北京市延庆区2021届高三上学期统测（9月）考试数学试题 Word版含答案

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‎2020-2021学年第一学期高三年级统测试卷 ‎ 数学 2020.09‎ ‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回.‎ ‎ 第一部分（选择题，共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎（1）已知集合A={x||x|<3}，B={x||x|>1}，则AB=‎ ‎ （A） （B） （C）（D）{–2，2}‎ ‎（2）已知向量，，若与方向相反，则等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）圆上一点到原点的距离的最大值为 ‎（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 ‎ ‎（4）下列函数中，在其定义域上是减函数的是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ 高三年级（数学） 第14页（共4页）‎ ‎（5）若为第三象限角，则 ‎（A） （B） （C）（D）‎ ‎（6）设抛物线的焦点为，准线为．是抛物线上的一点，过作轴于，若，则线段的长为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（7）已知函数，则不等式的解集是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）已知直线，平面，，那么“”是“”的 ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（9）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线 与轴正半轴所成的最小正角为，则等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）‎ 高三年级（数学） 第14页（共4页）‎ ‎（A） 年 （B）年 （C）年 （D）年 第二部分（非选择题，共110分）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎（11）已知复数是负实数，则实数的值为 ．‎ ‎（12）已知正方形的边长为2，点P满足，则____．‎ ‎（13）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前项的和为 ．‎ ‎（14）将函数y=的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，给出下列四个结论：‎ ‎①； ②在上单调递增；‎ ‎③在上有两个零点；‎ ‎④的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.‎ 其中所有正确结论的序号是____________________．‎ ‎（15）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为4，则的焦距的最小值为 ．‎ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎（16）（本小题14分）‎ ‎ A，B，C三个班共有180名学生，为调查他们的上网情况 高三年级（数学） 第14页（共4页）‎ ‎，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：‎ A班 ‎12 ‎ ‎13‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎20‎ ‎21‎ B班 ‎11 ‎ ‎11.5‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎15.5‎ ‎17.5‎ ‎20‎ C班 ‎11 ‎ ‎13.5‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎16.5‎ ‎19‎ ‎21‎ ‎（Ⅰ）试估计B班的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）从这180名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概 率;‎ ‎（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从C班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率. ‎ ‎（17）（本小题14分）‎ 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱 的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：//平面；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值．‎ 高三年级（数学） 第14页（共4页）‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 设是公比不为1的等比数列，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：‎ ‎（Ⅰ）求的公比；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ 条件①：为，的等差中项；条件②：设数列的前项和为，.‎ 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°.‎ ‎（Ⅰ）若，，求的面积；‎ ‎（Ⅱ）若，求角C.