历届高考数学真题汇编专题6_不等式_理(2)
【2006高考试题】
一、选择题（共15题）
1．（安徽卷）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
解：由得：，即，故选D。
2．（江苏卷）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是
（A） （B）
（C） （D）
解：运用排除法，C选项，当a-b<0时不成立。
3．（江西卷）若a>0，b>0，则不等式－b<
D.x<或x>
4．（山东卷）设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为
(A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞）
(C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2）
解：令>2（x<2），解得12（x³2）解得xÎ（，+∞）选C
5．(陕西卷)已知不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(
)
A.2 B.4 C.6 D.8
6．(陕西卷)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
解析：函数f(x)=ax2+2ax+4(00),若x1f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
8．(陕西卷)设x,y为正数, 则(x+y)( + )的最小值为( )
A. 6 B.9 C.12 D.15
解析：x，y为正数，(x+y)()≥≥9，选B.
9．(上海卷)若关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有（ ）
（A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M．
解：选（A）
方法1：代入判断法，将分别代入不等式中，判断关于的不等式解集是否为；
方法2：求出不等式的解集：
≤＋4；
10．(上海卷)如果，那么，下列不等式中正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：如果，那么，∴ ，选A.
11．（浙江卷）“a＞b＞c”是“ab＜”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件
12．（浙江卷）“a＞0，b＞0”是“ab>0”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件
解：由“a＞0，b＞0”可推出“ab>0”，反之不一定成立，选A
13．(重庆卷)若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为
（A）-1 (B) +1 (C) 2+2 (D) 2-2
14．(重庆卷)若且，则的最小值是
（A） （B）3 （C）2 （D）
解：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝12＋（b－c）2³12，当且仅当b＝c时取等号，故选A
15．（上海春）若，则下列不等式成立的是( )
（A） . （B）. （C）.（D）.
二、填空题（共6题）
16．（江苏卷）不等式的解集为
17．(上海卷)三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 ．
解：由＋25＋|－5|≥，而，等号当且仅当时成立；且，等号当且仅当时成立；所以，，等号当且仅当时成立；故；
18．（天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则_______ 吨．
解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，≥160，当即20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。
19.（浙江卷）不等式的解集是 。.
解：Û（x＋1）（x－2）>0Ûx<－1或x>2.
20.（上海春）不等式的解集是 .
21.（上海春）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 .
三、解答题（共1题）
22.（湖南卷）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1≤a≤3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.
(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19.
由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程:
解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3.
因为当,故方案乙的用水量较少.
【2005高考试题】
选择题：
1．（福建卷）不等式的解集是 （ A ）
A． B．
C． D．
2．（福建卷）下列结论正确的是 （ B ）
A．当 B．
C．的最小值为2 D．当无最大值
3．（湖北卷）对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“”是“”充要条件； ②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中真命题的个数是 （ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6. (全国卷Ⅰ) 设，函数，则使的的取值范围是（B）
（A） （B） （C）（D）
7. （山东卷），下列不等式一定成立的是（ A ）
（A）（B）
（C）
（D）
8. （天津卷）9．设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（A ）
A． B． C． D．
9. （天津卷）已知＜＜ ，则
A．2b＞2a＞2c B．2a＞2b＞2c C．2c＞2b＞2a D．2c＞2a＞2b
10. (重庆卷)不等式组的解集为 (C ) (A) (0,)； (B) (,2)； (C) (,4)； (D) (2,4)。
解答题：
1（湖北卷）22．（本小题满分14分）
已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有
解：（Ⅰ）证法1：∵当
即
于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）有极限，且
（Ⅲ）∵
则有
故取N=1024，可使当n>N时，都有
【2004高考试题】
1．(2004年辽宁卷)对于，给出下列四个不等式
① ②
③ ④
其中成立的是 ( D )
A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④
4． (2004年天津卷)不等式的解集为 （ A ）
A． B．
C． D．
5．(2004年重庆卷）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是： （ C ）
A． B． C． D．
6． (2004年重庆卷）若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是： （ B ）
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
7．(2004年北京卷）已知a、b、c满足，且，那么下列选项中不一定成立的是 （ C ）
A． B． C． D．
8．(2004年湖北卷)函数上的最大值和最小值之和为a，则a的值为 （ B ）
A． B． C．2 D．4
9．(2004年湖北卷)若，则下列不等式①；②③；
④中，正确的不等式有 （ B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．(2004年福建卷)命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件；
命题q：函数y=的定义域是（－∞，－1∪[3，+∞.则 （ D ）
A．“p或q”为假 B．“p且q”为真
C．p真q假 D．p假q真
13．(2004年全国卷I)的最小值为
（ B ）
A．－ B．－ C．－－ D．+
14．(2004年全国卷III)不等式的解集为 （ A ）
A． B．
C． D．
15．(2004年全国卷IV)设函数 ，则使得的自变量的取值范围为 （ A ）
A． B．
C． D．
16．(2004年全国卷IV)不等式的解集为 （ D ）
A． B． C． D．
20．(2004年全国卷IV)某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？
本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力.
