2018-2019学年甘肃省河西五地高二下学期联考数学（文）试题（含解析）

2018-2019学年甘肃省河西五地高二下学期联考数学（文）试题（含解析）

‎2018-2019学年高二第二学期河西五地联考 数学（文科）试题 一、 选择题（共12个小题,每题5分,共60分）‎ ‎1.下列集合中恰有2个元素的集合是(　　)‎ A．{x2－x＝0} B．{y|y2－y＝0} C．{x|y＝x2－x} D．{y|y＝x2－x}‎ ‎2.若复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数，其中m是实数，则＝(　　)‎ A．i B．－i C．2i D．－2i ‎3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝15，S5＝55，则数列{an}的公差是(　　)‎ A. B．－‎4 C．4 D．－3‎ ‎4.已知定点A、B，且|AB|＝4，动点P满足||PA|－|PB||＝3，则|PA|的最小值是(　　)‎ A. B. C. D．5‎ ‎5.在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下四选项，其中拟合得最好的模型为(　　)‎ A．模型1的相关指数R2为0.75 B．模型2的相关指数R2为0.55‎ C．模型3的相关指数R2为0.25 D．模型4的相关指数R2为0.90‎ ‎6.设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是(　　) ‎ A. B．‎2 C．3 D． 4 ‎7.直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有相异的三个交点，则a的取值范围是(　　)‎ A．－2＜a＜2 B．－2≤a＜‎2 C．a＜－2或a＞2 D．a＜－2或a≥2‎ ‎8.若“0f(b) B．f(a)＝f(b) C．f(a)1‎ ‎10.抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为(　　)‎ A．2 B．‎4 C．6 D．8‎ ‎11.已知定义在上的函数是它的导函数，恒有成立，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12.已知平行四边形内接于椭圆，且， 斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)‎ ‎13．若曲线在点处切线的倾斜角为，则等于________．‎ ‎14.在极坐标系中，点P到曲线l：ρcos ＝上的点的最短距离为________．‎ ‎15.已知x>1，y>1，且ln x,1，ln y成等差数列，则x＋y的最小值为________. ‎ ‎16.观察下列等式 ‎12＝1‎ ‎12－22＝－3‎ ‎12－22＋32＝6‎ ‎12－22＋32－42＝－10‎ ‎……‎ 照此规律，12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝________(n∈N*)．‎ 三、解答题(本大题共有6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(10分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.‎ ‎18．(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋‎2c)cos B＋bcos A＝0.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋2，求△ABC的面积.‎ ‎19．(12分)已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.‎ ‎(1)证明数列{an＋4}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{|an|}的前n项和Sn.‎ ‎20．(12分)国际奥委会将于‎2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出，某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：‎ ‎  ‎ 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 ‎______ ‎ ‎______ ‎ ‎80 ‎ 年龄大于50岁 ‎10 ‎ ‎______ ‎ ‎______ ‎ 合计 ‎______ ‎ ‎70 ‎ ‎100 ‎ ‎1根据已知数据，把表格数据填写完整； 2能否在犯错误的概率不超过的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？ 3已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率． 附：，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ k ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 21.(12分)已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)∃x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x0)≤g(x0)－ex0成立，求a的取值范围．‎ ‎22．(12分)已知椭圆E的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－4y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上．‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，当△ABC的面积最大时，求直线l的方程．‎ ‎2018-2019学年高二第二学期河西五地联考 数学（文科）答案 ‎1.解析：A选项集合表示只有一个方程x2－x＝0的集合；B中，∵y2－y＝0，∴y＝0或y＝1，∴{y|y2－y＝0}＝{0,1}，恰有两个元素；C中集合表示函数y＝x2－x的定义域为R；D中集合表示的是y＝x2－x的值域为，故选B.