数学卷·2018届四川省成都市龙泉中学高二下学期入学数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届四川省成都市龙泉中学高二下学期入学数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年四川省成都市龙泉中学高二（下）入学数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意 ‎1．已知i为虚数单位，则复数等于（　　）‎ A．﹣1+i B．1﹣i C．2+2i D．1+i ‎2．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（　　）‎ A．（0，2） B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}‎ ‎3．“m＞n＞0”是方程mx2+ny2=1表示椭圆的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．对于R上可导函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）＞0，则必有（　　）‎ A．f（1）+f（3）＜2f（2） B．f（1）+f（3）＞2f（2） C．f（1）+f（3）＞f（0）+f（4） D．f（1）+f（0）＜f（3）+f（4）‎ ‎5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是（　　）‎ A．5051 B．5050 C．5049 D．5048‎ ‎6．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（　　）‎ A．60%，60 B．60%，80 C．80%，80 D．80%，60‎ ‎7．如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（　　）‎ A． cm2 B． cm2 C．8cm2 D．14cm2‎ ‎8．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（　　）‎ A． B． C． D．π ‎9．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，则三角形是（　　）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎10．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，5） B．（﹣∞，3） C．（3，+∞） D．（3，5）‎ ‎11．为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下：‎ 喜欢数学 不喜欢数学 总计 男 ‎40‎ ‎80‎ ‎120‎ 女 ‎40‎ ‎140‎ ‎180‎ 总计 ‎80‎ ‎220‎ ‎300‎ 并经计算：K2≈4.545‎ P（K2≥k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 请判断有（　　）把握认为性别与喜欢数学课有关．‎ A．5% B．99.9% C．99% D．95%‎ ‎12．若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（　　）‎ A．﹣2或2 B．或 C．2或0 D．﹣2或0‎ ‎　‎ 二．填空题（本体包括4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是　　．‎ ‎14．已知函数，若关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎15．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70，80）内的人数是　　．‎ ‎16．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1‎ 且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC=3S，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（本体包括6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为．‎ ‎（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．‎ ‎18．在长丰中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．‎ ‎（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）求这两个班参赛的学生人数，并回答这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内．‎ ‎19．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f（A）=2，C=，c=2，求△ABC的面积S△ABC的值．‎ ‎20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥‎ 平面ABCD，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．‎ ‎21．设椭圆C：过点（0，4），离心率为 ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．‎ ‎22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省成都市龙泉中学高二（下）入学数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意 ‎1．已知i为虚数单位，则复数等于（　　）‎ A．﹣1+i B．1﹣i C．2+2i D．1+i ‎【考点】复数代数形式的混合运算．‎ ‎【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，虚数单位i 的幂运算性质，把式子化简到最简形式．‎ ‎【解答】解：复数===﹣1+i，‎ 故选 A．‎ ‎　‎ ‎2．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（　　）‎ A．（0，2） B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A=[﹣2，2]，‎ 由B中不等式解得：0≤x≤16，x∈Z，即B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，‎ 则A∩B={0，1，2}，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．“m＞n＞0”是方程mx2+ny2=1表示椭圆的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】方程mx2+ny2=1表示椭圆⇔m＞0，n＞0，m≠n．即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：方程mx2+ny2=1表示椭圆⇔m＞0，n＞0，m≠n．‎ 因此“m＞n＞0”是方程mx2+ny2=1表示椭圆的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．对于R上可导函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）＞0，则必有（　　）‎ A．f（1）+f（3）＜2f（2） B．f（1）+f（3）＞2f（2） C．f（1）+f（3）＞f（0）+f（4） D．f（1）+f（0）＜f（3）+f（4）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】借助导数知识，根据（x﹣2）f′（x）＞0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．‎ ‎【解答】解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x﹣2）f′（x）＞0‎ ‎∴有或，‎ 即当x∈（2，+∞）时，f（x）为增函数，‎ 当x∈（﹣∞，2）时，f（x）为减函数 ‎∴f（1）＞f（2），f（3）＞f（2）‎ ‎∴f（1）+f（3）＞2f（2）‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是（　　）‎ A．