2017-2018学年天津市静海县第一中学、杨村一中、宝坻一中等六校高二上学期期中联考数学试题

2017-2018学年天津市静海县第一中学、杨村一中、宝坻一中等六校高二上学期期中联考数学试题

2017-2018 学年天津市静海县第一中学、杨村一中、宝坻一中 等六校高二上学期期中数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在答题卡上。 2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再填涂。其他答案，写在答题卡上，不能答在试卷上。 一、选择题：（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） （1）直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的位置关系是（ ）. （A）相切 （B）相交 （C）相离 （D）不确定 （2）在梯形 中， ， ， .将梯形 绕 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）. （A） （B） （C） （D） （3）已知平面 α，β，直线 l，m，且有 l⊥ α，m⊂β，则下列四个命题正确的个数为 （ ）． ①若α∥β，则 l⊥m； ②若 l∥m，则 l∥β； ③若α⊥β，则 l∥m； ④若 l⊥m，则 l⊥β； （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （4）已知点(4a，2b)(a>0，b>0)在圆 C：x2＋y2＝4 和圆 M：(x－2)2＋(y－2)2＝4 的公共弦上， 则 的最小值为（ ）. （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 （5）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的 ABCD 2ABC π∠ = AD BC∥ 2 2 2BC AD AB= = = ABCD AD 2 3 π 4 3 π 5 3 π 2π 1 2+a b （A） （B） （C） （D） z A1 B1 C1 A B C y x C1 B1 A1 C A B A A1 图形是（ ）． （6）如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1， ，且 CA=CC1=2CB，则直线 BC1 与直线 AB1 所 成角的余弦值为（ ）． （A） （B） （C） （D） （7）设点 P 是函数 的图象上的任意一点，点 Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的 最大值为（ ）. （A） ＋2 （B） ＋2 （C） （D） （8）已知圆 x2+y2+x–6y+3=0 上的两点 P，Q 关于直线 kx–y+4=0 对称，且 OP⊥OQ（O 为坐 标原点），则直线 PQ 的方程为（ ）． （A）y= – x+ （B）y= – x+ 或 y= – x+ （C）y= – x+ （D）y= – x+ 或 y= – x+ 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．请将答案填在答题卡上） （9）如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都是 2，以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点 B1 的坐标 是__________． （10）经过点 M(–2，m)、N(m，4)的直线的斜率等于 1， 则 m 的值为__________． ⊥AC BC 5 5 5 3 2 5 5 3 5 24 ( 1)y x= − − − 7 5 5 5 7 5 5 5 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 4 5 2 1 4 1 2 1 2 3 2 1 4 5 P AD C B F E （11）将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使 BD=a，则三棱锥 D-ABC 的体积为 __________． （12）一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线 l：x–y+1=0 上 的 P 点，再从 P 点出发爬行到点 A (1，1)，则虫子爬行 的最短路程是__________． （13）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体 的体积为__________m3． （14）若圆 C1：x2+y2+2ax+a2–4=0（a∈R）与圆 C2：x2+y2–2by–1+b2=0（b∈ R）恰有三条公切 线，则 a+b 的最大值为__________． 