新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2019-2020学年高一上学期月考数学试卷

新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2019-2020学年高一上学期月考数学试卷

数学试卷 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.若幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设幂函数为，过点，则，则，所以，选B.‎ ‎2.函数的零点是( )‎ A. B. ‎-1 ‎C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 令y＝1＋= ,解得x=-1,即函数零点为-1,故选B.‎ 点睛:本题考查函数的零点问题.对于函数,我们把使的实数x叫做函数的零点.即函数的零点就是指使函数值为零的自变量的值.需要注意的是,(1)函数的零点是实数,而不是点;(2)并不是所有的函数都有零点;(3)若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.‎ ‎3.的斜二侧直观图如下图所示，则的面积为（ ）.‎ ‎ ‎ A. B. C. D. 以上都不对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据斜二测画法的原则可知：‎ 为直角三角形，底为，高为，所以面积是，‎ 本题选择B选项.‎ ‎4.已知函数，则在下列区间上，函数必有零点的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ f(－2)＝－4＜0，f(－1)＝－1＜0，f(0)＝e0＝1＞0，f(1)＝e－1＞0，f(2)＝e2－4＞0.‎ 由零点存在性定理,∵f(－1)·f(0)＜0，∴f(x)在(－1,0)上必有零点,故选B.‎ 点睛:本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间[a,b]内有零点,即存在,使得,这个c也就是方程的实数根.但是反之不一定成立.‎ ‎5.设表示一个点，表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）‎ ‎①； ②；‎ ‎③ ④.‎ A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】‎ 当a∩α＝P时，P∈α，P∈α，但aα，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，‎ ‎∵a∥b，P∈b，∴Pa，∴由直线a与点P确定唯一平面α.又a∥b，由a与b确定唯一平面γ，但γ经过直线a与点P，∴γ与α重合，∴bα，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．‎ ‎6.已知函数若，则的值为( )‎ A. B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由函数，则 ‎ ‎ ‎ 故选B ‎7.将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意最大的球为与正方体各个面相切，直径为正方体的棱长，即可求解.‎ ‎【详解】将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，‎ 该球为正方体的内切球，其半径为，‎ 所以球的体积为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，属于基础题.‎ ‎8.函数的定义域为（ ）‎ A. （，+∞） B. ［1，+∞ C. （，1 D. （－∞，1）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶次根号下的被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．‎ ‎【详解】要使函数有意义，则 ， 解得 ‎ 则函数的定义域是 ‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数定义域的求法，即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组，最后注意要用集合或区间的形式表示出来，这是易错的地方．‎ ‎9.已知，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为，，，所以，故选C.‎ ‎10.若函数有最小值，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，只存在最小值，结合已知可得，再由对数函数的定义域，最小值为正数，建立的不等量关系，求解即可.‎ ‎【详解】令，函数有最小值，‎ ‎，且，‎ 所以的取值范围是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查对数型函数和二次函数的性质，要注意对数函数的定义域，属于基础题.‎ ‎11.若点分别是函数与的图像上的点，且线段的中点恰好为原点，则称为两函数的一对“孪生点”，若，，则这两个函数的“孪生点”共有（ ）‎ A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据题意：由“孪生点”，可知，欲求的“孪生点”，只须作出函数 的图象关于原点对称的图象，看它与函数的交点个数即可． 如图，观察图象可得：它们的交点对数是：2． 即两函数的“孪生点”有：2对． 故答案选B．‎ 点睛：本题涉及新概念的题型，属于创新题，有一定的难度.解决此类问题时，要紧扣给出的定义、法则以及运算，然后结合数形结合的思想即可得到答案.‎ ‎12.设函数（为自然对数的底数）．若且，则下列结论一定不成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，作出函数图象如下图：‎ 若，则，‎ 则，则A可能成立；若 若则，则B可能成立 对于D，若，则，，则D不成立；若，则，，则D成立.故有C一定不成立，故选C.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)‎ ‎13.函数恒过定点________．‎ ‎【答案】(1,2)‎ ‎【解析】‎ 当时，.‎ 所以函数恒过定点(1,2).‎ ‎14.湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为‎24cm，深为‎8cm的空穴，则这球的半径为______cm.