【数学】山东省烟台二中2019-2020学年高一下学期期末考试试题

【数学】山东省烟台二中2019-2020学年高一下学期期末考试试题

山东省烟台二中2019-2020学年高一下学期期末考试 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分）‎ ‎1．下列条件中，能判断平面α与平面β平行的是（ ）‎ A．α内有无穷多条直线都与β平行 ‎ B．α与β同时平行于同一条直线 ‎ C．α与β同时垂直于同一条直线 ‎ D．α与β同时垂直于同一个平面 ‎2．某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生（ ）‎ A．630 B．615 C．600 D．570‎ ‎3．已知某种产品的合格率是90%，合格品中的一级品率是20%．则这种产品的一级品率为（ ）‎ A．18% B．19% C．20% D．21%‎ ‎4．PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标．如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：μg/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）‎ A．从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低 ‎ B．这10天的PM2.5日均值的中位数是45 ‎ C．这10天中PM2.5日均值的平均数是49.3 ‎ D．从这10天的日均PM2.5监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是 ‎5．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF是一个刍甍，其中△BCF是正三角形，AB＝2BC＝2EF，则以下两个结论：①AB∥EF；②BF⊥ED （ ）‎ A．①和②都不成立 B．①成立，但②不成立 ‎ C．①不成立，但②成立 D．①和②都成立 ‎6．20．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 现对A，B有如下观测数据 A ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ B ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎17‎ 记本次测试中，A，B两组数据的平均成绩分别为，，A，B两班学生成绩的方差分别为SA2，SB2，则（ ）‎ A．，SA2＜SB2 B．，SA2＜SB2 ‎ C．，SA2＝SB2 D．，SA2＝SB2‎ ‎8．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（ ）‎ A．BC⊥平面PAC B．AC⊥PB ‎ C．AE⊥EF D．平面AEF⊥平面PBC 二 、多选题：（每题5分，全对得5分，选不全得3分，选错得0分，共20分）‎ ‎9．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（ ）‎ A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” ‎ B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” ‎ C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” ‎ D．“至少有一个黑球”与“都是红球”‎ ‎10．某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎[来源:学科网]‎ A．女生身高的极差为12 B．男生身高的均值较大 ‎ C．女生身高的中位数为165 D．男生身高的方差较小 ‎11．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所 在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（ ）‎ A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB ‎ B．异面直线AD与PB所成的角为90°‎ C．BD⊥平面PAC D．二面角P﹣BC﹣A的大小为45°‎ 三、填空题：（每题5分，第15题第一空2分，第二空3分）‎ ‎13．已知三个事件A，B，C两两互斥且P（A）＝0.3，P（）＝0.6，P（C）＝0.2，‎ 则P（A∪B∪C）＝ ．‎ ‎14．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________.‎ ‎15．某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为 ，80%分位数是 ．‎ ‎16．在四棱锥S﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝ ．‎ 四、解答题（6题，共70分）‎ ‎17．（10分）为了了解某校初三年级500名学生的体质情况，随机抽查了10名学生，测试1min仰卧起坐的成绩（次数），测试成绩如下：‎ ‎30 35 42 33 34 36 34 37 29 40‎ ‎（1）这10名学生的平均成绩是多少？标准差s是多少？‎ ‎（2）次数位于与之间有多少名同学？所占的百分比是多少？（参考数据：3.82≈14.6）‎ ‎18.（12分）某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试．全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）．已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人．‎ ‎（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；（中位数保留两位小数）‎ ‎（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率．‎ ‎19．（12分）国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如表所示： 命中环数 ‎10环 ‎9环 ‎8环 ‎7环 概率 ‎0.32‎ ‎0.28‎ ‎0.18‎ ‎0.12‎ 求该射击队员射击一次 求（1）射中9环或10环的概率； ‎（2）至少命中8环的概率；‎ ‎（3）命中不足8环的概率．‎ ‎20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的侧面SAD是正三角形，AB∥CD，且AB⊥AD，AB＝2CD＝4，E是SB中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：CE∥平面SAD；‎ ‎（Ⅱ）若平面SAD⊥平面ABCD，且，求多面体SACE的体积．‎ ‎21．（12分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．‎ ‎（Ⅰ）写出该试验的基本事件空间Ω，并求事件A发生的概率；‎ ‎（Ⅱ）求事件B发生的概率；‎ ‎（Ⅲ）事件A与事件C至少有一个发生的概率．‎ ‎22．