四川省三台中学实验学校2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题

四川省三台中学实验学校2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题

座位号 ‎2019年秋季三台中学实验学校2018级入学考试 数学试题 ‎ 注意事项：‎ ‎1.本试卷分满分150分．考试时间120分钟。‎ ‎2.答题前，考生先将自己的准考证号、姓名、座位号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚。 ‎ ‎3.选择题使用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为 A. B．－ C. D．－ ‎2.已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于 A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°‎ ‎3.给定下列命题：‎ ‎①a＞b⇒a2＞b2；②a2＞b2⇒a＞b；③a＞b⇒<1；④a＞b⇒<.‎ 其中正确的命题个数是 A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ ‎4.向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(‎2a＋b)·a等于 A．－1 B．‎0 C．1 D．2‎ ‎5.在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是 ‎6.在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项的和S11等于 A．58 B．‎88 C．143 D．176‎ ‎7.直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是 ‎8.关于直线m，n与平面α，β，下列四个命题中真命题的序号是：‎ ‎①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n； ②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；‎ ‎③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n； ④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.‎ A．①② B．③④ C．①④ D．②③‎ ‎9.设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线过P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是 A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤ C．－≤k≤4 D．以上都不对 ‎10. 设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于任意的，f(x)<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为 A．(－∞，0] B. C．(－∞，0)∪ D.‎ ‎11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=‎ ‎－，则=‎ A．6 B．‎5 C．4 D．3‎ ‎12.如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则·等于 A．4 B．5 ‎ C．6 D．7‎ 第II卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知点A(m，3)，B(‎2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为_______；‎ ‎14.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=_______；‎ ‎15.已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________；‎ ‎16.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，△是边长 为的正三角形，分别是的中点，，则球的体积为_______．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题10分）‎ 已知＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥.‎ ‎(1)求实数n的值；‎ ‎(2)若⊥，求实数m的值．‎ ‎18.（本小题12分）‎ 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求l′的斜截式方程，使得：‎ ‎(1)l′与l平行，且过点(－1,3)；‎ ‎(2)l′与l垂直，且l′与两坐标轴围成的三角形的面积为4.‎ ‎19.（本小题12分）‎ 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．‎ ‎(1)若a3=4，求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．‎ 20. ‎（本小题12分）‎ 已知Rt△ABC的顶点A(－3,0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上．‎ ‎(1)求点C的坐标；‎ ‎(2)求斜边上的中线的方程．‎ 21. ‎（本小题12分）‎ 的内角的对边分别为，设．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若，求．‎ ‎22.（本小题12分）‎ 如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．‎ ‎(1)求证：GF∥平面ABC；‎ ‎(2)求证：平面DAC⊥平面EBC；‎ ‎2019年秋季三台中学实验学校2018级入学考试 数学答案 一．选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D A C A B D D A D A B 二．填空题：‎ ‎13.0或1 14. 15.－ 16.‎ 三．简答题：‎ ‎17.解　因为＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，‎ 所以＝＋＋＝(3,3＋m＋n)，‎ ‎(1)因为∥，所以＝λ，‎ 即 解得n＝－3.‎ ‎(2)因为＝＋＝(2,3＋m)，‎ ＝＋＝(4，m－3)，‎ 又⊥，‎ 所以·＝0，‎ 即8＋(3＋m)(m－3)＝0，解得m＝±1.‎ ‎18.解　∵直线l的方程为3x＋4y－12＝0，‎ ‎∴直线l的斜率为－.‎ ‎(1)∵l′与l平行，∴直线l′的斜率为－.‎ ‎∴直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)，‎ 即y＝－x＋ ‎(2)∵l′⊥l，∴kl′＝.‎ 设l′在y轴上的截距为b，则l′在x轴上的截距为－b，‎ 由题意可知，S＝|b|·＝4，∴b＝±，‎ ‎∴直线l′的方程为y＝x＋或y＝x－.‎ ‎19.解：（1）设的公差为d． 由得．‎ 由a3=4得．于是．‎ 因此的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）得，故.‎ 由知，故等价于，解得1≤n≤10．‎ 所以n的取值范围是．‎ ‎20.解　(1)∵Rt△ABC的直角顶点B(－1，－2)，‎ ‎∴AB⊥BC，故kAB·kBC＝－1.‎ 又∵A(－3,0)，∴kAB＝＝－，∴kBC＝，‎ ‎∴直线BC的方程为y＋2＝(x＋1)，即x－y－3＝0.‎ ‎∵点C在x轴上，‎ ‎∴由y＝0，得x＝3，即C(3,0)．‎ ‎(2)由(1)得C(3,0)，∴AC的中点为(0,0)，‎ ‎∴斜边上的中线为直线OB(O为坐标原点)，直线OB的斜率k＝2，‎ ‎∴直线OB的方程为y＝2x.‎ ‎21.（1）由已知得，故由正弦定理得．‎ 由余弦定理得．因为，所以．‎ ‎（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，‎ 即，可得．‎ 由于，所以，故 ‎．‎ ‎22.(1)证明　连接AE.‎ ‎∵四边形ADEB为正方形，‎ ‎∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，‎ ‎∵G是EC的中点，‎ ‎∴GF∥AC.‎ 又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，‎ ‎∴GF∥平面ABC.‎ ‎(2)证明　∵四边形ADEB为正方形，∴EB⊥AB.‎ 又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，BE⊂平面ABED，‎ ‎∴BE⊥平面ABC，‎ ‎∴BE⊥AC.∵CA2＋CB2＝AB2，‎ ‎∴AC⊥BC.‎ 又∵BC∩BE＝B，BC，BE⊂平面EBC，‎ ‎∴AC⊥平面EBC.‎ ‎∵AC⊂平面DAC ‎∴平面DAC⊥平面EBC