人教大纲版高考数学题库考点19 抛物线

人教大纲版高考数学题库考点19 抛物线

‎ ‎ 考点19 抛物线 ‎1.（2010·四川高考文科·Ｔ3）抛物线的焦点到准线的距离是（ ）.‎ ‎(A)1 (B)2 (C)4 (D)8‎ ‎【命题立意】本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程、抛物线标准方程及点到直线的距离公式.‎ ‎【思路点拨】先求出焦点坐标和准线方程，再利用点到直线的距离公式求解.‎ ‎【规范解答】选C. 抛物线的焦点坐标为，准线方程为，焦点到准线的距离为.‎ ‎2.（2010·上海高考理科·Ｔ3）动点到点的距离与它到直线的距离相等，则点的轨迹方程为 ．‎ ‎【命题立意】本题考查求满足条件的动点的轨迹方程的思路和方法．‎ ‎【思路点拨】按求动点的轨迹方程的步骤进行．‎ ‎【规范解答】设点P的坐标为（x，y），由题意可得，化简得，‎ 即为点P的轨迹方程．‎ ‎【答案】‎ ‎3.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ15）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线，过M（1,0）且斜率为的直线与相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=_________.‎ ‎【命题立意】本题考查直线与抛物线的位置关系及直线的斜率公式的运用.‎ ‎【思路点拨】利用M点为中点可以用p表示A ，B点的横坐标，把B点的横坐标代入抛物线C：y2=2px，可以求得B点的纵坐标.又已知直线斜率，解关于p的方程可以解决.‎ ‎【规范解答】由题意得A点横坐标为-，则B点横坐标为+2，代入抛物线C：y2=2px得B点纵坐标 为.由直线MB的斜率为，得p=2.‎ ‎【答案】2‎ ‎【方法技巧】直线与抛物线问题要结合图象的几何特征，抓住点的坐标关系，用所求的参数列出方程（组），此题用p表示直线斜率，代入斜率公式计算.‎ ‎4.（2010·重庆高考文科·Ｔ１3）已知过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，‎ ‎｜AF｜＝2，则｜BF｜＝ .‎ ‎【命题立意】本小题考查抛物线的定义和性质及直线与抛物线的位置关系，体现了数形结合的思想方法.‎ ‎【思路点拨】设直线AB的方程，首先考虑斜率不存在的情形，再考虑斜率存在的情形.‎ ‎【规范解答】抛物线的焦点F的坐标是（1,0），则当直线AB的方程是时，，所以，符合题意｜AF｜＝2，此时有｜BF｜＝2；当直线AB的斜率存在时，所得的｜AF｜的值大于2或小于2，不会等于2.‎ ‎【答案】2‎ ‎5.（2010·重庆高考理科·Ｔ１4）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B满足，则弦AB的中点到准线的距离为___________.‎ ‎【命题立意】本题考查抛物线的定义和性质，考查向量的知识及应用，体现了转化的思想方法.‎ ‎【思路点拨】易得抛物线的准线方程，根据抛物线定义将抛物线上的点到准线的距离转化为向量的模和，再根据有关平面几何的性质求解.‎ ‎【规范解答】 因为，所以弦AB是过焦点F的弦，且.‎ 设点A，B到准线的距离分别是，，那么，‎ 点A，B的横坐标分别是，，‎ 所以，.如图所示，‎ O 所以，解得.‎ 所以d1=4，根据梯形中位线的性质可得弦AB的中点到准线的距离为.‎ ‎【答案】‎ ‎【方法技巧】本题是一道综合题，综合的知识点有（1）抛物线的定义、性质.（2）平面向量相等的性质.‎ ‎（3）梯形中位线的性质.（4）相似三角形的性质.本题的关键是根据梯形中位线性质，把“弦AB的中点到准线的距离”转化为抛物线上的点到准线的距离，再根据抛物线定义转化为到焦点F的距离.‎ ‎6.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ21）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于,两点，点A关于轴的对称点为D .‎ ‎（1）证明：点F在直线BD上.‎ ‎（2）设，求的内切圆M的方程 .‎ ‎【命题立意】“看似寻常却艰辛”.本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想.‎ ‎【思路点拨】本题可设过点的直线方程为但需要对进行讨论，为了简化解答过程我们设直线方程为，将其代入抛物线化简求解.‎ ‎【规范解答】设,的方程为.‎ ‎（1）将代入并整理得,‎ 从而①.‎ 直线的方程为,‎ 即.‎ 令,得.‎ 所以点在直线上.‎ ‎(2)由（1）知,,‎ ‎.‎ 因为,‎ ‎,‎ 故,解得.‎ 所以的方程为.‎ 又由（1）易知,‎ 故直线的斜率,‎ 因而直线的方程为.‎ 因为为的平分线,故可设圆心,到及的距离分别为.‎ 由得,或(舍去),‎ 故圆的方程为.‎