三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （15）（本小题满分 13 分） 已知圆 C：x2+y2+2x–2y–2=0 和直线 l：3x+4y+14=0． （Ⅰ）求圆 C 的圆心坐标及半径； （Ⅱ）求圆 C 上的点到直线 l 距离的最大值． （16）（本小题满分 13 分） 如图，四棱锥 P―ABCD 的底面 ABCD 是菱形，∠BCD=60°，PA⊥平面 ABCD，E 是 AB 的中点，F 是 PC 的中点． （Ⅰ）求证：平面 PDE⊥平面 PAB； （Ⅱ）求证：BF∥平面 PDE． （17）（本小题满分 13 分） 已知点 P(2，–1)． （Ⅰ）求过点 P 且与原点距离为 2 的直线 l 的方程； （Ⅱ）求过点 P 且与原点距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少? 第 13 题图 正视图 侧视图 俯视图 E F B A C D （18）（本小题满分 13 分） 如图，四边形 为矩形，四边形 为直角梯形， ， ， ， ， ， ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求证： ； （Ⅲ）若二面角 的大小为 120°， 求直线 与平面 所成的角． （19）（本小题满分 14 分） 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都是 2，AA1⊥平面 ABC，D，E 分别是 AC，CC1 的中点． （Ⅰ）求证：AE⊥平面 A1BD； （Ⅱ）求二面角 D-BA1-A 的余弦值； （Ⅲ）求点 B1 到平面 A1BD 的距离． （20）（本小题满分 14 分） 已知圆 M：x2+(y–2)2=1，Q 是 x 轴上的动点，QA，QB 分别切圆 M 于 A，B 两点． （Ⅰ）当 Q 的坐标为（1，0）时，求切线 QA，QB 的方程； （Ⅱ）求四边形 QAMB 面积的最小值； （Ⅲ）若|AB|= ，求直线 MQ 的方程． ABCD BCEF BF CE∥ BF BC⊥ BF CE＜ 2BF = 1AB = 5AD = BC AF⊥ AF DCE∥平面 E BC A− − DF ABCD 3 24 高二数学参考答案 一、选择题： 题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答 案 B C A D A A C D 二、填空题： （9）（ ，1，2）； （10）1； （11） a3； （12）2； （13）6+ ； （14）3 三、解答题：（其他正确解法请比照给分） （15）解：（Ⅰ）圆的方程化为(x+1)2+(y–1)2=4， ……………4 分 ∴圆心 C 的坐标为(–1，1)，半径 r=2． ……………6 分 （Ⅱ）圆心 C 到直线 l 的距离 d= =3， ……………10 分 ∴圆 C 上的点到直线 l 距离的最大值为 d+r=5． ……………13 分 （16）解：（Ⅰ）∵底面 ABCD 是菱形，∠BCD=60°， ∴△ABD 为正三角形， ∵E 是 AB 的中点，DE⊥AB． ……………2 分 ∵PA⊥面 ABCD，DE ⊂面 ABCD， ∴DE⊥AP， ……………3 分 ∴DE⊥面 PAB， ∵DE ⊂面 PDE， ∴面 PDE⊥面 PAB． ……………6 分 （Ⅱ）取 PD 的中点 G，连结 FG，GE， ……………7 分 ∵F，G 是中点，∴FG∥CD 且 ， ……………9 分 ∴FG 与 BE 平行且相等， ∴BF∥GE， ……………11 分 ∵GE⊂面 ， 3 12 2 π 2 22 43 141431 + +×+×− 1= 2FG CD PDE ∴BF∥面 PDE． ……………13 分 （17）解：（Ⅰ）①当 l 的斜率 k 不存在时 l 的方程为 x=2，符合题意． ……………2 分 ②当 l 的斜率 k 存在时，设 l：y+1=k(x–2)，即 kx–y–2k–1=0， 由点到直线的距离公式得 =2，解得 k= ，……………7 分 所以 l：3x–4y–10=0． 故所求 l 的方程为 x=2 或 3x–4y–10=0． ……………8 分 （Ⅱ）数形结合可得，过点 P 且与原点 O 距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线． 