云南省曲靖市第二中学2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题 含答案

云南省曲靖市第二中学2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题 含答案

曲靖市第二中学2019届高三第一次模拟考试 文科数学 ‎(本卷满分分，考试时间分钟)‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题的四个选项中只有一个是正确的。‎ ‎1.若复数，则在复平面内对应的点位于 ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.若集合，，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知P(1,3)在双曲线－＝1的渐近线上, 则该双曲线的离心率为 A. B‎.2 C. D. ‎4.“a=‎1”‎是“直线ax+2y-8=0与直线x+（a+1）y+4=0平行”的 A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 ‎ C. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.函数在点处的切线方程是 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知，是非零向量，且向量，的夹角为，若向量，则 ‎ A． B． C. D.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为63，‎ 则判断框中应填入的条件为 ‎ A. B.‎ C. D. （第7题图）‎ ‎8.已知数列的前n项和为Sn , 通项公式an＝log2 (n∈N*), 则满足不等式Sn<－6的n的最小值是 A.62 B‎.63 C.126 D.127‎ ‎9.在中，的对边分别为，其中,且,则其最小角的余弦值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.右图为一个正四面体的侧面展开图，G为BF的中点，则 在原正四面体中，直线EG与直线BC所成角的余弦值为 ‎ A. B.‎ C. D. （第10题图）‎ ‎11.本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放, 甲、乙两人计划前去自习, 其中甲连续自习2小时, 乙连续自习3小时．假设这两人各自随机到达图书馆, 则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是 A. B. C. D. ‎12.已知双曲线的两顶点分别为，为双曲线的一个焦点，为虚轴的一个端点,若在线段上（不含端点）存在两点，使得，则双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：（本题共4个小题，每个小题5分，共20分）‎ ‎13. 已知圆C1：(x－a)2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x＋5＝0外切, 则a的值为 .‎ ‎14. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .‎ ‎15.若变量x，y满足，且的最小值为，则实数的值为 .‎ ‎16.在平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，且．‎ 若，则的值为 .‎ 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）‎ ‎17.（本题12分）已知函数 ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）求使函数取得最大值的的集合．‎ 18. ‎（本题12分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级. 若S≤4，则该产品为一等品. 现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ 质量指标 ‎(x，y，z)‎ ‎(1,1,2)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,2)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(1,2,1)‎ 产品编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 质量指标 ‎(x，y，z)‎ ‎(1,2,2)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,1)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(2,1,2)‎ ‎(1) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；‎ ‎(2) 在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，‎ ‎①用产品编号列出所有可能的结果；‎ ‎②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于‎4”‎，求事件B发生的概率．‎ ‎19.（本题12分）如图, 已知三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面, AB＝AC, ∠BAC＝90, 点M, N分别是A′B和B′C′的中点. ‎ ‎(1) 证明：MN∥平面AA′C′C；‎ ‎(2) 设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.（本题12分）如图, 已知抛物线C：y2＝x和⊙M：(x－4)2＋y2＝1, 过抛物线C上一点H(x0，y0) (y0≥1)作两条直线与⊙M分别相切于A、B两点, 分别交抛物线于E、F两点.‎ ‎(1) 当∠AHB的角平分线垂直x轴时, 求直线EF的斜率；‎ ‎(2) 若直线AB在y轴上的截距为t, 求t的最小值.‎ ‎ ‎ ‎21.（本题12分）设和是函数的两个极值点，其中，.‎ ‎(1) 求的取值范围；‎ ‎(2) 若,求的最大值.‎ 请考生在第22,23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 ‎22. （本题10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系xOy中, 圆C的参数方程为 (θ为参数).