5051 B．5050 C．5049 D．5048‎ ‎【考点】设计程序框图解决实际问题；循环结构．‎ ‎【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=100+99+98+…+2的值 ‎【解答】解：根据流程图所示的顺序，‎ 该程序的作用是累加并输出S=100+99+98+…+2，‎ ‎∵100+99+98+…+2=5049，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（　　）‎ A．60%，60 B．60%，80 C．80%，80 D．80%，60‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】‎ 利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出优秀人数．‎ ‎【解答】解：由频率分布直方图得，及格率为1﹣（0.005+0.015）×10=1﹣0.2=0.8=80%‎ 优秀的频率=（0.01+0.01）×10=0.2，优秀的人数=0.2×400=80‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（　　）‎ A． cm2 B． cm2 C．8cm2 D．14cm2‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据已知中几何体的三视图中，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形我们可以求出该正四棱锥的底面上的棱长和侧面的高，代入棱锥侧面积公式 即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图，我们可以得到 该几何体是一个正四棱锥，‎ 又由主视图与左视图是边长为2的正三角形可得棱锥的底面上的棱长为2，棱锥的高为 则棱锥的侧高（侧面的高）为2‎ 故棱锥的侧面积S=4×=8cm2‎ 故选C ‎　‎ ‎8．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（　　）‎ A． B． C． D．π ‎【考点】几何概型；两点间的距离公式．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及动点P到定点A的距离|PA|＜1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：满足条件的正方形ABCD，如下图示：‎ 其中满足动点P到定点A的距离|PA|＜1的平面区域如图中阴影所示：‎ 则正方形的面积S正方形=1‎ 阴影部分的面积 故动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率P==‎ 故选：C ‎　‎ ‎9．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，则三角形是（　　）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】由条件利用正弦定理可得 sin2A= sin2B，化简可得 A=B，或 A+B=，故△ABC是等腰三角形或直角三角形，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，由正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB，即 sin2A= sin2B，‎ ‎∴2A=2B，或 2A+2B=π．‎ ‎∴A=B，或 A+B=，即 C=．‎ 故△ABC是等腰三角形或直角三角形，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，5） B．（﹣∞，3） C．（3，+∞） D．（3，5）‎ ‎【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．‎ ‎【分析】利用待定系数法求出y=f（x）的解析式，再利用函数的单调性把不等式f（a+1）＜f（10﹣2a）化为等价的不等式组，求出解集即可．‎ ‎【解答】解：幂函数y=f（x）=xα的图象经过点，‎ ‎∴4α=，解得α=﹣；‎ ‎∴f（x）=，x＞0；‎ 又f（a+1）＜f（10﹣2a），‎ ‎∴，‎ 解得3＜a＜5，‎ ‎∴实数a的取值范围是（3，5）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下：‎ 喜欢数学 不喜欢数学 总计 男 ‎40‎ ‎80‎ ‎120‎ 女 ‎40‎ ‎140‎ ‎180‎ 总计 ‎80‎ ‎220‎ ‎300‎ 并经计算：K2≈4.545‎ P（K2≥k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 请判断有（　　）把握认为性别与喜欢数学课有关．‎ A．5% B．99.9% C．99% D．95%‎ ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】把观测值同临界值进行比较．得到有95%的把握认为性别与喜欢数学课有关．‎ ‎【解答】解：∵K2≈4.545＞3.841，对照表格 P（K2≥k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎∴有95%的把握认为性别与喜欢数学课有关．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（　　）‎ A．﹣2或2 B．或 C．2或0 D．﹣2或0‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离，根据此距离等于列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．‎ ‎【解答】解：把圆x2+y2﹣2x﹣4y=0化为标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆心坐标为（1，2），‎ ‎∵圆心（1，2）到直线x﹣y+a=0的距离为，‎ ‎∴，即|a﹣1|=1，可化为a﹣1=1或a﹣1=﹣1，‎ ‎∴解得a=2或0．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二．填空题（本体包括4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是　　．‎ ‎【考点】等可能事件的概率．‎ ‎【分析】由题意知本题是一个古典概型，本实验的总事件是从6个数中随机抽取2个不同的数有C62种不同的结果，满足条件的事件是这2个数的和为偶数包括2、4，2、6，4、6，1、3，1、5，3、5，6种取法，代入公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，‎ ‎∵从6个数中随机抽取2个不同的数有C62种不同的结果，‎ 而这2个数的和为偶数包括2、4，2、6，4、6，1、3，1、5，3、5，6种取法，‎ 由古典概型公式得到P==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数，若关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是　[0，1）∪（2，+∞）　．‎ ‎【考点】函数的零点．‎ ‎【分析】原问题可转化为函数y=f（x）与y=k的图象有唯一一个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，数形结合可得答案．‎ ‎【解答】解：关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，‎ 等价于函数y=f（x）与y=k的图象有唯一一个交点，‎ 在同一个坐标系中作出它们的图象可得：‎ 由图象可知实数k的取值范围是[0，1）∪（2，+∞）‎ 故答案为：[0，1）∪（2，+∞）‎ ‎　‎ ‎15．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70，80）内的人数是　30　．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】由频率分布直方图得分数在[70，80）内的频率等于1减去得分在[40，70]与[80，100]内的频率，再根据频数=频率×样本容量得出结果．