【数学】2019届一轮复习北师大版第一章集合与常用逻辑用语1学案
第一章集合与常用逻辑用语
第一节 集 合
本节主要包括2个知识点：1.集合的概念与集合间的基本关系；
2.集合的基本运算.
突破点(一) 集合的概念与集合间的基本关系
1．集合的有关概念
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
记法
集合间的基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A
AB或BA
相等
集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素
A⊆B且B⊆A⇔A＝B
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集
∅B且B≠∅
1．判断题
(1)若{x2，1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )
(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( )
(3)任何集合都有两个子集．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．填空题
(1)已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．
解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.
答案：1或4
(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．
解析：∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．
答案：5
(3)集合A＝{x∈N|0
－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B⊆A.
(3)由题意得集合A＝{x|x2－2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，要使得A⊆B，则a≥2.故选A.
[答案] (1)C (2)D (3)A
[易错提醒]
(1)在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系．
(2)将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．
1．(2018·河北邯郸一中调研)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈A}，则B＝( )
A．{0,1,2,3,4} B．{0,1,2}
C．{0,2,4} D．{1,2}
解析：选A 当x＝0，y＝0,1,2时，x＋y＝0,1,2；当x＝1，y＝0,1,2时，x＋y＝1,2,3；当x＝2，y＝0,1,2时，x＋y＝2,3,4.所以B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈A}＝{0,1,2,3,4}．
2．已知集合A＝{x∈N|x<2}，B＝{y|y＝lg(x＋1)，x∈A}，C＝{x|x∈A或x∈B}，则集合C的真子集的个数为( )
A．3 B．7
C．8 D．15
解析：选B 因为A＝{x∈N|x<2}，所以A＝{0,1}，因为B＝{y|y＝lg(x＋1)，x∈A}，所以B＝{0，lg 2}．因为C＝{x|x∈A或x∈B}，所以C＝{0,1，lg 2}．所以集合C的真子集的个数为23－1＝7.故选B.
3．(2018·河北衡水中学调研)设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的B的个数是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选B 满足条件的集合B可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，所以满足A⊆B的B的个数是4.故选B.
4．(2018·成都模拟)已知集合A＝{x∈N|14，解得k>16.故选C.
法二：取k＝16，则集合A＝{x∈N|1－1} B．{x|x≥1}
C．∅ D．{x|－10}＝{x|x<1}，则∁UB＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}．
(2)依题意得M＝{x|－1－1}．
[答案] (1)B (2)A
[方法技巧]
解决交、并、补混合运算的一般思路
(1)用列举法表示的集合进行交、并、补集运算时，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．
(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到．
(3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．
集合的新定义问题
[例3] (2018·合肥模拟)对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝(M
－N)∪(N－M)．设A＝{y|y＝x2－3x，x∈R}，B＝{y|y＝－2x，x∈R}，则A⊕B＝( )
A.
B.
C.∪[0，＋∞)
D.∪(0，＋∞)
[解析] 因为A＝，B＝{y|y<0}，
所以A－B＝{y|y≥0}，B－A＝，
A⊕B＝(A－B)∪(B－A)＝.
故选C.
[答案] C
[方法技巧]
解决集合新定义问题的着手点
(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．
(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．
1.(2018·长春模拟)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选C ∵A＝(0，＋∞)，B＝(－1,1)，∴A∪B＝(－1，＋∞)．故选C.
2.(2018·广州模拟)若全集U＝R，集合A＝{x|1<2x<4}，B＝{x|x－1≥0}，则A∩∁UB＝( )
A．{x|11}，则A∩B
＝( )
A．(2,4] B．[2,4]
C．(－∞，0)∪(0,4] D．(－∞，－1)∪[0,4]
解析：选A 因为A＝{x|1≤3x≤81}＝{x|30≤3x≤34}＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x|x2－x>2}＝{x|x<－1或x>2}，所以A∩B＝{x|0≤x≤4}∩{x|x<－1或x>2}＝{x|20}，则AB为( )
A．{x|02}
解析：选D 因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|12}，故选D.
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝，B＝{x|3－2x＞0}，则( )
A．A∩B＝ B．A∩B＝∅
C．A∪B＝ D．A∪B＝R
解析：选A 因为A＝{x|x＜2}，B＝＝，所以A∩B＝，A∪B＝{x|x＜2}．故选A.
