2020届高考数学大二轮复习层级二专题二三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形课时作业

2020届高考数学大二轮复习层级二专题二三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形课时作业

第2讲 三角恒等变换与解三角形 限时50分钟　满分76分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)‎ ‎1．(2020·河北省六校联考)已知α∈(0，π)，且tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：B　[∵α∈(0，π)，tan α＝2，∴α在第一象限，cos α＝，cos 2α＋cos α＝2cos2α－1＋cos α＝2×2－1＋＝－＋＝，选B.]‎ ‎2．(2020·日照模拟)已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：C　[∵sin 2α＝cos＝2cos2－1＝，∴cos2＝.]‎ ‎3．(组合型选择题)下列式子的运算结果为的是(　　 )‎ ‎①tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°；‎ ‎②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；‎ ‎③；　④.‎ A．①②④ B．③④‎ C．①②③ D．②③④‎ 解析：C　[对于①，tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝；‎ 对于②，2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝；‎ 对于③，＝＝tan 60°＝；‎ - 6 -‎ 对于④，＝×＝×tan＝.‎ 综上，式子的运算结果为的是①②③.故选C.]‎ ‎4．(2019·沈阳质检)已知△ABC的内角分别为A，B，C，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边的高为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：B　[由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，得7＝AB2＋4－4ABcos 60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，则BC边上的高为ABsin 60°＝，故选B.]‎ ‎5．(2020·广西南宁、玉林、贵港等市摸底)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，C＝，sin B＝2sin A，则△ABC的周长是(　　)‎ A．3 B．2＋ C．3＋ D．4＋ 解析：C　[在△ABC中，sin B＝2sin A，∴由正弦定理得b＝2a，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋4a2－2a2＝3a2，又c＝，∴a＝1，b＝2.∴△ABC的周长是a＋b＋c＝1＋2＋＝3＋.故选C.]‎ ‎6.‎ ‎(2019·保定二模)已知在河岸A处看到河对岸两个帐篷C，D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，若向东走30米到达B处后再次观察帐篷C，D，此时C，D分别在北偏西15°和北偏西60°方向，则帐篷C，D之间的距离为(　　)‎ A．10米 B．10米 C．5米 D．5米 解析：C　[由题意可得∠DAB＝60°，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∠DBA＝30°，在△ABD中，∠DAB＝60°，∠DBA＝30°，AB＝30，所以∠ADB＝90°，sin∠DAB＝sin 60°＝，解得BD＝15.在△ABC中，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，所以∠ACB＝60°，＝ - 6 -‎ ‎，解得BC＝10.在△BCD中，∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝45°，则由余弦定理得cos∠CBD＝cos 45°＝，即＝，得CD＝5.故选C.]‎ 二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)‎ ‎7．(2020·陕西省质量检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝1－，且b＝5，·＝5，则△ABC的面积是________．‎ 解析：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝1－，‎ 所以＝1－，化简可得：b2＝a2＋bc－c2，可得cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝.‎ 又b＝5，·＝5，∴bccos A＝5，∴bc＝10.‎ S＝·bcsin A＝×10×＝.‎ 答案： ‎8．(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.‎ 解析：解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征．‎ 在ΔABD中，有：＝，而AB＝4，∠ADB＝，AC＝＝5，sin∠BAC＝＝，cos∠BAC＝＝，所以BD＝.‎ cos∠ABD＝cos(∠BDC－∠BAC)＝coscos∠BAC＋sinsin∠BAC＝.‎ 答案：， - 6 -‎ 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)‎ ‎9．(2019·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ ‎(1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；‎ ‎(2)若＝，求sin的值．‎ 解：(1)因为a＝3c，b＝，cos B＝，‎ 由余弦定理，得cos B＝，‎ 得＝，即c2＝.所以c＝.‎ ‎(2)因为＝，‎ 由正弦定理＝，得＝，所以cos B＝2sin B.‎ 从而cos2 B＝(2sin B)2，即cos2 B＝4(1－cos2 B)，故cos2 B＝.‎ 因为sin B＞0，所以cos B＝2sin B＞0，从而cos B＝.‎ 因此sin＝cos B＝.‎ ‎10．(2020·辽宁三市调研)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．‎ 解：(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.‎ 根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ 所以sin Acos B＝sin(C＋B)，即sin Acos B＝sin A.‎ 因为A∈(0，π)，所以sin A＞0，‎ 所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)因为|－|＝，所以||＝，即b＝，‎ 根据余弦定理及基本不等式得 ‎6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋)，‎ - 6 -‎ 故△ABC的面积S＝acsin B≤，‎ 即△ABC面积的最大值为.‎ ‎11.‎ ‎(2020·广东六校联考)某学校的平面示意图为如图五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD＝∠CDE＝，∠BAE＝，DE＝3BC＝3CD＝ km.‎ ‎(1)求道路BE的长度．‎ ‎(2)求生活区△ABE面积的最大值．‎ 解析：‎ ‎(1)如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理得：BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝，所以BD＝，因为BC＝CD，所以∠CDB＝∠CBD＝＝，又∠CDE＝，所以∠BDE＝.‎ 在Rt△BDE中，BE＝＝.‎ ‎(2)设∠ABE＝α，因为∠BAE＝，‎ 所以∠AEB＝－α.在△ABE中，由正弦定理，得 ＝＝＝＝，‎ 所以AB＝sin，AE＝sin α.‎ - 6 -‎ 所以S△ABE＝|AB||AE|sin ‎＝ ‎＝≤＝，‎ 因为0＜α＜，所以当2α－＝，即α＝时，S△ABE取得最大值为，即生活区△ABE面积的最大值为.‎ - 6 -‎