贵州省思南中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试题

贵州省思南中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试题

思南中学2018—2019学年度第一次月考 高二数学 试题 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．现要完成下列3项抽样调查：‎ ‎①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．‎ ‎②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．‎ ‎③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． ‎ 较为合理的抽样方法是（　　）‎ A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 ‎2．福利彩票“双色球”中，红球号码有编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红球的编号为（　　）‎ ‎49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64‎ ‎57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76‎ A．23 B．‎09 ‎C．02 D．17‎ ‎3．其食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度（如表）．‎ 年份x ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 芳香度y ‎1.3‎ ‎1.8‎ ‎5.6‎ ‎7.4‎ ‎9.3‎ 由最小二乘法得到回归方程=1.03x+1.13，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为（　　）‎ A．6.1 B．‎6.28 ‎ C．6.5 D．6.8‎ ‎4．学校根据某班的期中考试成绩绘制了频率分布直方图（如图所示），根据图中所给的数据可知a+b=（　　）‎ A．0.024 B．0.036 ‎ C．0.06 D．0.6‎ ‎5．某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在区间[481，720]的人数为（　　）‎ A．10 B．‎11 ‎C．12 D．13‎ ‎6． 执行下面的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7．“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是（　　）‎ A．492 B．‎382 ‎C．185 D．123‎ ‎8．从2010名学生中选取50名学生参加英语比赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2010人中，每人入选的概率（　　）‎ A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为 ‎9．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则（　　）‎ A．，s2＜2 B．，s2＞‎2 ‎C．，s2＜2 D．，s2＞2‎ ‎10.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒米内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）‎ ‎ A. 169石 B. 192石 C. 1164石 D.1367石 ‎11．按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为（　　）‎ A．i＞5 B．i≥‎7 ‎ C．i＞9 D．i≥9‎ ‎12．如表是一位母亲给儿子做的成长记录：‎ 年龄/周岁 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 身高/cm ‎94.8‎ ‎104.2‎ ‎108.7‎ ‎117.8‎ ‎124.3‎ ‎130.8‎ ‎139.1‎ 根据以上样本数据，她建立的身高y（cm）与年龄x（周岁）的线性回归方程为=7.19x+73.96，给出下列结论：‎ ① y与x具有正的线性相关关系；‎ ‎②回归直线过样本点的中心（42，117.1）；‎ ‎③儿子10岁时的身高是‎145.86cm；‎ ‎④儿子年龄增加1周岁，身高约增加‎7.19cm．‎ 其中，正确结论的个数是（　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二．填空题（共1小题）‎ ‎13．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3:5:7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n= 　．‎ ‎14．用秦九韶算法求多项式f（x）=5x5+2x4+3x3﹣2x2+x﹣8当x=2时的值的过程中v3=　 　．‎ ‎15．为了解某校一次期中考试数学成绩情况，抽取100位学生的数学成绩，得如图所示的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则估计该次数学成绩的中位数是 　．‎ ‎16．我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为 　。‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：‎ 甲：82 81 79 78 95 88 93 84‎ 乙：92 95 80 75 83 80 90 85‎ ‎（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；‎ ‎（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据求出甲、乙两位同学的平均值和方差，据此你认为选派哪位同学参加比赛较为合适？‎ ‎18．△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．‎ ‎（Ⅰ）求角C；‎ ‎（Ⅱ）若c=6，a+b=8，求△ABC的面积．‎ ‎19．共享单车的出现方便了人们的出行，深受我市居民的喜爱．