数学卷·2019届湖南省衡阳市八中高二(理科实验班)上学期第二次月考(2017-11)

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数学卷·2019届湖南省衡阳市八中高二(理科实验班)上学期第二次月考(2017-11)

衡阳八中2017-2018学年上期高二年级第二次月考试卷 数学(试题卷)‎ 注意事项:‎ ‎1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第二次月考试卷,分两卷。其中共22题,满分150分,考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后,应检查试卷是否有缺页漏页,重影模糊等妨碍答题现象,如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后,考生禁止入场,监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上,选择题部分请用2B铅笔填涂,非选择题部分请用黑色‎0.5mm签字笔书写。考试结束后,试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题(每题5分,共60分)‎ 本卷共12题,每题5分,共60分,在每题后面所给的四个选项中,只有一个是正确的。‎ ‎1.设a∈R,则“a2>‎1”‎是“a3>‎1”‎的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 ‎2.已知A,B为平面内两个定点,过该平面内动点m作直线AB的垂线,垂足为N.若=λ•,其中λ为常数,则动点m的轨迹不可能是(  )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎3.函数y=x2cosx的导数为(  )‎ A.y′=2xcosx﹣x2sinx B.y′=2xcosx+x2sinx C.y′=x2cosx﹣2xsinx D.y′=xcosx﹣x2sinx ‎4.已知命题p:任意x∈R,sinx≤1,则(  )‎ A.¬p:存在x∈R,sinx≥1‎ B.¬p:任意x∈R,sinx≥1‎ C.¬p:存在x∈R,sinx>1 ‎ D.¬p:任意x∈R,sinx>1‎ ‎5.平面内有两个定点F1(﹣5,0)和F2(5,0),动点P满足条件|PF1|﹣|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是(  )‎ A.﹣=1(x≤﹣4) B.﹣=1(x≤﹣3)‎ C.﹣=1(x>≥4) D.﹣=1(x≥3)‎ ‎6.已知直线y=k(x﹣2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,若|AB|=9,则k=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.当x∈[﹣2,﹣1],不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[﹣5,﹣3] B.(﹣∞,﹣] ‎ C.(﹣∞,﹣2] D.[﹣4,﹣3]‎ ‎8.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,若直线y=﹣(x+)与椭圆交于点M,满足∠MF‎1F2=∠MF‎2F1,则离心率是(  )‎ A. B.﹣‎1 ‎C. D.‎ ‎9.过双曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆C2:x2+y2=a2的切线,设切点为M,延长FM交双曲线C1于点N,若点M为线段FN的中点,则双曲线C1的离心率为(  )‎ A. B. C. +1 D.‎ ‎10.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b、c、d为常数),当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取极小值,则(b+)2+(c﹣3)2的取值范围是(  )‎ A.(,5) B.(,5) ‎ C.(,25) D.(5,25)‎ ‎11.设函数y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为f′(x),f′(x)在区间(a,b)上的导函数为f″(x),若在区间(a,b)上f″(x)>0,则称函数f(x)在区间(a,b)上为“凹函数”,已知f(x)=x5﹣mx4﹣2x2在区间(1,3)上为“凹函数”,则实数m的取值范围为(  )‎ A.(﹣∞,) B.[,5] ‎ C.(﹣∞,﹣3] D.(﹣∞,5]‎ ‎12.已知函数f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,g(x)=xe1﹣x(a∈R,e为自然对数的底数),若对任意给定的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,则a的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,] B.(﹣∞,]‎ C.(,2) D.[,)‎ 第II卷 非选择题(共90分)‎ 二.填空题(每题5分,共20分)‎ ‎13.在直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=AA1=4,点D是A‎1C1的中点,则异面直线AD和BC1所成角的大小为   .‎ ‎14.