陕西省西安市鄠邑区第一中学2019-2020学年高二下学期第一次月考理科数学试题

陕西省西安市鄠邑区第一中学2019-2020学年高二下学期第一次月考理科数学试题

鄠邑区第一中学高二数学试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1. 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：（1）任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；（2）任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法总数是（ ）‎ A. 210 B. ‎420 ‎C. 56 D. 22‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分2种情况讨论：①、在4种不同的荤菜中任选两种荤菜，在7种不同的蔬菜任选两种蔬菜，与白米饭搭配，②、在4种不同的荤菜中任选一种荤菜，在7种不同的蔬菜任选两种蔬菜，与蛋炒饭搭配，由加法原理计算可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，分2种情况讨论：‎ ‎①在4种不同的荤菜中任选两种荤菜，在7种不同的蔬菜任选两种蔬菜，与白米饭搭配，有种搭配方法；‎ ‎②在4种不同的荤菜中任选一种荤菜，在7种不同的蔬菜任选两种蔬菜，与蛋炒饭搭配，有种搭配方法，‎ 则每天不同午餐的搭配方法总数是种，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计算原理的应用，注意结合题意正确进行分类讨论，属于中档题.‎ ‎2.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意得到“放回5个红球”表示的含义，由此即可得到答案.‎ ‎【详解】因为“放回5个红球”表示前次摸到的都是黑球，第次摸到红球，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查离散型随机变量，明确放回红球的数量与抽取的次数之间的关系为解题的关键，属于简单题.‎ ‎3.五人并排站成一排，如果必须站在的右边，（可以不相邻）那么不同的排法有（ 　）‎ A. 120种 B. 90种 C. 60种 D. 24种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 全排列求解出五人排成一排的所有排法，根据定序，利用缩倍法求出结果.‎ 详解】所有人排成一排共有：种排法 站在右边与站在右边的情况一样多 所求排法共有：种排法 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查排列组合中定序问题，定序问题通常采用缩倍法来进行求解.‎ ‎4.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）‎ A. 0.8 ‎B. ‎0.75 ‎C. 0.6 D. 0.45‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.‎ 考点：条件概率．‎ ‎5.已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2＜X≤4)等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】解：∵P（X=k）=，k=1，2，…，‎ ‎∴P（2＜X≤4）=P（X=3）+P（X=4）= ．‎ 故选A．‎ ‎6.学校准备从5位报名同学中挑选3人，分别担任2011年世界大学生运动会田径、游泳和球类3个不同项目比赛的志愿者，已知其中同学甲不能担任游泳比赛的志愿者，则不同的安排方法共有 A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分选出的3人中没有甲和有甲两种情况，相加即得所求.‎ ‎【详解】若选出的3人中没有甲，方法有种．‎ 若选出的3人中有甲，方法共有种，‎ 故不同的安排方法共有24＋24＝48种，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合.有特殊要求的排列，优先考虑特殊要求.‎ ‎7.如果n是正偶数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特值法对赋值，当时，排除A，C，当时，排除D，即可得到答案.‎ ‎【详解】当时，代入得，排除A，C.‎ 当时，代入得，排除D.‎ 故选为：B ‎【点睛】本题主要考查二项式定理中二项式的系数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.‎ ‎8.设随机变量，若的数学期望，方差，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，，得，，故选D.‎ 考点：二项分布与次独立重复试验的模型.‎ ‎9.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（ ）‎ A. 60 B. ‎48 ‎C. 36 D. 24‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分成两类，第一类是长方体的面和它相对的面上的条棱和条对角线组成的“平行线面组”，第二类是长方体的对角面和棱构成的“平行线面组”，分别计算两类的结果再相加即可.‎ ‎【详解】一个长方体的面可以和它相对的面上的条棱和两条对角线组成个“平行线面组”，‎ 一共有个面，共有种.‎ 长方体的每个对角面有个“平行线面组”，共有个对角面，‎ 一共有种.‎ 根据分类计数原理知：共有种.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查分类计数原理，解题的关键是看清题目中线面之间的关系，属于中档题.‎ ‎10.已知三个正态分布密度函数 ‎（, ）的图象如图所示则（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．‎ ‎【详解】根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为，则对应的函数的图像的对称轴为：，‎ ‎∵正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，‎ ‎∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，‎ 只能从A，D两个答案中选一个，‎ ‎∵σ越小图象越瘦长，‎ 得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．