2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高一上学期九科联赛试题（12月）数学

2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高一上学期九科联赛试题（12月）数学

‎2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高一上学期九科联赛试题（12月）数学 考生注意：本卷共22道小题,考试时间120分钟,满分150分.答题时,请将答案写在答题卡上,答案写在试卷上无效．考试结束后,上交答题卡．‎ 一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）‎ ‎1.集合的真子集可以是 A． B． C． D． ‎ ‎2.底面直径和高都是的圆柱的侧面积为 A． B． C． D．‎ ‎3.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,则的值为 A．1 B． C．2 D．4‎ ‎4.如图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么是 A．等边三角形 B．直角三角形 ‎ C．钝角三角形 D．三边互不相等的三角形 ‎5.下列函数中,在区间上单调递减的是 ‎ A． B． ‎ ‎ C. D．‎ ‎6.已知是两条不同直线，是三个不同平面，则下列命题正确的是 A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 ‎7.已知函数在上单调递增，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎8.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC, △PBC, △PAB, △PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点.‎ 在此几何体中，下列结论中错误的为 A．直线BE与直线CF共面 ‎ B．直线BE与直线AF是异面直线 C．平面BCD⊥平面PAD ‎ D．面PAD与面PBC的交线与BC平行 ‎9.已知函数，其中表示不超过的最大整数，如．下面说法错误的是 A．当时，； B．函数的值域是；‎ C．函数与函数的图象有4个交点； D．方程根的个数为7个．‎ ‎10.矩形中，，，沿将三角形折起，得到的四面体的体积的最大值为 A． B． C． D． ‎ ‎11.关于函数有如下命题：‎ ‎①； ②函数的图象关于原点中心对称；‎ ‎③函数的定义域与值域相同； ④函数的图象必经过第二、四象限． ‎ 其中正确命题的个数是 A． 4 B． 3 C． 2 D． 1‎ ‎12. 已知四面体的四个顶点都在球的球面上，若平面，，且，,则球的表面积为 A. B. C. D.‎ 二、填空题（每小题4分，共5小题，满分20分）‎ ‎13．计算： . ‎ ‎14．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，‎ 截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的 母线长是3 cm，则圆台O′O的母线长为________cm.‎ ‎15. 设函数，则满足的的取值范围是 ．‎ ‎16. 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：‎ ‎①水的部分始终呈棱柱状；‎ ‎②水面四边形的面积不改变；‎ ‎③棱始终与水面平行；‎ ‎④当时，是定值．‎ 其中所有正确说法的代号是 ．‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17. (本题满分10分) 已知集合，，．‎ ‎（1）求；． （2）若，，求实数的取值范围．‎ ‎18. (本题满分12分) 在正方体中，为棱、的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面⊥平面．‎ ‎19. (本题满分12分)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的剩余污染物数量与过滤开始后的时间小时的关系为．其中为过滤开始时废气的污染物数量，为常数．如果过滤开始后经过个小时消除了的污染物，试求：‎ ‎（1）过滤开始后经过个小时还剩百分之几的污染物？‎ ‎（2）求污染物减少所需要的时间．（计算结果参考数据：）‎ ‎20. (本题满分12分) 如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，与的交点为，，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正切值．‎ ‎21. (本题满分12分) 设函数．‎ ‎（1）设，证明：在区间内存在唯一的零点；‎ ‎（2）设，若对任意都有，求的取值范围．‎ ‎22. (本题满分12分) 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.‎ ‎（1）证明: 函数在区间内必有局部对称点；‎ ‎（2）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.‎ ‎2018年下期衡阳市八中高一联赛 数学试题 命题人: 彭学军 审题人：颜 军 考生注意：本卷共22道小题,考试时间120分钟,满分150分.答题时,请将答案写在答题卡上,答案写在试卷上无效．考试结束后,上交答题卡．‎ 一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C A A C D B C C C A C ‎1.集合的真子集可以是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎2.底面直径和高都是的圆柱的侧面积为（　　）‎ A． B． C． 　　　 D．‎ ‎【答案】C ‎3.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,则的值为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．4‎ ‎【答案】A ‎4.如图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么是（ ）‎ A．等边三角形 B．直角三角形 ‎ C．钝角三角形 D． 三边互不相等的三角形 ‎【答案】A ‎【解析】由斜二测画法的原则可知，‎ ‎,，所以,故 为等边三角形，故选A.‎ ‎5.下列函数中,在区间上单调递减的是（　　）‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎6. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 ‎【答案】D ‎【解析】由题意得，A中，若，则与平行、相交或异面，所以不正确；B中，若，则与可能是相交平面，所以不正确；C中，若，则与可以是相交平面，所以不正确；D中，根据垂直与同一平面的两直线是平行的，所以“若，则”是正确的，故选D.‎ ‎7.已知函数在上单调递增，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数在上单调递增，则，且函数满足，所以函数为偶函数，则，且，所以，即，故选B.‎ ‎8.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC, △PBC, △PAB, △PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（ ）‎ A．直线BE与直线CF共面 ‎ B．直线BE与直线AF是异面直线 C．平面BCD⊥平面PAD ‎ D．面PAD与面PBC的交线与BC平行 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由展开图恢复原几何体如图所示，易知选C.