为调查某校大学生对共享单车的使用情况，从该校8000名学生中按年级用分层抽样的方式随机抽取了100位同学进行调查，得到这100名同学每周使用共享单车的时间（单位：小时）如表：‎ 使用时间 ‎[0，2]‎ ‎（2，4]‎ ‎（4，6]‎ ‎（6，8]‎ ‎（8，10]‎ 人数 ‎10‎ ‎40‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）已知该校大一学生有2400人，求抽取的100名学生中大一学生人数；‎ ‎（Ⅱ）作出这些数据的频率分布直方图；‎ ‎（Ⅲ）估计该校大学生每周使用共享单车的时间的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．‎ ‎20．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，点O为CD的中点．‎ ‎（1）求证：OM∥平面ABD；‎ ‎（2）若AB=BC=2，求三棱锥M﹣ABD的体积．‎ ‎21．某地区某农产品近几年的产量统计如表：‎ 年 份 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 年份代码t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 年产量y（万吨）‎ ‎6.6‎ ‎6.7‎ ‎7‎ ‎7.1‎ ‎7.2‎ ‎7.4‎ ‎（1）根据表中数据，建立y关于t的线性回归方程；‎ ‎（2）若近几年该农产品每千克的价格v（单位：元）与年产量y满足的函数关系式为v=4.5﹣0.3y，且每年该农产品都能售完．‎ ‎①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区2018（t=7）年该农产品的产量；‎ ① 当t（1≤t≤7）为何值时，销售额S最大？‎ 附：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（tn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．‎ ‎22．已知数列{an}其前n项的和为Sn，且a1=2，（n+1）an=2Sn．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（Ⅱ）令bn=，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．‎ ‎　‎ 高二第一次月考数学答案 选择题：ACAC CDDC ABDB 填空题：13. 90 14. 52 15. 72 16. 9/4‎ ‎17.解：（Ⅰ）作出茎叶图如下：‎ ‎（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下:‎ ‎ ‎ 因为，，‎ 所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．‎ ‎18. 解：（Ⅰ）由正弦定理将2cosC（acosB+bcosA）=c，‎ 等价化为：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，‎ 因为A+B+C=π，‎ 所以sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC 又因为C∈（0，π），‎ 所以sinC≠0，‎ 所以2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，等价化为cosC=，‎ 所以C=．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，化简得a2+b2﹣ab=36，‎ 又a+b=8，‎ 所以a2+b2=（a+b）2﹣2ab=64﹣2ab，‎ 所以ab=，‎ 所以S△ABC=absinC=．‎ ‎19. 解：（Ⅰ）设抽取的100名学生中大一学生有x人，‎ 则，解得x=30，‎ 所以抽取的100名学生中大一学生有30人．‎ ‎（Ⅱ）频率分布直方图如图所示．‎ ‎（Ⅲ）4，‎ 所以该校大学生每周使用共享单车的平均时间大约为4.4小时．‎ ‎20.（1）证明：∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，点O为CD的中点，‎ ‎∴OM⊥CD．‎ ‎∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM⊂平面BCD，‎ ‎∴OM⊥平面BCD，‎ ‎∵AB⊥平面BCD，‎ ‎∴OM∥AB．‎ ‎∵AB⊂平面ABD，OM⊄平面ABD，‎ ‎∴OM∥平面ABD；‎ ‎（2）解：由（Ⅰ）知OM∥平面ABD，‎ ‎∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离 过O作OH⊥BD，垂足为点H，‎ ‎∵AB⊥平面BCD，OH⊂平面BCD，‎ ‎∴OH⊥AB．‎ ‎∵AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，AB∩BD=B，‎ ‎∴OH⊥平面ABD．‎ ‎∵AB=BC=2，△BCD是等边三角形，‎ ‎∴BD=2，OD=1，OH=OD•sin60°=．‎ ‎∴VM﹣ABD=VA﹣BDM=VO﹣ABD=VA﹣BDO=×AB•BD•OH=×2×2×=．‎ ‎∴三棱锥M﹣ABD的体积为．‎ ‎　‎ ‎21. 解：（1）由题意可知：，，‎ ‎=（﹣2.5）×（﹣0.4）+（﹣1.5）×（﹣0.3）+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，‎ ‎=（﹣2.5）2+（﹣1.5）2+（﹣0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5．‎ ‎，，又，得，‎ ‎∴y关于t的线性回归方程为．（6分）‎ ‎（2）①由（1）知，当t=7时，，‎ 即2018年该农产品的产量为7.56万吨．‎ ‎②当年产量为y时，销售额S=（4.5﹣0.3y）y×103=（﹣0.3y2+4.5y）×103（万元），‎ 当y=7.5时，函数S取得最大值，又因y∈{6.6，6.7，7，7.1，7.2，7.4，7.56}，‎ 计算得当y=7.56，即t=7时，即2018年销售额最大．（12分）‎ ‎　‎ ‎22解：（1）数列{an}其前n项的和为Sn，且a1=2，（n+1）an=2Sn①．‎ 当n≥2时，nan=2Sn﹣1②，‎ ‎①﹣②整理得：（n﹣1）an=nan﹣1，‎ 即：，‎ ‎，‎ ‎…‎ ‎，‎ 利用累乘法，‎ 所以：，‎ 则：an=2n，‎ 当n=1时，a1=2符合通项，‎ 则：an=2n．‎ 证明：（2）由于：an=2n，‎ 则：==，‎ Tn=+…++，‎ ‎=，‎ ‎=，‎