【数学】2018届一轮复习湘教版解三角形应用举例教案

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第三章 第23讲 ‎1．(2014·浙江卷)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)．若AB＝‎15 m，AC＝‎25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是(　D　)‎ A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． 解析：由题意，在△ABC中，sin∠ACB＝＝＝，‎ 则cos∠ACB＝.作PH⊥BC，垂足为H，连接AH，如图所示．‎ 设PH＝x，则CH＝x，在△ACH中，由余弦定理得 AH＝ ‎＝，‎ tan∠PAH＝＝，‎ 故当＝时，最大值为.‎ ‎2．(2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶‎600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝‎100 m.‎ 解析：依题意有AB＝600，∠CAB＝30°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠DBC＝30°，DC⊥CB．∴∠ACB＝45°，‎ 在△ABC中，由＝，得＝，‎ 有CB＝300，在Rt△BCD中，CD＝CB·tan 30°＝100，则此山的高度CD＝‎100 m.‎ ‎3．(2011·上海卷)在相距‎2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C之间的距离为千米．‎ 解析：∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝＝，AC＝ 千米．‎ ‎4．(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．‎ 现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为‎50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为‎130 m/min，山路AC长为1 ‎260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.‎ ‎(1)求索道AB的长；‎ ‎(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ 解析：(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝.‎ 从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.‎ 由＝，得AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．‎ 所以索道AB的长为1 ‎040 m.‎ ‎(2)设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d m，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离 A处130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋5t)×＝200(37t2－70t＋50)，‎ 因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙距离最短．‎ ‎(3)由＝，得BC＝×sin A＝×＝500(m)．‎ 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走‎710 m才能到达C．‎ 设步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，‎ 解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．‎