2021高考数学一轮复习专练50直线与圆圆与圆的位置关系含解析理新人教版

2021高考数学一轮复习专练50直线与圆圆与圆的位置关系含解析理新人教版

专练50　直线与圆、圆与圆的位置关系 命题范围：直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎[基础强化]‎ 一、选择题 ‎1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(　　)‎ A．相切　　　　　　　　　　B．相交但不过圆心 C．相交过圆心 D．相离 ‎2．[2020·银川一中高三测试]已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋16＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是(　　)‎ A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 ‎3．[2020·陕西西安一中高三测试]圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(　　)‎ A．1＋ B．2‎ C．1＋ D．2＋2 ‎4．两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有(　　)‎ A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 ‎5．[2020·吉林一中高三测试]已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝(　　)‎ A．0 B. C.或0 D.或0‎ ‎6．已知直线l经过点(0,1)且与圆(x－1)2＋y2＝4相交于A、B两点，若|AB|＝2，则直线l的斜率k的值为(　　)‎ A．1 B．－1或1‎ C．0或1 D．1‎ ‎7．[2020·保定九校联考]已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)‎ A．－2 B．－4‎ C．－6 D．－8‎ ‎8．[2020·全国卷Ⅰ]已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)‎ A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0‎ C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0‎ ‎9．[2020·全国卷Ⅲ]若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　)‎ A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋ C．y＝x＋1 D．y＝x＋ 二、填空题 ‎10．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是________．‎ ‎11．[2020·唐山摸底]已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．‎ ‎12．过点P(1，－3)作圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A，B ‎，则切线方程为______________．‎ ‎[能力提升]‎ ‎13．[2020·福建福州适应性练习]若在圆x2＋y2－2x－6y＝0内过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)‎ A．5 B．10 C．15 D．20 ‎14．[2020·全国卷Ⅱ]若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)‎ A. B. C. D. ‎15．[2019·浙江卷]已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.‎ ‎16．[2020·山东青岛一中高三测试]已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝4，若点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，则＋的最小值为________．‎ 专练50　直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎1．B　圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝<，‎ ‎∴两圆相交但不过圆心．‎ ‎2．B　∵x2＋y2＝4的圆心C1(0,0)，半径r1＝2，‎ 又x2＋y2＋6x－8y＋16＝0可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝9，其圆心C2(－3,4)，半径r2＝3，又圆心距|C‎1C2|＝＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切．‎ ‎3．A　x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心C(1,1)，半径为1，圆心C到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，∴圆上的点到直线距离的最大值为d＋r＝＋1.‎ ‎4．B　圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴圆心C1(2，－1)，C2(－2,2)，半径r1＝2，r2＝3，圆心距|C‎1C2|＝＝5，‎ r1＋r2＝5，‎ ‎∴|C‎1C2|＝r1＋r2，∴两圆C1与C2外切，∴它们有3条公切线．‎ ‎5．D　由题意得圆心(0,1)到直线kx－y＋k＝0的距离为1，即：＝1得k＝0或k＝.‎ ‎6．D　由题意得圆心(1,0)到直线l：y＝kx＋1的距离d为d＝＝，得(k＋1)2＝2(k2＋1)，得k＝1.‎ ‎7．B　x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，‎ 则圆心(－1,1)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，‎ 由题意得2＋22＝2－a，∴a＝－4.‎ ‎8．D　如图，由题可知，AB⊥PM，‎ ‎|PM|·|AB|＝2S四边形APBM＝2(S△PAM＋S△PBM)＝2(|PA|＋|PB|)，‎ ‎∵|PA|＝|PB|，‎ ‎∴|PM|·|AB|＝4|PA|＝4＝4，‎ 当|PM|最小时，|PM|·|AB|最小，易知|PM|min＝＝，‎ 此时|PA|＝1，AB∥l，设直线AB的方程为y＝－2x＋b(b≠－2)，‎ 圆心M到直线AB的距离为d＝，‎ ‎|AB|＝＝，‎ ‎∴d2＋2＝|MA|2，‎ 即＋＝4，解得b＝－1或b＝7(舍)．‎ 综上，直线AB的方程为y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.故选D.‎ ‎9．D　解法一(直接计算法)：由题可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l为y＝kx＋m，直线l与曲线y＝的切点为A(x0，y0)．由导数的几何意义可知＝k，即＝，点A既在直线l上，又在曲线y＝上，∴∴kx0＋m＝，即k·2＋m＝，化简可得m＝，又∵直线l与圆x2＋y2＝相切，∴＝，将m＝代入化简得16k4＋16k2－5＝0，解得k2＝或k2＝－(舍去)．∵y＝的图象在第一象限，∴k>0，∴k＝，∴m＝，∴l的方程为y＝x＋.故选D.‎ 解法二(选项分析法)：由选项知直线l的斜率为2或，不妨假设为2，设直线l与曲线y＝的切点为P(x0，y0)，则x0－＝2.解得x0＝，则y0＝，即P，显然点P在圆x2＋y2＝‎ 内，不符合题意，所以直线l的斜率为，又直线l与圆x2＋y2＝相切，所以只有D项符合题意，故选D.‎ ‎10．相交 解析：解法一：(代数法)由消去y，整理得(1＋m2)x2－‎2m2‎x＋m2－5＝0，‎ 因为Δ＝‎16m2‎＋20>0，所以直线l与圆相交．‎ 解法二：(几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．‎ 解法三：(点与圆的位置关系法)直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．‎ ‎11．2 解析：x2＋y2－2y－7＝0可化为x2＋(y－1)2＝8，∴圆心(0,1)到直线kx－y－k＋2＝0的距离d＝＝，‎ ‎∴|AB|＝2＝2 又－1≤≤1，∴|AB|min＝2.‎ ‎12．x＝1或8x－15y－53＝0‎ 解析：当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝1，‎ 当切线的斜率存在时，设切线方程为y＋3＝k(x－1)，‎ 即：kx－y－k－3＝0，由题意得 ＝3，得k＝，‎ ‎∴切线方程为8x－15y－53＝0.‎ ‎13．B　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，其圆心的坐标为(1,3)，记为P.因为(0－1)2＋(1－3)2＝5<10，所以点E在圆内，且|PE|＝，则最长弦AC为过点E的直径，|AC|＝2，最短弦BD为过点E且与AC垂直的弦，|BD|＝2＝2，可知四边形ABCD的对角线互相垂直，所以四边形ABCD的面积为×2×2＝10，故选B.‎ ‎14．B　设圆心为P(x0，y0)，半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点(2,1)，∴x0＝y0＝r且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2，∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得r＝1或r＝5.‎ ‎①r＝1时，圆心P(1,1)，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝；‎ ‎②r＝5时，圆心P(5,5)，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝.故选B.‎ ‎15．－2　 解析：本题主要考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系，考查考生的推理论证能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．‎ 解法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝＝.‎ 解法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.‎ ‎16．8‎ 解析：由题意将两圆的方程相减，可得公共弦方程为x＋y＝2.‎ 点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，∴a＋b＝2，∴＋＝(a＋b)＝≥×(10＋6)＝8，当且仅当＝，即b＝‎3a时取等号，所以＋的最小值为8.‎