答案：B ‎2.解析：∵z＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数，∴m(m－1)＝0，m－1≠0，解得m＝0.∴z＝－i，∴＝＝i，故选A.答案：A ‎3.解析：∵{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，∴a1＋a5＝22，则2a3＝22，则a3＝11，∴公差d＝a4－a3＝4，故选C.答案：C ‎4.解析：点P轨迹是以A、B为焦点，实轴长为的双曲线，则2c＝4,2a＝3，∴c＝2，a＝，|PA|min＝c－a＝，故选A.‎ ‎5.解析：相关指数R2的值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选D.答案：D ‎6.D　[画出可行域，由图知最优解为A(1,1)，故A到x＋y＝10的距离为d＝4.‎ ‎]‎ ‎7.解析：可求得y＝x3－3x在x＝－1时取极大值2，在x＝1时，取极小值－2，则y＝x3－3x的图象如图所示．∴y＝a与y＝x3－3x的图象有相异的三个公共点时，－2＜a＜2.答案：A ‎8..解析：由(x－a)[x－(a＋2)]≤0得a≤x≤a＋2，又“01时，f′(x)＞0，则f(x)在(1，＋∞)上为增函数，f(a)0)的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋＝6，p＝8.故选D.‎ ‎11.【答案】B ‎12.【答案】A【解析】由题意， 关于原点对称，设， ， ，故选A.‎ ‎13.【答案】1 14..答案： 解析：点P的直角坐标为(0,1)，l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.∴点P到l上点的最短距离为＝ 15.2e　由已知ln x＋ln y＝2，∴xy＝e2，x＋y≥2＝2e.当且仅当x＝y＝e时取“＝”，∴x＋y的最小值为2e.‎ ‎16.解析：观察规律可知，12＝1 12－22＝－(1＋2) 12－22＋32＝1＋2＋3‎ ‎12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4) ……‎ ‎12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－[1＋2＋3＋…＋(2n－1)＋2n]‎ ‎＝－＝－(2n2＋n)．答案：－(2n2＋n)‎ ‎17.解：(1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5.----4分 ‎(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.-----6分 由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，‎ 所以-----7分 又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.--10分 ‎18.解　(1)由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin Bcos A＝0，‎ ‎(sin Acos B＋sin Bcos A)＋2sin Ccos B＝0 sin(A＋B)＋2sin Ccos B＝0，‎ 又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，∴cos B＝－，------4分 ‎∵0)．---1分 将点A(1，)代入方程得＋＝1，整理得a4－5a2＋4＝0，‎ 解得a2＝4或a2＝1(舍去)，------4分 故所求椭圆方程为＋＝1.----- ------5分 ‎(2)设直线l的方程为y＝x＋m，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，则Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0，‎ 所以0≤m2<8.由x1＋x2＝－m，x1x2＝，-------7分 得|BC|＝|x1－x2|＝.-------8分 又点A到BC的距离为d＝，故S△ABC＝|BC|·d＝-------9分 ‎≤·＝，---------11分 当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号．当m＝±2时，满足0≤m2<8. 故直线l的方程为y＝x±2.-------12分 一、选择题（共12个小题,每题5分,共60分）‎ ‎1．下列集合中恰有2个元素的集合是(　　)‎ A．{x2－x＝0} B．{y|y2－y＝0} C．{x|y＝x2－x} D．{y|y＝x2－x}‎ ‎1.解析：A选项集合表示只有一个方程x2－x＝0的集合；B中，∵y2－y＝0，∴y＝0或y＝1，∴{y|y2－y＝0}＝{0,1}，恰有两个元素；C中集合表示函数y＝x2－x的定义域为R；D中集合表示的是y＝x2－x的值域为，故选B.答案：B ‎2.若复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数，其中m是实数，则＝(　　)‎ A．i B．－i C．2i D．－2i ‎2.解析：∵z＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数，∴m(m－1)＝0，m－1≠0，解得m＝0.∴z＝－i，∴＝＝i，故选A.答案：A ‎3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝15，S5＝55，则数列{an}的公差是(　　)‎ A. B．－4 C．4 D．－3‎ ‎3.解析：∵{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，∴a1＋a5＝22，则2a3＝22，则a3＝11，∴公差d＝a4－a3＝4，故选C.答案：C ‎4.已知定点A、B，且|AB|＝4，动点P满足||PA|－|PB||＝3，则|PA|的最小值是(　　)‎ A. B. C. D．5‎ ‎4.解析：点P轨迹是以A、B为焦点，实轴长为的双曲线，则2c＝4,2a＝3，∴c＝2，a＝，|PA|min＝c－a＝，故选A.‎ ‎5.