2019-2020学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（实验班）上学期第三次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（实验班）上学期第三次月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（实验班）上学期第三次月考数学试题 一、单选题 ‎1．以下说法正确的有（ ）‎ ‎①若，则；‎ ‎②若是定义在R上的奇函数，则；‎ ‎③函数的单调递减区间是；‎ ‎④若集合P ={a，b，c}，Q ={1，2，3}，则映射f：P →Q中满足f（b）=2的不同映射共有9个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【解析】①由 ，故错误；②中，正确；③单调递减区间为， 故错误；④不同映射共有 个，故正确，综上正确的有 个，故选B.‎ ‎2．函数在区间上的最大值为，最小值为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵函数 ‎∴函数的对称轴为直线，且函数的最小值为 令，解得或4‎ ‎∵在区间上的最大值为5，最小值为 ‎∴实数的取值范围是 故选B 点睛：本题考查二次函数的图象与性质.二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系函数的图象是探求解题思路的有效方法，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析. ‎ ‎3．函数在[0，2]上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数是偶函数可得函数图像关于对称，利用对称性将数值转化到内比较大小.‎ ‎【详解】‎ 函数是偶函数，则其图象关于轴对称，所以函数的图像关于对称，则，，函数在上单调递增，则有 ‎，所以.选.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数的性质.由的奇偶性得到的对称性是本题解题关键.需要考生熟练掌握函数解析式与函数图象变换之间的关系.‎ ‎4．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项B、C； 时，函数在上递增，可排除选项D；故选A.‎ 点晴:本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.‎ ‎5．设是定义在上的奇函数，且，当时， ，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数满足 是周期为的周期函数，‎ 当时， ‎ 故 故选 点睛：本题考查了函数的奇偶性与周期性，要求较大的数的函数值只需利用周期性进行转化，然后再运用函数是奇函数求得结果，属于基础题型 ‎6．设U=R，集合，则下列结论正确的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，‎ ‎∴,选项A错误；‎ ‎，选项B错误；‎ ‎，选项C正确，D错误，‎ 故选：C 点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎7．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数，其图像如图所示，则这个函数的解析式为(　　)‎ A．p＝96V B．p＝‎ C．p＝ D．p＝‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设，由图象可知，点 在函数图象上，所以，解得，故，故选D.‎ ‎8．设函数与的图象的交点为，则所在的区间为(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，则，故的零点在内，因此两函数图象交点在内，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查函数图象的交点与函数零点的关系、零点存在定理的应用，属于中档题. 零点存在性定理的条件：（1）利用定理要求函数在区间上是连续不断的曲线；（2）要求；（3）要想判断零点个数还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性). ‎ ‎9．已知函数，则下列结论正确的是 A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 ‎【答案】C ‎【解析】将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝，画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．‎ ‎10．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意得，，故选B．‎ ‎【考点】指数幂运算及对数的运算性质．‎ ‎11．已知是上的奇函数，且当时，，则当时，的解析式是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，则，所以，又是上的奇函数，所以，故选D.‎ 二、填空题 ‎12．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为(　　)‎ A．[1，＋∞) B．[0，]‎ C．[0，1] D．[1，]‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，求的增区间，再求的减区间，从而求缓增区间.‎ ‎【详解】‎ 因为函数的对称轴为x＝1，‎ 所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，‎ 又当x≥1时，， ‎ 令(x≥1)，则，‎ 由g′(x)≤0得，‎ 即函数在区间上单调递减，‎ 故“缓增区间”I为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关新定义的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，属于简单题目.‎ ‎13．函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，=‎ ‎=．已知定义在R上的函数=，若= = ，则A中所有元素的和为___．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】根据取整函数的意义，将定义域分为、、x=1三段分别求得值，即可求得集合A中的各元素，进而求得A中所有元素的和。‎ ‎【详解】‎ 由题意，∵，‎ ‎∴，当时，==；‎ 当时，=；‎ 当x=1时，==，‎ ‎∴=，则A中所有元素的和为4，‎ 故答案为4．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数新定义及性质的简单应用，注意分段函数边界点的选择，属于中档题。‎ ‎14．若是奇函数，则常数的值为___________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】 因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 化解得，所以，解得． ‎ ‎15．若函数在上为奇函数，且当时，，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数在上为奇函数故 ，， ‎ 故 ‎ 故答案为：-7.