‎ ‎11.设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若240，则展开式中x的系数为（ ）‎ A. 300 B. ‎150 ‎C. －150 D. －300‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求得二项式展开式各项系数之和以及二项式系数之和，代入，解出的值，进而求得展开式中的系数.‎ ‎【详解】令，得，故，解得.二项式为，展开式的通项公式为，令，解得，故的系数为.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式系数之和、二项式展开式的二项式系数之和，考查求指定项的系数，属于中档题.‎ ‎12.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，，已知他投篮一次得分的数学期望是2，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据数学期望公式得等量关系，再根据基本不等式求最小值 ‎【详解】由题意得，‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，所以选A.‎ ‎【点睛】本题考查数学期望公式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.已知某一随机变量概率分布列如下，且，则________.‎ ‎4‎ a ‎9‎ P ‎0.5‎ ‎0.1‎ b ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据计算出，再根据即可得到的值.‎ ‎【详解】因为，所以.‎ ‎，解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，同时考查了数学期望，属于简单题.‎ ‎14.从-3，-2，-1，0，1，2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数的系数a，b，c的取值，问共能组成________个不同的二次函数.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于二次项系数不为，只需考虑即可得到答案.‎ ‎【详解】因为，所以不同的二次函数共有个.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查排列组合的应用，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.‎ ‎15.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先计算从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛共有多少种结果，计算所选3人中女生人数不超过1人共有多少种结果，再利用古典概型公式即可得到答案.‎ ‎【详解】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛共有种结果.‎ 所选3人中女生人数不超过1人共有种结果.‎ 所以所选3人中女生人数不超过1人的概率.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型的计算公式，同时考查了组合的应用，属于简单题.‎ ‎16.若二项式（x﹣）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=‎4A，则a的值是　_________　．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 展开式的通项为 令得r=2，‎ 所以A=‎ 令得r=4，‎ 所以B=‎ ‎∵B=‎4A，即=4，‎ 解得a=2‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分.）‎ ‎17.7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种.‎ ‎（1）A，B必须当选；‎ ‎（2）A，B必不当选；‎ ‎（3）A，B不全当选；‎ ‎（4）至少有2名女生当选；‎ ‎（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.‎ ‎【答案】（1），（2），（3），（4），（5）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先选出，，再从剩下的人中选人即可.‎ ‎（2），都不选，只需从人中选人即可.‎ ‎（3）根据题意分成两类，第一类：，都不选，第二类：，中有一人当选，再利用分类计数原理计数即可.‎ ‎（4）根据题意用间接法，先计算人选人共有多少种情况，然后计算没有女生入选和只有名女生入选共有多少种，再相减即可.‎ ‎（5）根据题意分步，第一步计算选出一名男生担任体育委员的情况，第二步计算选出一名女生担任班长共的情况，第三步再从剩下名男生再选人，名女生再选人，担任其它个班委的情况，最后利用分步计数原理计数即可.‎ ‎【详解】（1）根据题意，先选出，，再从剩下的人中选人即可.‎ 共有种.‎ ‎（2）根据题意，，都不选，只需从人中选人即可.‎ 共有种 ‎（3）根据题意分成两类，第一类：，都不选，共有种情况.‎ 第二类：，中有一人当选，共有种情况.‎ 所以共有种 ‎（4）根据题意人选人共有种情况，‎ 没有女生入选共有种，只有名女生入选共有种情况，‎ 所以至少有2名女生当选共有种情况.‎ ‎（5）选出一名男生担任体育委员共有种情况，‎ 选出一名女生担任班长共有种情况.‎ 剩下名男生再选人，名女生再选人，担任其它个班委，‎ 共有种情况.‎ 根据分步计数原理得到共有种.‎ ‎【点睛】本题主要考查排列，组合的应用，同时考查了分类，分步计数原理，属于中档题.‎ ‎18.袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一个球,ξ表示所取球的标号.‎ ‎(1)求ξ的分布列、期望和方差;‎ ‎(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.‎ ‎【答案】（1）分布列见解析；E(ξ)D(ξ)‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】本题主要考察概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力．