在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下四选项，其中拟合得最好的模型为(　　)‎ A．模型1的相关指数R2为0.75 B．模型2的相关指数R2为0.55‎ C．模型3的相关指数R2为0.25 D．模型4的相关指数R2为0.90‎ ‎5.解析：相关指数R2的值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选D.答案：D ‎6.设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是(　　) ‎ A. B．2 C．3 D．4 ‎6.D　[画出可行域，由图知最优解为A(1,1)，故A到x＋y＝10的距离为d＝4.‎ ‎]‎ ‎7.直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有相异的三个交点，则a的取值范围是(　　)‎ A．－2＜a＜2 B．－2≤a＜2 C．a＜－2或a＞2 D．a＜－2或a≥2‎ ‎7.解析：可求得y＝x3－3x在x＝－1时取极大值2，在x＝1时，取极小值－2，则y＝x3－3x的图象如图所示．∴y＝a与y＝x3－3x的图象有相异的三个公共点时，－2＜a＜2.答案：A ‎8.若“0f(b) B．f(a)＝f(b) C．f(a)1‎ ‎9.解析：f′(x)＝，当x>1时，f′(x)＞0，则f(x)在(1，＋∞)上为增函数，f(a)0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为(　　)‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎10.解析：∵△OFM的外接圆与抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋＝6，p＝8.故选D.‎ ‎11.已知定义在上的函数是它的导函数，恒有成立，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11.【答案】B ‎12.已知平行四边形内接于椭圆，且， ‎ 斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意， 关于原点对称，设， ， ，故选A.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)‎ ‎13．若曲线在点处切线的倾斜角为，则等于________．‎ ‎13.【答案】1‎ ‎14.在极坐标系中，点P到曲线l：ρcos ＝上的点的最短距离为________．‎ ‎14.解析：点P的直角坐标为(0,1)，l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.∴点P到l上点的最短距离为＝.答案： ‎15.已知x>1，y>1，且ln x,1，ln y成等差数列，则x＋y的最小值为________. ‎ ‎15.2e　由已知ln x＋ln y＝2，∴xy＝e2，x＋y≥2＝2e.‎ 当且仅当x＝y＝e时取“＝”，∴x＋y的最小值为2e.‎ ‎16.观察下列等式 ‎12＝1‎ ‎12－22＝－3‎ ‎12－22＋32＝6‎ ‎12－22＋32－42＝－10‎ ‎……‎ 照此规律，12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝________(n∈N*)．‎ 解析：观察规律可知，12＝1 12－22＝－(1＋2) 12－22＋32＝1＋2＋3‎ ‎12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4) ……‎ ‎12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－[1＋2＋3＋…＋(2n－1)＋2n]‎ ‎＝－＝－(2n2＋n)．答案：－(2n2＋n)‎ 三、解答题(本大题共有6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(10分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.‎ ‎17.解：(1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5.‎ ‎(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.‎ 由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，‎ 所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.‎ ‎18．(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋bcos A＝0.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋2，求△ABC的面积.‎ 解　(1)由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin Bcos A＝0，‎ ‎(sin Acos B＋sin Bcos A)＋2sin Ccos B＝0 sin(A＋B)＋2sin Ccos B＝0，‎ 又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，∴cos B＝－，∵0)．‎ 将点A(1，)代入方程得＋＝1，整理得a4－5a2＋4＝0，解得a2＝4或a2＝1(舍去)，‎ 故所求椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝x＋m，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，则Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0，‎ 所以0≤m2<8.由x1＋x2＝－m，x1x2＝，得|BC|＝|x1－x2|＝.‎ 又点A到BC的距离为d＝，故S△ABC＝|BC|·d＝≤·＝，‎ 当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号．当m＝±2时，满足0≤m2<8.‎ 故直线l的方程为y＝x±2.‎