【数学】2019届高考一轮复习北师大版理6-3等比数列及其前n项和学案
第3讲 等比数列及其前n项和
1．等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(q≠0，n∈N*)．
(2)等比中项
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a；
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
4．等比数列的单调性
当q>1，a1>0或0
1，a1<0或00时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
5．等比数列与指数函数的关系
当q≠1时，an＝·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )
(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( )
(4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( )
(5)等比数列中不存在数值为0的项．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
(教材习题改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝( )
A．－ B．－2
C．2 D.
解析：选D.由通项公式及已知得a1q＝2①，a1q4＝②，由②÷①得q3＝，解得q＝.故选D.
已知数列{an}满足an＝an＋1，若a3＋a4＝2，则a4＋a5＝( )
A. B．1
C．4 D．8
解析：选C.法一：因为an＝an＋1得＝2，所以{an}为等比数列，其公比为2，又a3＋a4＝2得a1＝，则a4＋a5＝a1q3＋a1q4＝4.
法二：已知an＝an＋1，可得an＋1＝2an，所以a4＋a5＝2a3＋2a4＝2(a3＋a4)＝2×2＝4.
设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．
解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
由a5＝a1q4＝16，a1＝1，得16＝q4，解得q＝2，
所以S7＝＝＝127.
答案：127
(2017·高考北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，所以＝1.
答案：1
等比数列的基本运算(高频考点)
等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中、低档题．高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度：
(1)求首项a1、公比q或项数n；
(2)求通项或特定项；
(3)求前n项和．
[典例引领]
角度一 求首项a1、公比q或项数n
(2018·武汉市武昌区调研考试)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝( )
A．－2 B．－1
C. D.
【解析】 由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1.
【答案】 B
角度二 求通项或特定项
(方程思想)(2018·合肥模拟)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列，则an＝________．
【解析】 由已知得：
解得a2＝2.
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.
又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，
即2q2－5q＋2＝0，解得q1＝2，q2＝.
由题意得q>1，所以q＝2，
所以a1＝1.
故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
【答案】 2n－1
角度三 求前n项和
(2016·高考全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
【解】 (1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，
通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则
Sn＝＝－.
解决等比数列有关问题的三种常见思想方法
(1)方程思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．
(2)分类讨论思想：因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，所以当某一参数为公比进行求和时，就要对参数是否为1进行分类讨论．
(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn或当成整体进行求解．
[通关练习]
1．设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，则k＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选C.设等比数列{an}的公比为q，由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝＝4.又{an}的各项均为正数，
所以q＝2.而Sk＝＝63，
所以2k－1＝63，
解得k＝6.
2．(2017·高考江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a
8＝________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则S3＝＝，S6＝＝，解得q＝2，a1＝，则a8＝a1q7＝×27＝32.
答案：32
3．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②
联立①和②解得(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0，
解得q＝－5，q＝4.
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.
等比数列的判定与证明
[典例引领]
已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.
(1)求证：数列{cn}是等比数列；
(2)求Sn.
【解】 (1)证明：由an＋Sn＝n，① 得
a1＋S1＝1，即2a1＝1，解得a1＝.
又an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②
由②－①得an＋1－an＋(Sn＋1－Sn)＝1，
即2an＋1－an＝1，③
因为cn＝an－1，所以an＝cn＋1，an＋1＝cn＋1＋1，代入③式，得2(cn＋1＋1)－(cn＋1)＝1，整理得2cn＋1＝cn，
故＝(常数)．
所以数列{cn}是一个首项c1＝a1－1＝－1＝－，公比为的等比数列．
(2)由(1)知，cn＝－·＝－，
所以an＝cn＋1＝－＋1，
所以Sn＝＋n＝＋n－1.
等比数列的判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．
(2)中项公式法：若数列{an}中an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．
[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
[通关练习]
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A.法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，所以a＋＝，所以a＝－.
法二：因为等比数列的前n项和Sn＝k×qn－k，则a＝－，a＝－.
2．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，设bn＝an＋1－2an.
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)设cn＝，求证：{cn}是等比数列．
证明：(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.
＝＝
＝＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，
所以－＝3.
所以数列是等差数列，公差为3，首项为2.
所以＝2＋(n－1)×3＝3n－1.
所以an＝(3n－1)·2n－2，所以cn＝2n－2.
所以＝＝2.
所以数列{cn}为等比数列．
等比数列的性质(高频考点)
等比数列的性质是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，其难度为中等．高考对等比数列的性质的考查常有以下两个命题角度：
(1)等比数列项的性质的应用；
(2)等比数列前n项和的性质的应用．
[典例引领]
角度一 等比数列项的性质的应用
(1)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，则的值为( )
A．2 B．4
C．－2或2 D．－4或4
(2)(2018·武汉华师附中调研)数列{an}的通项公式为an＝2n－1，则使不等式a＋a＋…＋a<5×2n＋1成立的n的最大值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 (1)因为a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，
所以a3a15＝8，a3＋a15＝6，
易知a3，a15均为正，由等比数列的性质知，a1a17＝a＝a3a15＝8，
所以a9＝2，＝2，故选A.
(2)因为an＝2n－1，a＝4n－1，
所以a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
因为a＋a＋…＋a<5×2n＋1，
所以(4n－1)<5×2n＋1，
所以2n(2n－30)<1，对n进行赋值，可知n的最大值为4.
【答案】 (1)A (2)C
角度二 等比数列前n项和的性质的应用
等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．5
【解析】 法一：因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)·(a9＋a11)，故a9＋a11＝＝＝2.
同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项，
所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，
故a13＋a15＝＝＝1.
所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.