2．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )
A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}
C．{2,3,4} D．{1,3,4}
解析：选A 由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．
3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B A，B两集合中有两个公共元素2,4，故选B.
4．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( )
A．{1,3} B．{3,5}
C．{5,7} D．{1,7}
解析：选B 因为集合A与集合B的公共元素有3,5，由题意A∩B＝{3,5}，故选B.
5．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝( )
A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}
C．{1,2,3} D．{1,2}
解析：选D ∵x2＜9，∴－3＜x＜3，
∴B＝{x|－3＜x＜3}．
又A＝{1,2,3}，
∴A∩B＝{1,2,3}∩{x|－3＜x＜3}＝{1,2}，故选D.
6．(2016·全国卷Ⅲ)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝( )
A．{4,8} B．{0,2,6}
C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}
解析：选C ∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，
∴∁AB＝{0,2,6,10}．
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 集合的概念与集合间的基本关系
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则( )
A．A＝B B．A∩B＝∅
C．AB D．BA
解析：选D ∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，∴BA.
2．(2018·莱州一中模拟)已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.
3．(2018·广雅中学测试)若全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x
＝0}关系的Venn图是( )
解析：选B 由题意知，N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，而M＝{－1,0,1}，所以NM，故选B.
4．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，则2m2＋m＝3，故m＝－.
答案：－
5．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b 的取值范围是________．
解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
对点练(二) 集合的基本运算
1．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( )
A．[0,1] B．(0,1]
C．[0,1) D．(－∞，1]
解析：选A M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，M∪N＝[0,1]．
2．若集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{0,1} D．{0，－1}
解析：选C 因为B＝{y|y＝x2，x∈A}＝{0,1}，所以A∩B＝{0,1}．
3．(2018·中原名校联考)设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝( )
A．(2,3]
B．(－∞，1]∪(2，＋∞)
C．[1,2)
D．(－∞，0)∪[1，＋∞)
解析：选D 因为∁UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．
4．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝( )
A．{x|00}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P∪Q＝R，且P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝( )
A．－5 B．5
C．－1 D．1
解析：选A P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}．由P∪Q＝R及P∩Q＝(2,3]，得Q＝[－1,3]，所以－a＝－1＋3，b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，a＋b＝－5，故选A.
6．(2018·唐山统一考试)若全集U＝R，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．{x|20}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是( )
A．(－4,3) B．[－3,4]
C．(－3,4) D．(－∞，4]
解析：选B 集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选B.
8．已知全集U＝{x∈Z|0m＋2}，
因为A⊆∁RB，所以m－2>3或m＋2<－1，
即m>5或m<－3.
因此实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
2．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．
(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－21}．
(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A；
(2)已知集合C＝{x|11，即log2x>log22，
∴x>2，∴B＝{x|x>2}．
∴A∩B＝{x|21，则x>0”的否命题是______________________________________．
答案：若x≤1，则x≤0
(3)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________________________________________________________________________．
答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
(4)有下列几个命题：
①“若a>b，则>”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2<4，则－21”是“<1”的____________条件．
答案：充分不必要
(2)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”成立的________条件．
答案：必要不充分
(3)在△ABC中，A＝B是tan A＝tan B的________条件．
答案：充要
(4)设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分”“必要”“充要”填空)
解析：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分条件，r是t的充要条件．
答案：充分 充要
充分条件与必要条件的判断
[例1] (1)(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5.
(2)∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.
∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.
反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈，
当〈m，n〉∈时，m，n不共线．
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．
[答案] (1)C (2)A
[方法技巧]
充分、必要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”
的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．
根据充分、必要条件求参数范围
[例2] 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
[解析] 由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则解得0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
[答案] [0,3]
[方法技巧]
根据充分、必要条件求参数范围的思路方法
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
1.(2018·长沙四校联考)“x>1”是“log2(x－1)<0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 由log2(x－1)<0得01”是“log2(x－1)<0”的必要不充分条件，选B.
2.已知“x>k”是“<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]
解析：选A 由<1，得－1＝<0，解得x<－1或x>2.因为“x>k”是“<1”的充分不必要条件，所以k≥2.