（12分）如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起后如图2，使二面角B﹣AE﹣C成直二面角，设F是CD的中点，P是棱BC的中点．‎ ‎（1）求证：AE⊥BD；‎ ‎（2）求证：平面PEF⊥平面AECD；‎ ‎（3）判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．‎ ‎【参考答案】‎ ‎1----8 CDABBACB ‎9—12 AB AB AD ABD ‎ ‎13. 0.9．‎ ‎14. .‎ ‎15. 7，8.5．‎ ‎16. ‎ ‎17. 解：（1）10名学生的平均成绩为：‎ ‎．‎ 方差：，‎ 即标准差．‎ ‎（2），，‎ 所以次数位于与之间的有6位同学，‎ 所占的百分比是．‎ ‎18. 解：（1）依题意a+b＝0.046，1000（b﹣a）＝6，‎ 解得a＝0.020，b＝0.026，‎ 中位数为≈112.31．‎ ‎（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A 由题意知，在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，‎ 在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，‎ 从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），‎ ‎（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），‎ ‎（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）共15种，‎ 抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），‎ ‎（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2）共8种，‎ 所以，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为．‎ ‎19. 解：记事件“射击一次，命中k环”为Ak（k∈N，k≤10），则事件Ak彼此互斥．﹣﹣（2分）‎ （1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得 P（A）＝P（A9）+P（A10）＝0.32+0.28＝0.60﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分） ‎（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．由互斥事件概率的加法公式得 P（B）＝P（A8）+P（A9）+P（A10）＝0.18+0.28+0.32＝0.78﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分） ‎（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得 P（）＝1﹣P（B）＝1﹣0.78＝0.22﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎20. 解：（Ⅰ）取SA的中点F，连接EF，‎ 因为E是SB中点，‎ 所以EF∥AB，且AB＝2EF，‎ 又因为AB∥CD，AB＝2CD，‎ 所以EF∥DC，EF＝DC，‎ 即四边形EFDC是平行四边形，‎ 所以EC∥FD，‎ 又因为EC⊄平面SAD，FD⊂平面SAD，‎ 所以CE∥平面SAD；‎ ‎（Ⅱ）取AD中点G，连接SG，‎ 因为SAD是正三角形，所以SG⊥AD，‎ 因为平面SAD⊥平面ABCD，且交线为AD，‎ 所以SG⊥平面ABCD，‎ 因为AB⊥AD，所以AB⊥平面SAD，‎ 所以AB⊥SA，‎ 故，，‎ 因为E是SB中点，所以点E到平面ABCD的距离等于，‎ 所以多面体SACE的体积为：‎ VSACE＝VS﹣ABCD﹣VS﹣ACD﹣VE﹣ABC ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝．‎ ‎21. 解：（I）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，‎ Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），‎ ‎（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），‎ ‎（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），‎ ‎（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），‎ ‎（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），‎ ‎（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共有36个基本事件，‎ 事件A：“两数之和为8”，事件A包含的基本事件有：‎ ‎（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共5个基本事件，‎ ‎∴事件A发生的概率为P（A）＝．‎ ‎（II）事件B：“两数之和是3的倍数”，‎ 事件B包含的基本事件有12个，分别为：‎ ‎（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6），‎ ‎∴事件B发生的概率P（B）＝＝．‎ ‎（III）事件A与事件C至少有一个发生包含的基本事件有11个，分别为：‎ ‎（2，2），（2，4），（2，6），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，3），（6，2），（6，4），（6，6），‎ ‎∴事件A与事件C至少有一个发生的概率为P（A∪C）＝．：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发 ‎22. 解：（1）证明：设AE中点为M，连接BM，‎ ‎∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形．‎ ‎∴BM⊥AE，DM⊥AE．‎ ‎∵BM∩DM＝M，BM、DM⊂平面BDM，‎ ‎∴AE⊥平面BDM．‎ ‎∵BD⊂平面BDM，∴AE⊥BD．‎ ‎（2）证明：连接CM交EF于点N，∵ME∥FC，ME＝FC，∴四边形MECF是平行四边形，∴N是线段CM的中点．∵P是BC的中点，∴PN∥BM．‎ ‎∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD．‎ 又∵PN⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD．‎ ‎（3）解：DE与平面ABC不垂直．‎ 证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD，∴BM⊥DE．‎ ‎∵AB∩BM＝B，AB、BM⊂平面ABE，∴DE⊥平面ABE．‎ ‎∵AE⊂平面ABE，∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾．‎ ‎∴DE与平面ABC不垂直．‎