【数学】2019届一轮复习北师大版命题及其关系、充分条件与必要条件学案
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲
考情考向分析
1.理解命题的概念．
2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分又不必要条件
p⇏q且q⇏p
知识拓展
从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A?B，则p是q的充分不必要条件；
(5)若A?B，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“对顶角相等”是命题．( √ )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( × )
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ )
(4)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( √ )
(5)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．( √ )
题组二 教材改编
2．下列命题是真命题的是( )
A．矩形的对角线相等
B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．若整数a是素数，则a是奇数
D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题
答案 A
3．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
题组三 易错自纠
4．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( )
A．若x
y，则x2>y2 D．若x≥y，则x2≥y2
答案 B
解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
5．“sin α>0”是“α是第一象限角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 由sin α>0，可得α是第一或第二象限角及终边在y轴正半轴上；若α是第一象限角，则sin α>0，所以“sin α>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件．故选B.
6．已知集合A＝，B＝{x|－13，即m>2.
题型一 命题及其关系
1．下列命题是真命题的是( )
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x＜y，则x2＜y2
答案 A
2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( )
A．不拥有的人们会幸福 B．幸福的人们不都拥有
C．拥有的人们不幸福 D．不拥有的人们不幸福
答案 D
3．(2018·青岛调研)下列命题：
①“若a21，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；
④“若x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．
其中正确的命题是( )
A．③④ B．①③ C．①② D．②④
答案 A
解析 对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确．故选A.
4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________________．
答案 若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
题型二 充分必要条件的判定
典例 (1)(2017·浙江)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 方法一 ∵数列{an}是公差为d的等差数列，
∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，
∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.
若d＞0，则21d＞20d,10a1＋21d＞10a1＋20d，
即S4＋S6＞2S5.
若S4＋S6＞2S5，则10a1＋21d＞10a1＋20d，
即21d＞20d，
∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．
故选C.
方法二 ∵S4＋S6＞2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)⇔a6＞a5⇔a5＋d＞a5⇔d＞0，
∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．
故选C.
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 由5x－6>x2，得2sin β不成立．
∴充分性不成立；
取α＝，β＝，sin α＞sin β，但α＜β，必要性不成立．
故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分又不必要条件．
(2)设向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，则“a∥b”是“tan θ＝成立”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 必要不充分
解析 a∥b⇔sin 2θ＝cos2θ⇔cos θ＝0或2sin θ＝cos θ⇔cos θ＝0或tan θ＝，所以“a∥b”是
“tan θ＝成立”的必要不充分条件．
题型三 充分必要条件的应用
典例已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
引申探究
若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴方程组无解，
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
跟踪训练 (1)设p：|2x＋1|0)；q：>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．
答案 (0,2]
解析 由|2x＋1|0)，得－m<2x＋10，得x<或x>1.
∵p是q的充分不必要条件，又m>0，
∴≤，∴01”的否命题是( )
A．若函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上不是减函数，则m≤1
B．若函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上是减函数，则m≤1
C．若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上是减函数
D．若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上不是减函数
答案 A
解析 “若p，则q”形式的命题的否命题是对条件和结论同时否定，故选A.
2．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．
3．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B
4．已知命题p：若a<1，则a2<1，则下列说法正确的是( )
A．命题p是真命题
B．命题p的逆命题是真命题
C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”
D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”
答案 B
解析 若a＝－2，则(－2)2>1，∴命题p为假命题，
∴A不正确；
命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，
∴B正确；
命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，∴C不正确；
命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，∴D不正确．
故选B.
5．“x＞1”是“(x＋2)＜0”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 由x＞1，得x＋2＞3，即(x＋2)＜0，(x＋2)＜0，即x＋2＞1，得x＞－1
，故“x＞1”是“(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件．故选B.
6．(2017·北京海淀区一模)若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 设f(x)＝x＋ln x，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∵a>b，∴f(a)>f(b)，
∴a＋ln a>b＋ln b，故充分性成立；
∵a＋ln a>b＋ln b，
∴f(a)>f(b)，∴a>b，故必要性成立，
故“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”的充要条件，故选C.
7．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.
8．(2017·江西红色七校二模)在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cos A>sin B”是“△ABC为钝角三角形”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 因为cos A>sin B，所以cos A>cos，
因为角A，B均为锐角，所以－B为锐角，
又因为余弦函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，
所以A<－B，所以A＋B<，
在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以C>，
所以△ABC为钝角三角形；
若△ABC为钝角三角形，角A，B均为锐角，
则C>，所以A＋B<，
所以A<－B，所以cos A>cos，
即cos A>sin B.
故“cos A>sin B”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．
9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．
答案 2
解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
10．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
解析 当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q，
当x＋y>2时，可令x＝－1，y＝4，即q⇏p，
故p是q的充分不必要条件．
11．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
答案 (0,3)
解析 令M＝{x|a≤x≤a＋1}，
N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．
∵p是q的充分不必要条件，∴M?N，
∴解得0＜a＜3.
12．有下列几个命题：
①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
答案 ②③
解析 ①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误；
②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．
13．已知p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，q：函数g(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 易知p成立⇔a≤1，q成立⇔a＞1，所以綈p成立⇔a＞1，则綈p是q的充要条件．故选C.
14．已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 方法一 命题p为，
命题q为{x|a≤x≤a＋1}．
綈p对应的集合A＝，
綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N＋都成立，于是可得3>2λ，即λ<.
故所求λ的取值范围是.
16．设a，b为正数，则“a－b>1”是“a2－b2>1”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
解析 ∵a－b>1，即a>b＋1.
又∵a，b为正数，
∴a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立；反之，当a＝，b＝1时，满足a2－b2>1，但a－b>1不成立．所以“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要条件．