3.(2017·天津高考)设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 法一：由<，得0<θ<，故sin θ<.由sin θ<，得－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，推不出“<”．故“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件．
法二：<⇒0<θ<⇒sin θ<，而当sin θ<时，取θ＝－，＝>.
故“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件．
4.(2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选D 若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．
5.(2018·河北石家庄模拟)已知命题p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
解析：法一：由≤2，得－2≤x≤10，
∴綈p：A＝{x|x>10或x<－2}．
由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，
得1－m≤x≤1＋m(m>0)，
∴綈q：B＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴BA⇔解得m≥9.
法二：∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．
由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．
∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
又由≤2，得－2≤x≤10，
∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．
∴PQ⇔解得m≥9.
答案：[9，＋∞)
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x) 在x＝x0 处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )
A．p 是q 的充分必要条件
B．p是 q的充分条件，但不是q 的必要条件
C．p是 q的必要条件，但不是q 的充分条件
D．p 既不是q 的充分条件，也不是 q的必要条件
解析：选C 设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故选C.
2．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解析：选B 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1，∵＝＝∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；
对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；
对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，
∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠2，
∴p3不是真命题；
对于p4，∵z＝a＋bi∈R，
∴b＝0，∴＝a－bi＝a∈R，
∴p4是真命题.
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 命题及其关系
1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
解析：选C 由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.
2．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( )
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．
3．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )
A．都真 B．都假
C．否命题真 D．逆否命题真
解析：选D 对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.
4．(2018·德州一中模拟)下列命题中为真命题的序号是________．
①若x≠0，则x＋≥2；
②命题：若x2＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x2≠1；
③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；
④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．
解析：当x<0时，x＋≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．
答案：②④
5．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________________________________________________________________.
解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，
结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．
即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．
答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角
对点练(二) 充分条件与必要条件
1．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.
2．(2018·浙江名校联考)一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )
A．m>1，且n<1 B．mn<0
C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0
解析：选B 因为y＝－x＋的图象经过第一、三、四象限，故－>0，<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0.
3．(2018·河南豫北名校联盟精英对抗赛)设a，b∈R，则“log2a>log2b”是“2a－b>1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A log2a>log2b⇔a>b>0,2a－b>1⇔a>b，所以“log2a>log2b”是“2a－b>1”的充分不必要条件．故选A.
4．(2018·重庆第八中学调研)定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，则“f′(x
)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴[f(－x)]′＝[－f(x)]′，∴f′(－x)·(－x)′＝－f′(x)，∴f′(－x)＝f′(x)，即f′(x)为偶函数；反之，若f′(x)为偶函数，如f′(x)＝3x2，f(x)＝x3＋1满足条件，但f(x)不是奇函数，所以“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的必要不充分条件．故选B.
5．(2018·山西怀仁一中期中)命题“∀x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A．a≥4 B．a>4
C．a≥1 D．a>1
解析：选B x2－a≤0⇔a≥x2.因为x2∈[1,4)，所以a≥4.故a>4是已知命题的一个充分不必要条件．故选B.
6．(2018·广东梅州质检)已知命题p：“方程x2－4x＋a＝0有实根”，且綈p为真命题的充分不必要条件为a>3m＋1，则实数m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(0,1)
解析：选B 命题p：“方程x2－4x＋a＝0有实根”为真时，Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.∴綈p为真命题时，a>4.又∵綈p为真命题的充分不必要条件为a>3m＋1，∴(3m＋1，＋∞)是(4，＋∞)的真子集，∴3m＋1>4，解得m>1，故选B.
7．(2018·福建闽侯二中期中)设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：由|4x－3|≤1，得≤x≤1；由x2－(2a＋1)·x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1.∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件．∴[a，a＋1]．∴a≤.且a＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a≤.∴实数a的取值范围是.
答案：
[大题综合练——迁移贯通]
1．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．
(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．
(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．
2．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
解：y＝x2－x＋1＝2＋，
∵x∈，∴≤y≤2，∴A＝.
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
∴B＝{x|x≥1－m2}．
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A⊆B，∴1－m2≤，解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围是∪.
3．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．
(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围．
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．
解：A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|20时，B＝{x|a0时，B＝{x|a6或5>2”是假命题．( )
(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．( )
(3)p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p真q假．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．填空题
(1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．
答案：②③
(2)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是______________________________．
答案：存在两个全等三角形的面积不相等
(3)已知命题p：∃x0∈R，ex0－mx0＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q
)为假命题，则实数m的取值范围是________．
解析：若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m0，解得c>1.所以p：c>1.