已知四面体ABCD的顶点都在同一个球的球面上,BC=,BD=4,且满足BC⊥BD,AC⊥BC,AD⊥BD.若该三棱锥的体积为,则该球的球面面积为   .‎ ‎15.已知AB是椭圆+=1(a>b>0)的长轴,若把该长轴2010等分,过每个等分点作AB的垂线,依次交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P2009,设左焦点为F1,则(|F‎1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P2009|+|F1B|)=   .‎ ‎16.如图,在底面半径和高均为4的圆锥中,AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径,E是母线PB的中点,若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为   .‎ 三.解答题(共6题,共70分)‎ ‎17.(本题满分10分)‎ 设命题p:“∀x∈R,x2+2x>m”;命题q:“∃x0∈R,使”.如果命题p∨q为真,命题p∧q为假,求实数m的取值范围.‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 如图,在直三棱锥A1B‎1C1﹣ABC,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.‎ ‎(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;‎ ‎(2)求平面ADC1与平面A1BA所成的二面角(是指不超过90°的角)的余弦值.‎ ‎19.(本题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面是菱形,且,点是棱的中点,平面与棱交于点.‎ ‎()求证:.‎ ‎()若,且平面平面,‎ 求①二面角的锐二面角的余弦值.‎ ‎②在线段上是否存在一点,使得直线与平面所成角等于,若存在,确定的位置,若不存在,说明理由.‎ ‎20.(本题满分12分)‎ 已知动点P到点A(﹣2,0)与点B(2,0)的斜率之积为﹣,点P的轨迹为曲线C.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)过点D(1,0)作直线l与曲线C交于P,Q两点,连接PB,QB分别与直线x=3交于M,N两点.若△BPQ和△BMN的面积相等,求直线l的方程.‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 已知函数f(x)=ax3+x,g(x)=x2+px+q.‎ ‎(Ⅰ)若函数f(x)在x=1处取得极值,求实数a的值;‎ ‎(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,函数F(x)=f'(x)g(x)(其中f'(x)为函数f(x)的导数)的图象关于直线x=﹣1对称,求函数F(x)单调区间;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若对任意的x≥1,都有g(x)≥(6+λ)x﹣λlnx+3恒成立,求实数λ的取值范围.‎ ‎22.(本题满分12分)‎ 如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,直线l与x轴交于点E,与椭圆C交于A、B两点.当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时,弦AB的长为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)是否存在点E,使得为定值?若存在,请指出点E的坐标,并求出该定值;若不存在,请说明理由.‎ 衡阳八中2017年下期高二年级理科实验班第二次月考数学参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D A C D D C B A D C A ‎13.30°‎ ‎14.23π ‎15.‎ ‎16.‎ ‎17.‎ 当P真时,∀x∈R,x2+2x>m,‎ 有△=4+‎4m<0,解得m<﹣1.…(2分)‎ 当q真时,∃x0∈R,使,‎ 所以△=‎4m2‎﹣4(2﹣m)≥0,解得m≤﹣2,或m≥1 …(4分)‎ 又因为“p∨q”为真,“p∧q”为假,所以p,q一真一假,…(5分)‎ 当p真q假时,﹣2<m<﹣1…(7分)‎ 当p假q真时,m≥1…(9分)‎ 所以实数a的取值范围是(﹣2,﹣1)∪[1,+∞).…(10分)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.(1)以{,, }为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz,‎ 则由题意知A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),‎ A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4),‎ ‎∴=(2,0,﹣4),=(1,﹣1,﹣4),‎ ‎∴cos<,>===,‎ ‎∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(6分)‎ ‎(2)是平面ABA1的一个法向量,‎ 设平面ADC1的法向量为,‎ ‎∵,‎ ‎∴,取z=1,得y=﹣2,x=2,‎ ‎∴平面ADC1的法向量为=(2,﹣2,1),(9分)‎ 设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ,‎ ‎∴cosθ=|cos<,>|=||=,‎ ‎∴平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值为:.