‎ ‎【解答】解：由题意，分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．‎ 则分数在[70，80）内的人数是0.3×100=30人； ‎ 故答案为：30．‎ ‎　‎ ‎16．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1‎ 且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC=3S，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】如图所示，S△ABC=3S，可得|AF2|=2|F2C|．A，直线AF2的方程为：y=（x﹣c），代入椭圆方程可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2=0，利用xC×（﹣c）=，解得xC．根据，即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎∵S△ABC=3S，‎ ‎∴|AF2|=2|F2C|．‎ A，直线AF2的方程为：y﹣0=（x﹣c），‎ 化为：y=（x﹣c），代入椭圆方程+=1（a＞b＞0），‎ 可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2=0，‎ ‎∴xC×（﹣c）=，解得xC=．‎ ‎∵，‎ ‎∴c﹣（﹣c）=2（﹣c）．‎ 化为：a2=5c2，‎ 解得．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三．解答题（本体包括6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为．‎ ‎（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．‎ ‎【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，即可写出直线l的参数方程；求得圆心坐标，可得圆的直角坐标方程，利用，可得圆的极坐标方程为ρ=8sinθ；‎ ‎（Ⅱ）求出直线l的普通方程，可得圆心到直线的距离，与半径比较，可得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，‎ ‎∴直线l的参数方程为（t为参数）‎ ‎∵半径为4的圆C的圆心的极坐标为，‎ ‎∴圆心坐标为（0，4），圆的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2=16‎ ‎∵，‎ ‎∴圆的极坐标方程为ρ=8sinθ；‎ ‎（Ⅱ）直线l的普通方程为，‎ ‎∴圆心到直线的距离为 ‎∴直线l和圆C相离．‎ ‎　‎ ‎18．在长丰中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．‎ ‎（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）求这两个班参赛的学生人数，并回答这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）由频率之和等于1可计算出第二小组的频率；‎ ‎（2）由总数=频数÷频率计算出总人数，进而求出各组人数，可得中位数的位置．‎ ‎【解答】解：（1）∵各小组的频率之和为1，‎ 第一、三、四、五小组的频率分别是0.3，0.15，0.1，0.05，‎ ‎∴第二小组的频率为：1﹣（0.3+0.15+0.1+0.05）=0.4，‎ ‎∴落在[59.5，69.5）的第二小组的小长方形的高h==0.04，‎ 则补全的频率分布直方图如图所示：‎ ‎（2）设九年级两个班参赛的学生人数为x人 ‎∵第二小组的频数为40人，频率为0.4，‎ ‎∴=0.4，解得x=100，‎ 所以这两个班参赛的学生人数为100人．‎ 因为0.3×100=30，0.4×100=40，0.15×100=15，0.1×100=10，0.05×100=5，‎ 即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30，40，15，10，5，‎ 所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f（A）=2，C=，c=2，求△ABC的面积S△ABC的值．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由二倍角公式化简可得f（x）=2sin（2x﹣），令2k≤2x﹣≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间．‎ ‎（2）由f（A）=2sin（2A﹣）=2，可得A的值，由正弦定理可解得a=，从而可求S△ABC的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），‎ ‎∴令2k≤2x﹣≤2k，k∈Z可解得k≤x≤k，k∈Z，‎ 即有函数f（x）的单调递增区间为：[k，k]，k∈Z，‎ ‎（2）∵f（A）=2sin（2A﹣）=2，‎ ‎∴2A﹣=2k，k∈Z，即有A=k，k∈Z，‎ ‎∵角A为△ABC中的内角，有0＜A＜π，‎ ‎∴k=0时，A=，B=π﹣A﹣C=，‎ 故由正弦定理可得：，解得a=，‎ ‎∴S△ABC=acsinB=sin=．‎ ‎　‎ ‎20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，‎ ‎∵ABCD是矩形，‎ ‎∴O为BD的中点 ‎∵E为PD的中点，‎ ‎∴EO∥PB．‎ EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC ‎∴PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，‎ ‎∴V==，‎ ‎∴AB=，PB==．‎ 作AH⊥PB交PB于H，‎ 由题意可知BC⊥平面PAB，‎ ‎∴BC⊥AH，‎ 故AH⊥平面PBC．‎ 又在三角形PAB中，由射影定理可得：‎ A到平面PBC的距离．‎ ‎　‎ ‎21．设椭圆C：过点（0，4），离心率为 ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）利用椭圆经过的点列出方程，离心率列出方程，利用a、b、c关系式，即可求出a、b的值，即可求C的方程；‎ ‎（2）利用直线过点（3，0）且斜率为，写出直线方程，联立方程组，利用写出公式求出被C所截线段的长度．‎ ‎【解答】解：（1）将（0，4）代入C的方程得，‎ ‎∴b=4，‎ 又，‎ 得 即，‎ ‎∴a=5‎ ‎∴C的方程为．‎ ‎（ 2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，‎ 设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 将直线方程代入C的方程，得，‎ 即x2﹣3x﹣8=0，‎ ‎∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣8．‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+‎ ‎=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】（1）通过椭圆的离心率，直线与圆相切，求出a，b即可求出椭圆的方程．‎ ‎（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程，利用韦达定理，结合点E，F到直线AB的距离分别，表示出四边形AEBF的面积，利用基本不等式求出四边形AEBF面积的最大值时的k值即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知： =∴=，∴a2=4b2．…‎ 又∵圆x2+y2=b2与直线相切，∴b=1，∴a2=4，…‎ 故所求椭圆C的方程为…‎ ‎（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，‎ 将y=kx代入椭圆的方程整理得：（k2+4）x2=4，‎ 故．①…‎ 又点E，F到直线AB的距离分别为 ‎，．…‎ 所以四边形AEBF的面积为==…‎ ‎===，…‎ 当k2=4（k＞0），即当k=2时，上式取等号．‎ 所以当四边形AEBF面积的最大值时，k=2．…‎ ‎　‎