因为不等式x2－x＋c≤0的解集是∅，
所以判别式Δ＝1－4c<0，
解得c>，即q：c>.
因为p且q为真命题，
所以p，q同为真，
即c>且c>1.解得c>1.
所以实数c的取值范围是(1，＋∞)．
[答案] (1，＋∞)
[方法技巧]
根据复合命题真假求参数的步骤
(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围．
1.(2018·山西临汾一中等五校联考)已知命题p：∀x≥4，log2x≥2；命题q：在△ABC中，若A>，则sin A>.则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨q
解析：选B ∀x≥4，log2x≥log24＝2，所以命题p为真命题；A＝>，sin A＝，所以命题q为假命题．故p∧(綈q)为真命题．故选B.
2.(2018·广西陆川模拟)已知命题p：若a>|b|，则a2>b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是( )
A．“p∨q”为真命题 B．“p∧q”为真命题
C．“綈p”为真命题 D．“綈q”为假命题
解析：选A 由a>|b|≥0，得a2>b2，∴命题p为真命题．∵x2＝4⇔x＝±2，∴命题q为假命题．∴“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“綈p”为假命题，“綈q”为真命题．综上所述，可知选A.
3.设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：不等式2x2＋x>2＋ax在x∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：对于命题p：Δ<0且a>0，故a>2；对于命题q：a>2x－＋1在x∈(－∞
，－1)上恒成立，又函数y＝2x－＋1为增函数，所以<1，故a≥1.命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，等价于p，q一真一假，即或故1≤a≤2.
答案：[1,2]
4.已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p∨q是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，则－≤3，即a≥－12.因为p∨q是真命题，所以a∈R.
答案：R
突破点(二) 全称量词与存在量词
1．全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃
2.全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，綈p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
1．判断题
(1)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )
(2)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( )
(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( )
(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．填空题
(1)(2018·东北育才检测)已知命题p：∀x∈R，ex－x－1>0，则綈p是________________________．
答案：∃x0∈R，ex0－x0－1≤0
(2)命题p的否定是“对∀x∈(0，＋∞)，>x＋1”，则命题p是________________________________．
答案：∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
(3)命题“存在实数x，使x>1”的否定是_______________________________________．
答案：对任意实数x，都有x≤1
(4)若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知得－8≤a<0.综上，－8≤a≤0.
答案：[－8,0]
全(特)称命题的否定
[例1] (1)(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
(2)命题“∃x0∈R,2x0<或x>x0”的否定是( )
A．∃x0∈R,2 x0≥或x≤x0
B．∀x∈R,2x≥或x2≤x
C．∀x∈R,2x≥且x2≤x
D．∃x0∈R,2 x0≥且x≤x0
[解析] (1)原命题是全称命题，其否定应为特称命题．其否定形式应为∃x∈R，∀n∈N*，使得n0 B．∀x∈N，x2>0
C．∃x0∈R，ln x0<1 D．∃x0∈N*，sin＝1
[解析] 对于选项A，由函数y＝ex的图象可知，∀x∈R，ex>0，故选项A为真命题；对于选项B，当x＝0时，x2＝0，故选项B为假命题；对于选项C，当x0＝时，ln＝－1<1，故选项C为真命题；对于选项D，当x0＝1时，sin＝1，故选项D为真命题．综上知选B.
[答案] B
[方法技巧] 全(特)称命题真假的判断方法
全称
命题
(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可
特称
命题
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题
根据全(特)称命题的真假求参数
[例3] (2018·昆明模拟)由命题“存在x0∈R，使x＋2x0＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．
[解析] ∵命题“存在x0∈R，使x＋2x0＋m≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，故Δ＝22－4m<0，即m>1，故a＝1.
[答案] 1
[方法技巧]
根据全(特)称命题的真假求参数的思路
与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
1.“∀x∈R,2x－<1”的否定为( )
A．∀x∈R,2x－≥1
B．∀x∈R,2x－≤1
C．∃x0∈R,2x0－>1
D．∃x0∈R,2x0－≥1
解析：选D 由全称命题的否定是特称命题可得“∀x∈R,2x－<1”的否定为“∃x0∈R,2x0－≥1”．
2.(2018·西安质检)已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( )
A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
解析：选B ∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故应选B.