‎ ‎(1) 以原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2) 已知A(－2, 0), B(0, 2), 圆C上任意一点M, 求△ABM面积的最大值.‎ ‎23. （本题10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)＝k－, x∈R且f(x＋3)≥0的解集为.‎ ‎(1) 求k的值；‎ ‎(2) 若a, b, c是正实数, 且＋＋＝1, 求证：a＋b＋c≥1.‎ 曲靖市第二中学2019届高三第一次模拟考试答案 文科数学 一．选择题 ‎1.A 2.A 3.A 4.A 5.C 6.D 7.B 8.C 9.C 10.C 11.B 12.A 二．填空题 ‎13.0或6 14. 15. 2 16. ‎ ‎17. (1) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－) ‎ ‎ = 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1‎ ‎ =2sin[2(x－)－]+1‎ ‎ = 2sin(2x－) +1 ∴ T==π ‎ (2) 当f(x)取最大值时, sin(2x－)=1, 有 2x－ =2kπ+ ‎ 即x=kπ+ (k∈Z) ‎ ‎∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ , (k∈Z)}.‎ ‎18.(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ S ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎5‎ 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6. ------4分 ‎(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种 ----9分 ‎②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝. ----12分 ‎19.(1)取A′B′的中点E，连接ME，NE.‎ 因为点M，N分别是A′B和B′C′的中点，所以NE∥A′C′，ME∥AA′，‎ 又A′C′面AA′C′C，AA′面AA′C′C，‎ 所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，‎ 所以平面MNE∥平面AA′C′C，因为MN平面MNE，‎ 所以MN∥平面AA′C′C. 6分 ‎(2)连接BN，设A′A＝a，则AB＝λa，由题意知BC＝λa，NC＝BN＝，‎ ‎∵三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，∴平面A′B′C′⊥平面BB′C′C，‎ ‎∵AB＝AC，点N是B′C′的中点，∴A′N⊥平面BB′C′C，∴CN⊥A′N.‎ 要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，∴CN2＋BN2＝BC2，2＝2λ‎2a2‎ ‎ ∴ λ＝，‎ ‎∴当λ＝时，CN⊥平面A′MN. 12分 ‎20．(1)法一：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H(4，2)，‎ ‎∴kHE＝－kHF，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，‎ ‎∴＝－，∴＝－，∴y1＋y2＝－2yH＝－4，‎ kEF＝＝＝＝－. 6分 法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H(4，2)，‎ ‎∴∠AHB＝60°，可得kHA＝，kHB＝－，∴直线HA的方程为y＝x－4＋2，‎ 联立方程组得y2－y－4＋2＝0，‎ ‎∵yE＋2＝，∴yE＝，xE＝.‎ 同理可得yF＝，xF＝，∴kEF＝－. 6分 ‎(2)法一：‎ 设点H(m2，m)(m≥1)，HM2＝m4－‎7m2‎＋16，HA2＝m4－‎7m2‎＋15.‎ 以H为圆心，HA为半径的圆方程为：(x－m2)2＋(y－m)2＝m4－‎7m2‎＋15，①‎ ‎⊙M方程：(x－4)2＋y2＝1.②‎ ‎①－②得：直线AB的方程为(2x－m2－4)(4－m2)－(2y－m)m＝m4－‎7m2‎＋14.‎ 当x＝0时，直线AB在y轴上的截距t＝‎4m－(m≥1)，‎ ‎∵t关于m的函数在[1，＋∞)单调递增，∴tmin＝－11. 12分 法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵kMA＝，∴kHA＝，‎ 可得，直线HA的方程为(4－x1)x－y1y＋4x1－15＝0，‎ 同理，直线HB的方程为(4－x2)x－y2y＋4x2－15＝0，‎ ‎∴(4－x1)y－y1y0＋4x1－15＝0，(4－x2)y－y2y0＋4x2－15＝0，‎ ‎∴直线AB的方程为(4－y)x－y0y＋4y－15＝0，‎ 令x＝0，可得t＝4y0－(y0≥1)，‎ ‎∵t关于y0的函数在[1，＋∞)单调递增，∴tmin＝－11. 12分 ‎21.函数的定义域为,. ‎ 依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故 ‎ ‎, 并且. ‎ 所以, ‎ ‎ ‎ 故的取值范围是 ‎ ‎(Ⅱ)解:当时,.若设,则 ‎ ‎. ‎ 于是有 ‎ ‎ ‎ 构造函数(其中),则. ‎ 所以在上单调递减,. ‎ 故的最大值是 .‎ ‎22.(1)圆C的参数方程为(θ为参数)‎ 所以普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝4，‎ ‎∴圆C的极坐标方程：ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0. 5分 ‎(2)设点M(3＋2cos θ，－4＋2sin θ)，‎ 则点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝，‎ ‎△ABM的面积S＝×|AB|×d＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝，‎ 所以△ABM面积的最大值为9＋2. 10分 ‎23.(1)因为f(x)＝k－，所以f(x＋3)≥0等价于：‎ 由≤k有解，得k≥0，且其解集为 又f(x＋3)≥0的解集为，故k＝1. 5分 ‎(2)由(1)知＋＋＝1，又a，b，c是正实数，由均值不等式得 a＋2b＋‎3c＝(a＋2b＋‎3c) ＝3＋＋＋＋＋＋＝‎ ‎3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，‎ 当且仅当a＝2b＝‎3c时取等号．‎ 也即a＋b＋c≥1. 10分