2009年天津市高考数学试卷（文科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】
2009年天津市高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1. i是虚数单位，5i2-i=( )
A.1+2i B.-1-2i C.1-2i D.-1+2i
2. 设变量x，y满足约束条件：x+y≥3x-y≥-12x-y≤3 ，则目标函数z＝2x+3y的最小值为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.23
3. 设x∈R，则x=1是x3=x的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4. 设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±2x B.y=±2x C.y=±22x D.y=±12x
5. 设a=log132，b=log123，c=(12)0.3，则（ ）
A.a
0)的最小正周期为π，将y=f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是（ ）
A.π2 B.3π8 C.π4 D.π8
8. 设函数f(x)=x2-4x+6,x≥0x+6,x<0 则不等式f(x)>f(1)的解集是（ ）
A.(-3, 1)∪(3, +∞) B.(-3, 1)∪(2, +∞) C.(-1, 1)∪(3, +∞) D.(-∞, -3)∪(1, 3)
9. 设x，y∈R，a>1，b>1，若ax=by=3，a+b=23，则1x+1y的最大值为（ ）
A.2 B.32 C.1 D.12
10. 设函数f(x)在R上的导函数为f'(x)，且2f(x)+xf'(x)>x2，下面的不等式在R内恒成立的是（ ）
A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)>x D.f(x)0)的公共弦的长为23，则a=________．
15. 若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM→=16CB→+23CA→，则MA→⋅MB→=________．
16. 若关于x的不等式(2x-1)20．
（1）当m=1时，求曲线 y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；
（2）求函数的单调区间与极值；
（3）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1<x2．若对∀x∈[x1, x2]，f(x)>f(1)恒成立，求实数m的取值范围．
22. 以知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c, 0)和F2(c, 0)(c>0)，过点E(a2c，0)的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A // F2B，|F1A|=2|F2B|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m, n)(m≠0)在△AF1C的外接圆上，求nm的值．
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参考答案与试题解析
2009年天津市高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.D
2.B
3.B
4.C
5.D
6.C
7.D
8.A
9.C
10.A
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11.2
12.3
13.{2, 4, 6, 8}
14.1
15.-2
16.(259，4916]
三、解答题（共6小题，满分76分）
17.解：（1）在△ABC中，∵ sinC=2sinA
∴ 由正弦定理得AB=2BC
又∵ BC=1
∴ AB=2
（2）在△ABC中，∵ AB=2，BC=1，AC=5∴ AB2+BC2=AC2∴ △ABC是Rt△且∠ABC=90∘
∴ sinA=55，cosA=255
∴ sin(2A-π4)=sin2A⋅cosπ4-cos2Asinπ4
=22(2sinAcosA-cos2A+sin2A)
=22(2×55×255-45+15)
=210
18.解：(1)工厂总数为18+27+18=63，
样本容量与总体中的个体数比为763=19，
所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2.
(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，
B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，
C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，
这7个工厂中随机的抽取2个，
全部的可能结果有：C72种，
随机抽取2个工厂至少有一个来自A区的结果有:
(A1, A2)，(A1, B2)(A1, B1)(A1, B3)(A1, C2)(A1, C1)，
同理A2还能组合5种，一共有11种．
所以所求的概率为11C72=1121.
19.解：(1)证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，
因为AD=CD，且DB平分∠ADC，
所以H为AC的中点，又有题设，
E为PC的中点，故EH // PA，
又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA // 平面BDE
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(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC
由(1)知，BD⊥AC，PD∩BD=D，
故AC⊥平面PBD
(3)由AC⊥平面PBD可知，
BH为BC在平面PBD内的射影，
所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．
由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=22，可得DH=CH=22，BH=322
在Rt△BHC中，tan∠CBH=CHBH=13，
所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为13．
20.19
21.解：（1）当m=1时，f(x)=-13x3+x2，f'(x)=-x2+2x，
故f'(1)=-1+2=1，所以曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线的斜率为1．
（2）f'(x)=-x2+2x+m2-1，令f'(x)=0，解得x=1-m或x=1+m．
∵ m>0，所以1+m>1-m，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(-∞, 1-m)
1-m
(1-m, 1+m)
1+m
(1+m, +∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
∴ f(x)在(-∞, 1-m)，(1+m, +∞)内是减函数，在(1-m, 1+m)内是增函数．
函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m)，且f(1-m)=-23m3+m2-13，
函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m)，且f(1+m)=23m3+m2-13．
（3）由题设，f(x)=x(-13x2+x+m2-1)=-13x(x-x1)(x-x2)，
∴ 方程-13x2+x+m2-1=0有两个相异的实根x1，x2，
故x1+x2=3，且△=1+43(m2-1)>0，∵ m>0
解得m>12，
∵ x1<x2，所以2x2>x1+x2=3，
故x2>32>1．
①当x1≤1<x2时，f(1)=-13(1-x1)(1-x2)≥0，而f(x1)=0，不符合题意，
②当10，x-x1≥0，x-x2≤0，
则f(x)=-13x(x-x1)(x-x2)≥0，又f(x1)=0，所以f(x)在[x1, x2]上的最小值为0，
于是对任意的x∈[x1, x2]，f(x)>f(1)恒成立的充要条件是f(1)=m2-13<0，
解得-3312，
综上，m的取值范围是(12, 33)．
22.（1）解：由F1A // F2B且|F1A|=2|F2B|，
得|EF2EF1|=|F2BF1A|=12，从而a2c-ca2c+c=12
整理，得a2=3c2，故离心率e=ca=33
（2）解：由(I)得b2=a2-c2=2c2，
所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2
设直线AB的方程为y=k(x-a2c)，即y=k(x-3c)．
由已知设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则它们的坐标满足方程组y=k(x-3c)2x2+3y2=6c2
消去y整理，得(2+3k2)x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0．
依题意，△=48c2(1-3k2)>0，得-33
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