‎ ‎（20）（本小题14分）‎ 已知椭圆C：过点A（-2，0）, 点B为其上顶点，且直线AB斜率为.‎ 高三年级（数学） 第14页（共4页）‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积.‎ ‎（21）（本小题15分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当，时，求函数的最大值；‎ ‎（Ⅲ）当，时，判断函数的零点个数，并说明理由.‎ 延庆区2020-2021学年度高三数学统测试卷评分参考 一、选择题: （每小题4分，共10小题，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. A 2.C 3.C 4.D 5. C 6.C 7.D 8. A 9. D 10. C ‎ 二、填空题: （每小题5分，共5小题，共25分）‎ ‎11．1； 12. 3； 13．； 14①③； 15．‎ ‎14题选对一个给3分，有错误不给分 三、解答题：（共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤.）‎ ‎16. （Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自班的学生有名．根据分层抽样 方法，班的学生人数估计为人. …………3分 高三年级（数学） 第14页（共4页）‎ 只有结果63扣1分 ‎（Ⅱ）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，…………4分 设此人一周上网时长超过15小时为事件D,‎ 其中D包含的选法有3+3+4=10种， …………6分 ‎. …………7分 由此估计从180名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的 概率为. ……………8分 只有结果而无必要的文字说明和运算步骤，扣2分.‎ ‎（Ⅲ）从A班的6人中随机选2人，有种选法，从C班的7人中随机选1人，有种选法，‎ 故选法总数为：种 ……………10分 设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为，‎ 则中包含以下情况：‎ ‎（1）从A班选出的2人超15小时，而C班选出的1人不超15小时，‎ ‎（2）从A班选出的2人中恰有1人超15小时，而C班选出的1人 超15小时， ……………11分 所以. ……………14分 高三年级（数学） 第14页（共4页）‎ 只有，而无文字说明，扣1分 ‎17.解：‎ ‎（Ⅰ） 因为平面 所以 …………1分 因为所以， …………2分 因为 平面，所以， …………3分 即 ‎（Ⅱ） 设的中点为，连接，则//， …………4分 ‎ 连接，因为//且=， ‎ 所以是平行四边形， …………5分 所以 //， …………6分 所以平面//平面 …………7分 所以//平面 …………8分 ‎（Ⅲ）以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， …………9分 可得、、、‎ 高三年级（数学） 第14页（共4页）‎ ‎、.依题意，是平面的一个法向量， …………10分 ‎，．‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即， …………11分 不妨设，可得． …………12分 ‎， …………13分 因为二面角的平面角是钝角, …………14分 所以，二面角的余弦值为.‎ 结果为扣一分 ‎18. 解：选① （Ⅰ）因为为的等差中项，‎ 所以 …………2分 所以 ， …………3分 高三年级（数学） 第14页（共4页）‎ 因为 …………4分 所以 所以，（舍） …………6分 ‎ ‎ 不能只看结果；没有扣一分，没舍扣一分 选② （Ⅰ）因为，所以，…2分 ‎ 因为，所以，所以 …………6分 ‎ ‎（Ⅱ）设数列的前项和为，因为数列是以为首项，‎ 为公差的等差数列， …………8分 等比数列的首项， …………9分 所以 …………13分 ‎ …………14分 没有证明或指明等差数列扣2分。‎ ‎19.解：‎ ‎（Ⅰ）在中，因为，所以，…1分 高三年级（数学） 第14页（共4页）‎ 所以， …………2分 由余弦定理可得， …………3分 ‎ …………4分 所以的面积为； …………6分 ‎（Ⅱ）在中，因为， …………7分 ‎， …………8分 ‎，……10分 ‎， …………12分 ‎ .…………14分 直接写扣一分，无角C范围叙述的扣2分 ‎20.解：‎ 高三年级（数学） 第14页（共4页）‎ ‎（Ⅰ）由题意: 设直线：，. …………1分 令，则，于是，. …………2分 所以，. …………4分 椭圆方程为. . …………5分 ‎（Ⅱ）设，且， ……………6分 又，所以直线， ……………7分 令， ……………8分 则， ……………9分 直线，令， ……………10分 则， ……………11分 所以四边形的面积为 ……………12分 ‎， ……………14分 高三年级（数学） 第14页（共4页）‎ 所以四边形的面积为.‎ 结果不对最后2分全扣 ‎21.解：‎ ‎（Ⅰ）当时，函数，，……………1分 ‎， ……………2分 切线的斜率， ……………3分 曲线在原点处的切线方程为 ……………4分 ‎（Ⅱ），……5分 令，‎ 则， ……6分 当，时，，所以在上单调递增，……7分 所以，即，仅在处，其余各处，‎ 所以在上单调递增， ……8分 所以当时，的最大值为. ……………9分 高三年级（数学） 第14页（共4页）‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，‎ 因为，当时，，仅在处，其余各处，‎ 所以在上单调递减， ……………10分 因为， ……………11分 所以存在唯一，使得，‎ 即在上有且只有一个零点， ……………12分 因为，………13分 所以是偶函数，其图像关于轴对称，‎ 所以在上有且只有一个零点， ……14分 所以在上有2个零点. ……………15分 高三年级（数学） 第14页（共4页）‎