广西南宁市第三中学2019-2020学年高二期中段考数学（文）试题

广西南宁市第三中学2019-2020学年高二期中段考数学（文）试题

南宁三中2019-2020学年度下学期高二段考 文科数学试题 命题人：曹东林 罗佼佼 杨海棠 审题人：曹东林 罗佼佼 杨海棠 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．观察数列1，，，4，，，7，，……，则该数列的第11项等于（ ）‎ A．1111 B．11 C． D．‎ ‎3．已知等差数列的前n项和为，若，则一定成立的是 A． B． C． D．‎ ‎4．函数的图象在处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知焦点在轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各人；男性人，女性人.绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），‎ 其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（ ）‎ A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关 B．是否倾向选择生育二胎与性别无关 C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同 D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 ‎7．如图，在正方体中，，依次是和的中点，则异面直线与CF所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．0‎ ‎8．某企业有2个分厂生产某种零件，为了研究两个分厂生产零件的质量是否有差异，随机从2个分厂生产的零件中各抽取了500件，具体数据如下表所示：‎ 甲厂 乙厂 总计 优质品 ‎360‎ ‎320‎ ‎680‎ 非优质品 ‎140‎ ‎180‎ ‎320‎ 总计 ‎500‎ ‎500‎ ‎1000‎ 根据表中数据得，从而断定两个分厂生产零件的质量有差异，那么这种判断出错的最大可能性为（ ）‎ 附表：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ A．0.1 B．0.01 C．0.05 D．0.001‎ ‎9．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎10．函数图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数，若存在使得，则实数的取值范围是　　‎ A． B．‎ C． D．，‎ ‎12．定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.函数的极小值是__________‎ ‎14.已知函数定义域为R，，在上的导数满足，则不等式的解集为___________.‎ ‎15.关于的不等式恒成立，实数的取值范围是__________.‎ ‎16.已知双曲线的左、右焦点分别为，,过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为________‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。）‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（12分）在中，内角所对的边分别为，已知．‎ ‎（1）求角C的大小 ‎（2）若，的面积为，求的周长．‎ ‎18. （12分）长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入xi（百万元）和相应的销售额yi（百万元）进行了统计，其中i＝1，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下：‎ ‎68‎ ‎10.3‎ ‎15.8‎ ‎-192.12‎ ‎1.602‎ ‎0.46‎ ‎3.56‎ 其中，i＝1，2，3，4，5．‎ ‎（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为月销售额关于月广告投入xi的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立y关于x的回归方程，并据此估计月广告投入200万元时的月销售额．‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ ‎，．‎ ‎19.（12分）如图所示，四棱锥中，平面，，，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎20．（12分）已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值.‎ ‎21.（12分）已知函数 ‎（1）讨论当时，函数的单调性 ‎（2）当对任意的恒成立,其中.求的取值范围.‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4极坐标与参数方程]（10分）已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.‎ ‎23.[选修4-5不等式选讲]（10分）已知函数 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式的解集为空集，求a的取值范围 南宁三中2019-2020学年度下学期高二段考 文科数学试题参考答案 ‎1．【答案】B ‎【解析】∵ ∴‎ ‎∴的虚部为-1‎ ‎2.【答案】C ‎【解析】由数列得出规律，按照1，，，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，‎ 由，所以该数列的第11项为．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】因为，所以，.故选B．‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）,‎ 由题得，‎ 所以切线方程为,即：‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】由题意知，，∴，又，∴，则.‎ 因为椭圆的焦点在轴上时，所以椭圆方程为.‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图知：‎ 在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为，是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为，女性倾向选择生育二胎的比例为，是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为，人数为人，女性倾向选择生育二胎的比例为，人数为人，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数比女性人数多，故C错误；在D中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为人，城镇户籍人数为人，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D正确．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】连接，则，‎ 则（或其补角）为异面直线与所成角，‎ 在中，设，则，，‎ 由余弦定理得：，‎ 即异面直线与所成角的余弦值为 ‎8．【答案】B ‎【解析】由题意，，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为0.01.‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】圆的圆心为，‎ 由题意可得，即，，，‎ 则，当且仅当且即时取等号，故选：．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】由题意，函数的定义域为，‎ 且，所以函数为奇函数，排除A，B；‎ 当时，函数，则，‎ 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，排除D．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】根据题意，函数，其图象如图：‎ 直线恒过定点 若存在使得，则函数的图象在直线下方有图象或有交点，则直线与函数的图象必定有交点 分析可得：当时，直线经过第一三四象限，与函数的图象必有交点，符合题意；‎ 当时，直线经过第二三四象限，若直线与有交点，必然相交于第二象限 则有，即，变形可得 令，解得或（舍），则有，综合可得：的取值范围为 ‎12．【答案】B ‎【解析】由题意：，‎ 所以分别为的根，即为函数 的零点，‎ 可解得：；；‎ 又因为：；所以：‎ ‎13. 【答案】‎ ‎【解析】，由得 函数在上为增函数，上为减函数，上为增函数，故在处有极小值，极小值为.‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】构造函数，则，在上是增函数，且.又不等式可化为，即，∴.‎ ‎15. 【答案】‎ ‎【解析】在恒成立，即恒成立，即，‎ 令，则，‎ 当，即，解得，当，即，解得 所以在上为减函数，在上增函数，所以，‎ 所以 ‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解析】如图，设切点为，连接，过作于，是中点，，，，，故，在中，，即，故 ‎17. 【解析】（1）由正弦定理，得，‎ 因为，所以，故，又因为0＜C＜，所以 ‎（2）由已知，得.又，所以.‎ 由已知及余弦定理，得，所以，‎ 从而.即，故a+b+c=，所以的周长为.‎ ‎18. 【解析】（1）根据散点图选择作为回归方程．‎ ‎（2）令，则，，，‎ ‎，，‎ 故回归方程为，‎ 当月广告投入为200万元时，月销售额为（万元）．‎ 答：选择作为回归方程，当月广告投入为200万元时，月销售额约18002.233万元．‎ ‎19. 【解析】（1）取的中点，连结和，‎ ‎,分别为,的中点，且，‎ ‎，，，‎ 且，且，‎ 四边形为平行四边形，，‎ 平面，平面，平面 ‎（2）法一.由题意知 ‎，，‎ 又，平面，，‎ ‎，‎ 在中，，故，，‎ 设点到平面的距离为d，，即，‎ 法二.，为的中点，，‎ 平面，平面，，‎ ‎，，‎ 又，平面，，平面，‎ 由（1）可知，平面，‎ 平面，平面平面，‎ 作交于，则平面，在直角三角形中，有，‎ ‎，即点到平面距离为.‎ ‎20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【详解】（I）由题设：，解得 ‎∴椭圆C的方程为 ‎ ‎（Ⅱ）.设 ‎1.当ABx轴时，‎ ‎2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为 由已知，得 把代入椭圆方程消去y，‎ 整理得,有 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 当且仅当，即时等号成立. 当时， ‎ 综上所述，从而△AOB面积的最大值为 ‎21．（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）当时，，当为单调递增函数，，在为增函数 ‎（2）由已知有,其中,.‎ ‎.‎ 令,其中,.‎ 由得在上单调递增.‎ 又,当时,,‎ 故存在,使得.‎ 当时,,,在上单调递减;‎ 当时,,,在上单调递增.‎ 故.‎ 由得,,即.‎ 则.‎ 令,由,,解得.‎ 因为在上单调递增,,所以.‎ 故,即,解得 ‎22．（1）直线普通方程：，曲线直角坐标方程：；（2）.‎ ‎【解析】（1）由直线参数方程消去可得普通方程为：‎ 曲线极坐标方程可化为：‎ 则曲线的直角坐标方程为：，即 ‎（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得：‎ 设两点对应的参数分别为：，则，‎ ‎23．(1) 或. (2) ‎ ‎【解析】(1)根据条件 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 综上，的解集为或. ‎ ‎(2)由于可得的值域为.‎ 又不等式的解集为空集，所以. ‎