3.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，>2
解析：选B A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．
4.已知命题p：∀x∈R，x2＋ax＋a2≥0；命题q：∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨q
C．(綈p)∨q D．(綈p)∧(綈q)
解析：选B 因为x2＋ax＋a2＝2＋a2≥0，所以命题p为真命题；因为(sin x＋cos x)max＝，所以命题q为假命题．所以p∨q是真命题．
5.若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：∵0≤x≤，∴0≤tan x≤1，
又∵∀x∈，tan x≤m，
故m≥1，即m的最小值为1.
答案：1
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
解析：选C 因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.
2．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．綈p∧q
C．p∧綈q D．綈p∧綈q
解析：选B 容易判断当x≤0时2x≥3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象，易知命题q为真命题．根据真值表易判断綈p∧q为真命题．
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 简单的逻辑联结词
1．(2018·衡阳质检)已知命题p：∃α∈R，cos(π－α)＝cos α；命题q：∀x∈R，x2＋1>0.则下面结论正确的是( )
A．p∧q是真命题 B．p∧q是假命题
C．綈p是真命题 D．p是假命题
解析：选A 对于命题p：取α＝，则cos(π－α)＝cos α，所以命题p为真命题；对于命题q：∵x2≥0，∴x2＋1>0，所以q为真命题．由此可得p∧q是真命题．故选A.
2．(2018·开封模拟)已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，命题p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
解析：选C 因为y＝x在R上是增函数，即y＝x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin≤，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(綈p2)是真命题，故选C.
3．(2018·河北武邑中学双基测试)设集合A＝{x|－2－a0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是( )
A．{a|02} B．{a|0m－1的解集为R.若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则实数m的取值范围是________．
解析：对于命题p，由f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m>0，解得m<；对于命题q，不等式x2－2x>m－1的解集为R等价于不等式(x－1)2>m的解集为R，因为(x－1)2≥0恒成立，所以m<0，因为命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，所以命题p和命题q一真一假．当命题p为真，命题q为假时，得0≤m<；当命题p为假，命题q为真时，此时m不存在，故实数m的取值范围是.
答案：
对点练(二) 全称量词与存在量词
1．(2018·黑龙江鸡西月考)命题“对任意x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定为( )
A．对任意x∈R，都有x2－2x＋4≥0
B．对任意x∈R，都有x2－2x＋4>0
C．存在x0∈R，使得x－2x0＋4>0
D．存在x0∈R，使得x－2x0＋4≤0
解析：选C 原命题的否定为：存在x0∈R，使得x－2x0＋4>0.故选C.
2．(2018·山东临沂期中)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－2”的否定是( )
A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－2
B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－2
C．∃x0∈(0，＋∞)，使得ln x0≠x0－2
D．∃x0∉(0，＋∞)，使得ln x0＝x0－2
解析：选A 原命题的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－2”．故选A.
3．命题p：∃x∈N，x3cos x
C．任意x∈(0，＋∞)，x2＋1>x
D．存在x0∈R，x＋x0＝－1
解析：选C 对于A选项：任意x∈R，sin2＋cos2＝1，故A为假命题；对于B选项：存在x0＝，sin x0＝，cos x0＝，sin x00恒成立，C为真命题；对于D选项：x2＋x＋1＝2＋>0恒成立，不存在x0∈R，使x＋x0＝－1成立，故D为假命题．
6．(2018·长沙模拟)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x＋1.则关于f(x)，g(x)的语句为假命题的是( )
A．∀x∈R，f(x)>g(x)
B．∃x1，x2∈R，f(x1)0时，F′(x)>0，F(x)在(0，＋∞)上单调递增，F(x)＝f(x)－g(x)有最小值F(0)＝0，即f(x)≥g(x)，当且仅当x＝0时取等号，因此选项A是假命题，选项D是真命题；对于选项B，注意到f(0)＝10成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
解：当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立”⇔a＝0或
∴0≤a<4.当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，∴a≤.
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p，q一真一假．
∴若p真q假，则0≤a<4，且a>，∴0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
解：若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，∴0
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