‎ ‎9.已知函数，其中表示不超过的最大整数，如．下面说法错误的是（ ）‎ A．当时，； B．函数的值域是；‎ C．函数与函数的图象有4个交点； D．方程根的个数为7个．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 作出函数的图像如图所示，显然结论①②均正确；在同一坐标系内作函数的图像(坐标系内第一象限的射线部分)，作出的图像（图像中的折线部分），可以得到③错误，④正确。故答案为C。‎ ‎10.矩形中，，，沿将三角形折起，得到的四面体的体积的最大值为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，当平面ABC⊥平面ACD时，得到的四面体的体积取最大值，此时高，所以，‎ ‎∴四面体A﹣BCD的体积的最大值为：,故选C.‎ ‎11.关于函数有如下命题：‎ ‎①； ②函数的图象关于原点中心对称；‎ ‎③函数的定义域与值域相同； ④函数的图象必经过第二、四象限. ‎ 其中正确命题的个数是（ ）‎ A． 4 B． 3 C． 2 D． 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数 恒成立，故定义域为，则值域为，故③正确，‎ ‎，‎ ‎，是奇函数,图象关于原点中心对称，故②正确，‎ ‎，可知单调递减，故①正确，‎ 当时，，在第四象限，故④正确 综上所述，正确命题的个数是4，故选A ‎12. 已知四面体的四个顶点都在球的球面上，若平面，，且，,则球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】 C ‎【解析】因为平面，，‎ 在四面体的基础上构造长方体如图，‎ 可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，‎ 长方体的对角线就是外接球的直径，即 ‎，‎ 球的表面积，故选C.‎ 二、填空题（每小题4分，共5小题，满分20分）‎ ‎13．计算： . ‎ ‎【答案】‎ ‎14.如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，则圆台O′O的母线长为________cm.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎∵截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16， ∴圆台的上、下底面半径之比是1：4， 如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截 的圆锥底面半径分别是x、4x， 根据相似三角形的性质得． 解此方程得y=9．所以圆台的母线长为9cm． ‎ ‎15. 设函数，则满足的的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，不等式为恒成立；‎ 当，不等式恒成立；‎ 当时，不等式为，解得，即；‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎16. 如图，在透明塑料制成的长方体 容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：‎ ‎①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形的面积不改变；‎ ‎③棱始终与水面平行； ④当时，是定值．‎ 其中正确说法是 ．‎ ‎【答案】①③④ ‎ ‎【解析】‎ ‎①将该四棱柱绕旋转，水的部分的面与面始终平行且全等，其余面为四边形，且相邻棱平行，所以始终呈棱柱状；‎ ‎②在旋转过程中水面四边形的面积改变；‎ ‎③在旋转过程中，,所以棱始终与水面平行；‎ ‎④在旋转过程中，水的体积保持不变，且四棱柱的高不变，则直角梯形面积不变，即为定值，所以当时，是定值；故选①③④．‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17. (本题满分10分) 已知集合，，．‎ ‎（1）求；． （2）若，，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1） …… 2分 ‎}, ………4分 ‎∵},∴ …… 6分 ‎（2）， …………8分 故 …………10分 ‎18. (本题满分12分) 在正方体中，为棱、的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面⊥平面．‎ ‎【解析】（1）连结BD.‎ 在长方体中，对角线.‎ 又 E、F为棱AD、AB的中点，‎ ‎ .. …………3分 又B1D1平面，平面， EF∥平面CB1D1. …………6分 ‎（2） 在长方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1， AA1⊥B1D1.‎ 又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1， B1D1⊥平面CAA1C1. ……10分 又 B1D1平面CB1D1， 平面CAA1C1⊥平面CB1D1． …………12分 ‎ ‎19. (本题满分12分)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的剩余污染物数量与过滤开始后的时间小时的关系为．其中为过滤开始时废气的污染物数量，为常数．如果过滤开始后经过个小时消除了的污染物，试求：‎ ‎（1）过滤开始后经过个小时还剩百分之几的污染物？‎ ‎（2）求污染物减少所需要的时间．（运算结果参考数据：）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由可知，当时，；当时，．于是有 ‎，解得，那么（4分）‎ 所以，当时，‎ ‎∴过滤开始后经过个小时还剩的污染物． （6分）‎ ‎（2）当时，有． （8分）‎ 解得 （12分）‎ ‎∴污染物减少所需要的时间为个小时．‎ ‎20. (本题满分12分) 如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，与的交点为，，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正切值．‎ ‎【解析】（1）∵平面平面,‎ 平面平面,, ‎ ‎ ‎ 又, ……3分 ‎∵四边形是正方形 ，，‎ ‎ 平面． ……6分 ‎ （2） 取的中点,连结 ．‎ ‎,平面平面,平面平面 ‎ 又, ‎ 即为直线EC与平面ABE所成角。 ……9分 在中，. ……12分 ‎21. (本题满分12分) 设函数 ‎（1）设，证明：在区间内存在唯一的零点；‎ ‎（2）设，若对任意，有，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）当时，．‎ ‎∵，∴在内存在零点． ……2分 又当时，都是增函数，∴在上是单调递增的， ……4分 ‎∴在区间内存在唯一的零点；‎ （2） 当时,．对任意都有等价于 在[-1,1]上的最大值与最小值之差． ……6分 讨论如下:‎ ‎(ⅰ)当, 即时, ,与题设矛盾． ……8分 ‎(ⅱ)当,即时, 恒成立． ……10分 ‎(ⅲ) 当,即时, 恒成立．‎ 综上可知． ……12分 ‎22. (本题满分12分) 已知函数,若在定义域内存在,使得成立,则称为函数的局部对称点.‎ ‎（1）证明: 函数在区间内必有局部对称点；‎ ‎（2）若函数在上有局部对称点,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1)即证：方程在区间上有解.‎ 设,则,即证：方程在区间上有解.‎ 由,得证. ……4分 ‎(2),已知即在上有解.‎ ‎.‎ 于是(*)在上有解. ……6分 令,则,所以方程(*)变为,‎ 可用定义证明函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 故. ……8分 从而已知即在上有解.‎ 设,分为两种情况：‎ ①方程有唯一解.‎ ‎ ……10分 ②方程有两个解.‎ 综上得. ……12分