由余弦定理，‎ 所以，解得， 3分 由余弦定理， ‎ 又因为，所以．‎ 所以， 5分 所以． 7分 ‎（2）同解法一． 12分 ‎18．解法一：（1）因为,所以．………………………2分 因为，平面，‎ 平面平面，‎ 所以．…………………………………………4分 所以，即． …………5分 ‎ (2) 因为，所以为等边三角形，所以，‎ 又因为，，所以且， 7分 所以且，又因为，所以 8分 因为平面，所以平面．‎ 作于，因为平面，所以平面． 9分 又因为，所以即为到平面的距离． 10分 在△中，设边上的高为，则，‎ 因为，所以，即到平面的距离为． 12分 解法二、（1）同解法一． 5分 ‎（2）因为，所以为等边三角形，所以，‎ 又因为，，所以且， 7分 所以且，又因为，所以 ． 8分 设点到平面的距离为，由得，‎ 所以， ‎ 即． 10分 因为，，，‎ 所以，解得，即到平面的距离为． 12分 ‎19．解：（1）设的标准方程为，则．‎ 已知在直线上，故可设． 1分 因为关于对称，所以 解得 ………………3分 ‎ 所以的标准方程为． 4分 因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为． 5分 ‎（2）设的斜率为，那么其方程为， 6分 则到的距离，所以． 7分 由消去并整理得：．‎ 设，则，‎ 那么． 9分 所以． 11分 所以，即 ． 12分 ‎20．解：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为 3分 所以． 4分 ‎（2）①由得，即关于的线性回归方程为． 5分 因为，‎ 所以关于的线性回归方程为， 7分 即关于的回归方程为 8分 ‎②根据①中的回归方程和图1，对成交的二手车可预测：‎ 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；‎ 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；‎ 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；‎ 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；‎ 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为 所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为 万元 12分 ‎21．解：（1）∵，∴，解得， 2分 ‎∴，故切点为，‎ 所以曲线在处的切线方程为． 4分 ‎（2），令，得．‎ 令，则，‎ 且当时，；当时，；时，．‎ 令，得，‎ 且当时，；当时，．‎ 故在递增，在递减，所以． 6分 所以当时，有一个极值点；‎ ‎ 时，有两个极值点；‎ 当时，没有极值点．‎ 综上，的取值范围是． 8分 因为是的两个极值点，所以即…① 9分 不妨设，则，，‎ 因为在递减，且，所以，即…②．‎ 由①可得，即，‎ 由①，②得，所以． 12分 ‎22． 解法一：（1）由得的普通方程为， 1分 又因为， 所以的极坐标方程为． 3分 由得，即， 4分 所以的直角坐标方程为． 5分 ‎（2）设的极坐标分别为，则 6分 由消去得， 7分 化为，即， 8分 因为，即，所以，或， 9分 即或所以． 10分 解法2： （1）同解法一 5分 ‎（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆． 6分 将的参数方程化为标准形式(其中为参数)，代入的直角坐标方程为得，，‎ 整理得，，解得或． 8分 设对应的参数分别为 ，则．所以， 9分 又因为是圆上的点，所以 10分 解法3： （1）同解法一 5分 ‎（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆． 6分 又由①得的普通方程为， 7分 则点到直线的距离为， 8分 所以，所以是等边三角形，所以， 9分 又因为是圆上的点，所以 10分 ‎23.解：（1）当时，，则 2分 当时，由得，，解得； ‎ 当时，恒成立；‎ 当时，由得，，解得． 4分 所以的解集为． 5分 ‎（2）因为对任意，都存在，使得不等式成立，‎ 所以． 6分 因为，所以，‎ 且，…①‎ 当时，①式等号成立，即． 7分 又因为，…②‎ 当时，②式等号成立，即． 8分 所以，整理得，， 9分 解得或，即的取值范围为． 10分