法二：在等比数列{an}中，
得q4＝＝，
所以a9＋a11＋a13＋a15＝q8(a1＋a3＋a5＋a7)＝(8＋4)＝3.
【答案】 C
等比数列常见性质的应用
等比数列性质的应用可以分为三类：
(1)通项公式的变形；
(2)等比中项的变形；
(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
[通关练习]
1．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为( )
A．4 B．6
C．8 D．－9
解析：选A.a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2，因为a4＋a8＝－2，所以a6(a2＋2a6＋a10)＝4.
2．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )
A. B．－
C. D.
解析：选A.因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝.所以a7＋a8＋a9＝.
3．在等比数列{an}中，公比q＝2，前87项的和S87＝140，则a3＋a6＋a9＋…＋a87＝( )
A．20 B．56
C．80 D．136
解析：选C.法一：a3＋a6＋a9＋…＋a87＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q84)＝a1q2＝·＝×140＝80.故选C.
法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a85，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a86，b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a87，因为b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝140，所以b1(1＋q＋q2)＝140，又1＋q＋q2＝7，所以b1＝20，b3＝q2b1＝4×20＝80.故选C.
等比数列的单调性
当或时，{an}是递增数列；
当或时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}为常数列；
当q<0时，{an}为摆动数列．
与等比数列前n项和Sn相关的结论
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)．
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝(q为公比)．
易错防范
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数．
(2)由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
(3)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
1．(2018·成都市第二次诊断性检测)在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝( )
A．12 B．18
C．24 D．36
解析：选B.a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝6(1＋q2＋q4)＝78⇒1＋q2＋q4＝13⇒q2＝3，所以a5＝a3q2＝6×3＝18.故选B.
2．(2018·银川一中模拟)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝3，则该数列前5项的积为( )
A．±3 B．3
C．±1 D．1
解析：选D.因为a4＝3，所以3＝×q3(q为公比)，得q＝3，所以a1a2a3a4a5＝a＝(a1q2)5＝
＝1，故选D.
3．(2018·云南省11校跨区调研)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝( )
A．40 B．60
C．32 D．50
解析：选B.由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60，选B.
4．(2018·莱芜模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*，若数列{cn}满足cn＝ban，则c2 017＝( )
A．92 016 B．272 016
C．92 017 D．272 017
解析：选D.由已知条件知数列{an}是首项为3，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为3，
公比为3的等比数列，
所以an＝3n，bn＝3n.
又cn＝ban＝33n，
所以c2 017＝33×2 017＝272 017.
5．(2018·江南十校联考)设数列{an}是各项均为正数的等比数列，Tn是{an}的前n项之积，a2＝27，a3a6a9＝，则当Tn最大时，n的值为( )
A．5或6 B．6
C．5 D．4或5
解析：选D.数列{an}是各项均为正数的等比数列，因为a3a6a9＝，所以a＝，所以a6＝.因为a2＝27，所以q4＝＝＝，所以q＝.所以an＝a2qn－2＝27×＝.令an＝＝1，解得n＝5，则当Tn最大时，n的值为4或5.
6．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，则
②÷①，得q7＝128，即q＝2，把q＝2代入①，得a1＝，
所以数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝×2n－1＝3×2n－3.
答案：3×2n－3
7．设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q＝________．
解析：当q≠1时，＝3a1q2，解得q＝1(舍去)或－.当q＝1时，S3＝a1＋a2＋a3＝3a3也成立．
答案：1或－
8．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________．
解析：因为＋＝，＋＝，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，所以＋＋＋＝＝÷＝－.
答案：－
9．已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．
(1)求an及Sn；
(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
解：(1)因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
故Sn＝1＋3…＋(2n－1)＝＝＝n2.
(2)由(1)得a4＝7，S4＝16.
因为q2－(a4＋1)q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，
所以(q－4)2＝0，从而q＝4.
又因为b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，
所以bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1.
从而{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1)．
10．(2017·高考北京卷)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10.
解得d＝2.所以an＝2n－1.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2b4＝a5，所以b1qb1q3＝9.解得q2＝3.
所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.
从而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.
1．(2018·郑州市第一次质量预测)已知数列{an}满足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋＋…＋＜t，则实数t的取值范围为( )
A．(，＋∞) B．[，＋∞)
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
解析：选D.依题意得，当n≥2时，an＝＝＝2 n2－(n－1)2＝22n－1，又a1＝2
1＝22×1－1，因此an＝22n－1，＝，数列{}是以为首项，为公比的等比数列，等比数列{}的前n项和等于＝(1－)＜，因此实数t的取值范围是[，＋∞)，选D.
2．(2018·安徽池州模拟)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法错误的是( )
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第三天走的路程占全程的
D．此人后三天共走了四十二里路
解析：选C.记每天走的路程里数为an(n＝1，2，3，…，6)，
由题意知{an}是公比为的等比数列，
由S6＝378，得＝378，
解得a1＝192，所以a2＝192×＝96，
此人第一天走的路程比后五天走的路程多192－(378－192)＝6(里)，
a3＝192×＝48，>，
前3天走的路程为192＋96＋48＝336(里)，
则后3天走的路程为378－336＝42(里)，故选C.
3．已知直线ln：y＝x－与圆Cn：x2＋y2＝2an＋n交于不同的两点An，Bn，n∈N*，数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝|AnBn|2，则数列{an}的通项公式为________．
解析：圆Cn的圆心到直线ln的距离dn＝＝，半径rn＝，故an＋1＝|AnBn|2＝r－d＝2an，故数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，故an＝2n－1(n∈N*)．
答案：an＝2n－1(n∈N*)
4．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝，且对任意正整数m，n都有am＋n＝am·an，若S
n
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