(12分)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.‎ ‎()证明:∵,平面,平面,‎ ‎∴平面,‎ 又∵平面,且平面平面,‎ ‎∴。(3分)‎ ‎()①取的中点,连接,,,‎ ‎∵是菱形,且,,‎ ‎∴,是等边三角形,‎ ‎∴,,‎ 又平面平面,平面平面,平面,‎ ‎∴平面,‎ 以为原点,以,,为坐标轴建立空间坐标系,则:‎ ‎,,,,,,.‎ ‎,,‎ 设平面的法向量为,则:‎ ‎,∴,‎ 令得:;‎ ‎∵平面,‎ ‎∴为平面的一个法向量.‎ ‎∴.‎ 故二面角的二面角的余弦值为.(9分)‎ ‎②假设上存在点便得直线与平面所成角等于,‎ 则与所成夹角为,‎ 设,则:‎ ‎,‎ ‎,‎ 化简得:,‎ 解得:或(舍),‎ ‎∴线段上存在一点,使得直线与平面所成的角等于.(12分)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.(Ⅰ)设P点的坐标为(x,y),‎ 则,.‎ ‎∵,∴.‎ 化简得曲线C的轨迹方程为. (3分)‎ ‎(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,直线的方程为x=1,则.‎ ‎ ‎ 直线PB的方程为,解得.‎ 直线QB的方程为,解得.‎ 则,.‎ 此时△BPQ和△BMN的面积相等 …(6分)‎ 当直线l的斜率存在时,‎ 法1:设直线的方程为y=k(x﹣1),P(x1,y1),Q(x2,y2).‎ 由得(1+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.,.‎ 直线PB的方程为,求得.‎ 直线QB的方程为,求得.‎ ‎,‎ ‎.‎ 若S△BPQ=S△BMN,则(2﹣x1)(2﹣x2)=1,即x1x2﹣2(x1+x2)+3=0.‎ ‎∴,化简得﹣1=0.‎ 此式不成立.所以△BPQ和△BMN的面积不相等 综上,直线l的方程为x=1. …(12分)‎ 法2:设直线的方程为y=k(x﹣1),P(x1,y1),Q(x2,y2).‎ 由得(1+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.,.,,‎ 因为∠PBQ=∠MBN,S△BPQ=S△BMN,‎ 所以|BQ||BP|=|BM||BN|,即.‎ 则有,化简得x1x2﹣2(x1+x2)+3=0.‎ ‎∴,化简得﹣1=0.‎ 此式不成立.所以△BPQ和△BMN的面积不相等 综上,直线l的方程为x=1. …(12分)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.(Ⅰ)由f(x)=ax3+x有f'(x)=3ax2+1‎ 因为f(x)在x=1处取得极值,故f'(1)=‎3a+1=0‎ ‎∴‎ 经检验:当时,符合题意,故 (3分)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知:F(x)=(﹣x2+1)(x2+px+q)‎ ‎∵F(x)的图象关于直线x=﹣1对称,故函数F(x﹣1)为偶函数 又F(x﹣1)=[﹣(x﹣1)2+1][(x﹣1)2+p(x﹣1)+q]=﹣x4+(4﹣p)x3+(3p﹣q﹣5)x2+2(1﹣p+q)x ‎∴,解得p=4,q=3 ‎ ‎∴F(x)=(﹣x2+1)(x2+4x+3)‎ ‎∴F'(x)=﹣2x(x2+4x+3)+(﹣x2+1)(2x+4)=﹣4(x+1)(x2+2x﹣1)‎ 令F'(x)>0有或 令F'(x)<0有或 ‎∴函数F(x)在区间上单调递增,‎ 在区间上单调递减 ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的x≥1,都有g(x)≥(6+λ)x﹣λlnx+3恒成立,‎ 可转化为λ(x﹣lnx)≤x2﹣2x在x∈[1,+∞)上恒成立 易知lnx<x∴在x∈[1,+∞)上恒成立 令,∴‎ 令h(x)=x+2﹣2lnx(x≥1),∴‎ ‎∴h(x)在(1,2)上递减,(2,+∞)上递增 ‎∴h(x)min=h(2)=4﹣2ln2>0‎ ‎∴φ'(x)≥0,即φ(x)在[1,+∞)上递增 ‎∴φ(x)min=φ(1)=﹣1‎ ‎∴λ≤﹣1.(12分)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22.(1)由,设a=3k(k>0),‎ 则,b2=3k2,‎ 所以椭圆C的方程为,‎ 因直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点,即,‎ 代入椭圆方程,解得y=±k,于是,即,‎ 所以椭圆C的方程为;(4分)‎ ‎(2)假设存在点E,使得为定值,设E(x0,0),‎ 当直线AB与x轴重合时,有,‎ 当直线AB与x轴垂直时,,‎ 由,解得,,‎ 所以若存在点E,此时,为定值2.‎ 根据对称性,只需考虑直线AB过点,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 又设直线AB的方程为,与椭圆C联立方程组,‎ 化简得,所以,,‎ 又,‎ 所以,‎ 将上述关系代入,化简可得.‎ 综上所述,存在点,使得为定值2.(12分)‎ ‎ ‎
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