‎ ‎16．将函数的图像先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到函数的图像，则函数的零点为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将函数的图像先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到函数 ‎ 令，得到其零点为 即答案为 三、解答题 ‎17．已知 ，，设集合，.‎ ‎（1）若，请用区间表示；（提示：解含对数的不等式一定要考虑定义域和单调性）‎ ‎（2）若，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）由对数函数的性质可得，解不等式组即可得结果；（2）由，可得，结合对数函数的性质可得，由可得 ‎，讨论两种情况，列不等式求解即可.‎ 试题解析：（1）当时，不等式：‎ ‎ ‎ 所以.‎ ‎（2）若，则.‎ 不等式 ‎ 此时，.‎ ‎①若，即时，成立.‎ ‎②若，则 综上，的取值范围是.‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）增区间为；减区间为；（2）．‎ ‎【解析】【详解】试题分析：‎ ‎（1）当时，，由可得函数的定义域为，结合图象可得函数的减区间为，增区间为。（2）令，分两种情况考虑。当时，若满足题意则在上单调递减，且；当时，若满足题意则在上单调递增，且。由此得到关于a的不等式组，分别解不等式组可得所求范围。‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，‎ 由，得，‎ 解得或，‎ 所以函数的定义域为，‎ 利用复合函数单调性可得函数的增区间为，减区间为。‎ ‎（2）令，则函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线，‎ ‎①当时，‎ 要使函数在区间上是增函数，则在上单调递减，且，‎ 即，此不等式组无解。‎ ‎②当时，‎ 要使函数在区间上是增函数，则在上单调递增，且，‎ 即，解得，‎ 又，‎ ‎ ∴，‎ 综上可得．‎ 所以实数的取值范围为。‎ 点睛：‎ 求函数的单调区间时容易忽视函数定义域的限制，对数型函数的单调性满足“同增异减”的性质。对于本题中的（2），同样容易忽视的限制条件，解题时要考虑全面，不要漏掉条件。‎ ‎19．已知定义在上的函数是奇函数.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）判断在上的单调性，并用定义证明；‎ ‎（3）若对任意的，关于的不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），（2）在上为减函数（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用函数是奇函数，建立方程关系解，；（2）利用定义法证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为，然后利用单调性求的取值范围.‎ 试题解析：（1）因为是定义在上的奇函数 所以，解得，‎ 经检验符合题意，所以，‎ ‎（2）由（1）知 设，则 因为是增函数，所以，所以 所以在上为减函数 ‎（3）因为为上减函数，且为奇函数 所以等价于，所以恒成立 即，所以 点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性和奇偶性的综合应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，灵活运用函数性质去掉不等式中的符号“”是解题的关键所在，难度不大；在该题中可将不等式转化为，结合单调性由此可把不等式化为具体不等式求解.‎ ‎20．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 ‎（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4（尾/立方米）时，的值为（千克/年）；当时，是的一次函数；当达到（尾/立方米）时，因缺氧等原因，的值为（千克/年）．‎ ‎（1）当时，求函数的表达式；‎ ‎（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值．‎ ‎【答案】（1）= ‎（2）当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意：当时，； 2分 当时，设，显然在是减函数，‎ 由已知得，解得 4分 故函数 = 6分 ‎（2）依题意并由（1）可得 8分 当时，为增函数，故； 10分 当时，，‎ ． ‎ ‎ 所以，当时，的最大值为． 13分 当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米．‎ ‎ 14分 ‎【考点】函数模型的运用 点评：主要是考查了函数模型的实际运用，属于中档题。‎ ‎21．若是定义在上的函数，且满足，‎ 当时，.‎ ‎（1）判断并证明函数的单调性；‎ ‎（2）若，解不等式.‎ ‎【答案】（1）增函数,证明见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合所给的抽象函数关系可由时有，即在定义域内为增函数；‎ ‎(2)原问题等价于x的不等式组，求解不等式组可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）增函数 证明：令，且，则 由题意知：‎ 又∵当x>1时， ∴ ∴‎ ‎∴在定义域内为增函数 ‎(2)令x=4,y=2 由题意知： ∴‎ 又∵是增函数，可得 ∴.‎ 点睛：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。‎ ‎22．已知且，函数.‎ ‎（1）求的定义域及其零点；‎ ‎（2）讨论并用函数单调性定义证明函数在定义域上的单调性；‎ ‎（3）设，当时，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 定义域为,函数的零点为-1;(2)见解析;(3) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意知求得函数 定义域为，再由，即可求解函数的零点；‎ ‎（2）根据函数的单调性的定义，即可证明函数的单调性；‎ ‎（3）由任意，存在，使得成立，得到 由（2）知当时，在上单调递增，得到函数的最大值为，分三种情况讨论，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意知，，，解得，‎ 所以函数 定义域为.‎ 令，得，解得，故函数的零点为-1；‎ ‎（2）设，是内的任意两个不相等的实数，且，则，‎ ‎∵，∴，即 所以当时，，故在上单调递减，‎ 当时，，故在上单调递增.‎ ‎（3）若对于任意，存在，使得成立，‎ 只需 由（2）知当时，在上单调递增，则 ‎①当时，，成立 ‎②当时，在上单调递增，，由，解得，∴‎ ‎③当时，在上单调递减，，由，解得，∴‎ 综上，满足条件的的范围是.‎ 点睛：本题函数性质的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性的定义证明与判定，函数的奇偶性的应用，函数零点的概念与求解，同时考查了分类讨论思想和转化与化归思想，本题的解答中熟记函数的基本性质的概念和判定方法，合理转化恒成立与有解问题时解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.‎