‎ ‎（Ⅰ）的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以．‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）由，得，即，又，所以 当时，由，得；‎ 当时，由，得．‎ ‎，或，即为所求．‎ ‎19.已知，‎ ‎（1）若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项 的系数；‎ ‎（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．‎ ‎【答案】（1）70（2）（2x）10‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）第k+1项的二项式系数为，由题意可得关于n的方程，求出n．而二项式系数最大的项为中间项，n为奇数时，中间两项二项式系数相等；n为偶数时，中间只有一项．（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n的方程，求出n．而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设项的系数最大，项的系数为，则有 试题解析：（1）通项Tr＋1＝n－r·（2x）r＝22r－nxr，由题意知，，成等差数列，‎ ‎∴＝，∴n＝14或7.‎ 当n＝14时，第8项的二项式系数最大，该项的系数为22×7－14＝3 432；‎ 当n＝7时，第4、5项的二项式系数相等且最大，‎ 其系数分别为22×3－7=，22×4－7=70.‎ ‎（2）由题意知＝79，‎ ‎∴n＝12或n＝－13（舍）． ‎ ‎∴Tr＋1＝22r－12xr.‎ 由得∴r＝10.‎ ‎∴展开式中系数最大的项为T11＝22×10－12·x10＝（2x）10.‎ 考点：二项式定理的应用 ‎20.某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ 设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为‎4”‎，求事件A发生的概率；‎ 设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1） ； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为‎4”‎的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；‎ ‎（2）由题意知随机变量的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．‎ ‎【详解】（1）由已知有，‎ 所以事件的发生的概率为；‎ ‎（2）随机变量的所有可能的取值为0，1，2；‎ ‎；；‎ ‎；‎ 所以随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 数学期望为.‎ ‎【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题．‎ ‎21. 袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球.‎ ‎（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；‎ ‎（Ⅱ）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分，求得分的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）108:343‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题可先算出取出红球和黑球的概率，再求取3次2个红球1个黑球的概率，可知为独立重复试验（有放回），运用独立重复试验的概率公式可求；（注意规范解题格式）‎ ‎（2）由题意（无放回），先分析出的可能取值，再分别求出对应的概率，可列出分布列（为超几何分布），代入期望公式可得．‎ 试题解析：（1）从袋子里有放回地取3次球，相当于做了3次独立重复试验，每次试验取出红球的概率为，取出黑球的概率为，设事件“取出2个红球1个黑球”，则 ‎（2）的取值有四个:3、4、5、6，分布列为：‎ ‎，,‎ ‎，．‎ ‎ ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 从而得分的数学期望．‎ 考点：（1）独立重复试验的概率；（2）离散型随机变量分布列（超几何分布）及期望．‎ ‎22.如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：‎ 时间（分钟） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的频率 ‎ ‎0.1 ‎ ‎0.2 ‎ ‎0.3 ‎ ‎0.2 ‎ ‎0.2 ‎ 的频率 ‎ ‎0 ‎ ‎0.1 ‎ ‎0.4 ‎ ‎0.4 ‎ ‎0.1 ‎ ‎ ‎ 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．‎ ‎（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？‎ ‎（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（Ⅰ）甲应选择乙应选择 ‎（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率；（2）首先确定X的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望．‎ ‎（1）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”，表示事件“甲选择路径时，50分钟内赶到火车站”，，．‎ 用频率估计相应的概率，则有：‎ ‎，；‎ ‎∵，∴甲应选择路径；‎ ‎，；‎ ‎∵，∴乙应选择路径．‎ ‎（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知，，又事件A，B相互独立，的取值是0，1，2，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴X的分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ P ‎ ‎0.04 ‎ ‎0.42 ‎ ‎0.54 ‎ ‎∴．‎