由 l⊥OP，得 klkOP= –1，所以 kl= – =2． ……………10 分 由直线方程的点斜式得直线 l 的方程为 y+1=2(x–2)，即 2x–y–5=0， 即直线 2x–y–5=0 是过点 P 且与原点 O 距离最大的直线，最大距离为 = ． ……………13 分 （18）解: （I）∵四边形 为矩形，∴ ， 又∵ ， 是平面 内的两条相交直线， ∴ 平面 ……………2 分 ∵ 平面 ，∴ ……………3 分 （II）在 上取一点 ，使 ，连 ，∵ ∥ ，∴ ∥ ∴四边形 为平行四边形 ……………5 分 ∴四边形 为平行四边形 ……………6 分 ∴ ∥ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ ∥平面 ……………7 分 （III）∵ ，∴ 就是二面角 的平面角 ∴ ， ……………8 分 ∵ ∴ ……………9 分 2 | 2 1| 1+ k k − − 3 4 1 OPk | 5| 5 − 5 ABCD BCAB ⊥ BCBF ⊥ BFAB, ABF ⊥BC ABF ⊂AF ABF AFBC ⊥ CE M BFCM = FM BF CE BF CM BCMF MF BC MF AD∴ ∴∥ ∥ ADMF AF DM ⊂DM DCE ⊄AF DCE AF DCE BFBCABBC ⊥⊥ , ABF∠ ABCE −− ABF∠ 120= 5,1,2 === ADABBF 7cos222 =∠⋅−+= ABFBFABBFABAF F O D C1 A C E B1 B A1 ∴在直角 中， ……………10 分 过 作 与 的延长线垂直， 是垂足， ∴在直角 中， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴平面 平面 ∴ 平面 ， ∴ 是直线 与平面 所成的角 ……………12 分 在直角 中， ， ∴ ……………13 分 （19）解：（Ⅰ）∵AB=BC=CA，D 是 AC 的中点，∴BD⊥AC， ……………1 分 ∵AA1⊥平面 ABC，∴平面 AA1C1C⊥平面 ABC， ……………2 分 ∴BD⊥平面 AA1C1C，∴BD⊥AE． ……………3 分 又∵在正方形 AA1C1C 中，D，E 分别是 AC，CC1 的中点， ∴A1D⊥AE． ∴AE⊥平面 A1BD． ……………5 分 （Ⅱ）连结 AB1 交 A1B 于 O，设 A1D 交 AE 于 F，连结 OF． 在正方形 AA1B1B 中，AB1⊥A1B， 又由（Ⅰ）知 AE⊥A1B， ∴A1B⊥平面 AFO， ∴∠AOF 即为二面角 D-BA1-A 的平面角． ……………8 分 ∵三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都是 2， ∴AO= ，AF= ， ∴在 Rt△AOF 中，OF= ． ∴cos∠AOF= = ． 即二面角 D-BA1-A 的余弦值为 ． ……………11 分 （Ⅲ）∵O 为 AB1 的中点， ∴点 B1 到平面 A1BD 的距离等于点 A 到平面 A1BD 的距离． …………12 分 ADF∆ 3222 =+= AFADDF F FN AB N FNB∆ 3=FN ⊥BC ABF ⊂BC ABCD ABF ⊥ ABCD ⊥FN ABCD FDN∠ DF ABCD FDN∆ 2 1 32 3sin ===∠ DF FNFDN 30=∠FDN 2 5 52 5 30 AO OF 5 15 5 15 由（Ⅰ）知 AF 的长度即为所求． ……………13 分 由（Ⅱ）知点 B1 到平面 A1BD 的距离等于 ． ……………14 分 （20）解：（Ⅰ）设过点 Q 的圆 M 的切线方程为 x=my+1， ……………1 分 则圆心 M 到切线的距离为 1， 所以 =1，所以 m= – 或 0． ……………3 分 所以 QA，QB 的方程分别为 3x+4y–3=0 和 x=1． ……………5 分 （Ⅱ）因为 MA⊥AQ， 所以 S 四边形 MAQB=|MA|·|QA|=|QA|= = ≥ = ， 所以四边形 QAMB 面积的最小值为 ． ……………9 分 （Ⅲ）设 AB 与 MQ 交于 P，则 MP⊥AB，MB⊥BQ， 所以|MP|= = ． ……………10 分 在 Rt△MBQ 中，|MB|2=|MP||MQ|， ……………11 分 即 1= |MQ|， 所以|MQ|=3． 设 Q(x，0)，则 x2+22=9， ……………12 分 所以 x=± ， 所以 Q(± ，0)， 所以 MQ 方程为 2x+ y–2 =0 或 2x– y+2 =0． ……………14 分 5 52 1 |12| 2 + + m m 3 4 22 |||| MAMQ − 1|| 2 −MQ 1|| 2 −MO 3 3 2 3 221      − 3 1 3 1 5 5 5 5 5 5