‎ ‎【答案】13；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设球半径为，得到截面圆的半径为，球心距为，再由，列出方程，即可求解.‎ ‎【详解】设球的半径为，将球取出，留下空穴的直径为，深，‎ 则截面圆的半径为，球心距为，‎ 又由，即，化简得，‎ 解得.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了球的几何特征，其中解答中根据球的半径，截面圆的半径，以及球心距构造直角三角形，利用勾股定理列出方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎15.若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对分类做出函数的图像，数形结合即可求解.‎ ‎【详解】当时，做出图象，如下图所示，‎ 直线与函数的图象有两个公共点时，‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查指数函数的性质，数形结合是解题的关键，属于基础题.‎ ‎16.给出下列四种说法：①函数的单调递增区间是；②函数 与的值域相同；③函数与均是奇函数；④若函数在上有零点，则实数的取值范围是.其中正确结论的序号是_______.‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的定义域，可判断①为假命题；分别求出与的值域，可判断②为假命题；由奇函数的定义即可判断③的真假；分离参数转化为，求出函数的值域，即可判定④的真假.‎ ‎【详解】①函数有意义须，‎ 解得或，所以时，函数没意义，‎ 所以①错误；‎ ‎②函数的值域为，而的值域为，‎ 所以②错误；‎ ‎③函数与定义域均为，‎ 令，‎ ‎，‎ 所以为奇函数，‎ 令 所以为奇函数，所以③正确；‎ ‎④令有零点，‎ 令，根据对勾函数性质可得，‎ 在单调递减，在单调递增，以下证明：‎ 设 ‎，‎ ‎，‎ 在单调递减，‎ 同理在单调递增，所以最小值为，‎ 的最大值为，‎ 要使有解，需，‎ 所以④正确.‎ 故答案为：③④.‎ ‎【点睛】本题考查函数的性质，涉及到函数的定义域、值域、奇偶性、零点，要注意研究函数的性质定义域优先原则，含参问题要考虑分离参数的应用，属于中档题.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知一个几何体的三视图如图所示.‎ ‎（1）求此几何体的表面积；‎ ‎（2）求此几何体的体积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三视图可得，直观图为圆柱与同底的圆锥组合体，由圆柱和圆锥侧面积公式结合圆面积公式，即可求解；‎ ‎（2）根据圆柱和圆锥的体积公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）根据三视图可知，直观图为圆柱和圆锥的组合体，‎ 底面半径为2，高分别为4和2，圆锥的母线长为，‎ ‎.‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积和体积，还原直观图是解题的关键，属于基础题.‎ ‎18.计算：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据对数的运算性质，即可求解；‎ ‎（2）由分数指数幂的运算法则，即可求出结论.‎ ‎【详解】（1）原式；‎ ‎（2）原式.‎ ‎【点睛】本题考查对数与指数的运算，熟记公式即可，属于基础题.‎ ‎19.已知函数，且.‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求使成立的的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用对数运算求出，可得出函数在其定义域上是增函数，由得出，解出即可；‎ ‎（2）由题意得出，解该方程即可.‎ ‎【详解】（1），则，解得，‎ 是上的增函数，‎ 由，得，解得.‎ 因此，实数的取值范围是；‎ ‎（2），得，化简得，‎ 解得或.‎ ‎【点睛】本题考查对数运算以及利用对数函数的单调性解不等式，在底数范围不确定的情况下还需对底数的范围进行分类讨论，同时在解题时还应注意真数大于零，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎20.已知函数，．‎ ‎（1）求函数的值域；‎ ‎（2）求满足方程的的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）化简函数的解析为，根据，即可求解函数的值域；（2）由，得，整理得到，即可求解方程的解．‎ 试题解析：（1），‎ 因为，所以，即，故的值域是．‎ ‎（2）由，得，‎ 当时，显然不满足方程，即只有时满足，整理得，‎ ‎，故，‎ 因为，所以，即．‎ 考点：指数函数图象与性质．‎ ‎21.设函数的定义域为．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）求的最大值与最小值，并求出最值时对应的的值．‎ ‎【答案】（1）；（2），最小值，，最大值 .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据定义域为，利用对数函数单调性确定函数的取值范围；（2）根据对数的运算法则化简函数利用换元法将函数转化为关于的一元二次函数，利用二次函数的性质求函数的最值.‎ 试题解析：（1）的取值范围为区间 ‎（2）记．‎ ‎∵在区间是减函数，在区间是增函数 ‎∴当即时，有最小值；‎ 当即时，有最大值．‎ ‎22.已知函数，（其中为常数且）的图象经过点 ‎（1）求的解析式 ‎（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意得，即可求解的解析式；‎ ‎（2）设，根据在上为减函数，得到，再由在上恒成立，得，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得 ‎（2）设，则在上为减函数 当时 在上恒成立，即 ‎ 的取值范围为：‎ 点睛：本题主要考查了函数解析式的求解和不等式的恒成立问题的应用，解答中涉及到函数满足条件的实数的取值范围的求法，以及函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，同时注意合理进行等价转化是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.‎