解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800.
蔬菜的种植面积
所以
当
答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.
21．(2004年全国卷IV)已知数列的前项和满足.
（1）写出数列的前三项；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对任意的整数，有 .
本小题主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明.考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
（Ⅲ）证明：由通项公式得
当且n为奇数时，
当为偶数时，
当为奇数时，
所以对任意整数m>4，有
22．(2004年江苏卷）已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有
和，其中是大于0的常数.
设实数a0，a，b满足 和
(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；
(Ⅱ)证明；
(Ⅲ)证明.
（II）由 ③
可知 ④
由①式，得 ⑤
由和②式知， ⑥
由⑤、⑥代入④式，得
23．(2004年湖南卷)如图，直线相交于点P.直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2
，…，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，…，点Pn（n=1，2，…）的横坐标构成数列
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）比较的大小.
（Ⅰ）证明：设点Pn的坐标是，由已知条件得
点Qn、Pn+1的坐标分别是：
由Pn+1在直线l1上，得
所以 即
（Ⅱ）解：由题设知 又由（Ⅰ）知 ，
所以数列 是首项为公比为的等比数列.
从而
24．(2004年福建卷）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.
（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.
解：（Ⅰ）依题设，An=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n2；
Bn=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100.
【2003高考试题】
一、选择题
1.（2003京春文，1）设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是（ ）
A.a+c>b+d B.a－c>b－d
C.ac>bd D.
2.（2002京皖春，1）不等式组的解集是（ ）
A．｛x｜－1＜x＜1 B．｛x｜0＜x＜３
C．｛x｜0＜x＜1 D．｛x｜－1＜x＜３
3.（2002全国，3）不等式（1＋x）（1－｜x｜）＞0的解集是（ ）
A．｛x｜0≤x＜1 B.｛x｜x＜0且x≠－1
C．｛x｜－1＜x＜1 D.｛x｜x＜1且x≠－1
4.（2001河南、广东，1）不等式>0的解集为（ ）
A.{x|x<1} B.{x|x>3}
C.{x|x<1或x>3} D.{x|1b>0是a2>b2的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件
7.（2000全国，7）若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），则（ ）
A.R＜P＜Q B.P＜Q＜R
C.Q＜P＜R D.P＜R＜Q
※8.（2000全国，6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过500元的部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
超过2000元至5000元的部分
15%
……
…
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）
A.800～900元 B.900～1200元
C.1200～1500元 D.1500～2800元
9.（1999上海理，15）若a（b+）2均不能成立
D.不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立
※10.（1999全国，14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
11．（1997全国，14）不等式组的解集是（ ）
A.｛x｜0＜x＜2 B.｛x｜0＜x＜2.5
C.｛x｜0＜x＜ D.｛x｜0＜x＜3
12.（1994上海，12）若0＜a＜1，则下列不等式中正确的是（ ）
A.（1－a）＞（1－a） B.log1－a（1＋a）＞0
C.（1－a）3＞（1＋a）2 D.（1－a）＞1
二、填空题
13.（2002上海春，1）函数y＝的定义域为 ．
14.（1999全国，17）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 .
15.（1995全国理，16）不等式（）＞3－2x的解集是_____.
16.（1995上海，9）不等式＞1的解是 .
17.（1994上海，1）不等式|x＋1|＜1的解集是_____.
三、解答题
18.（2002北京文，17）解不等式＋2＞x．
19．（2002北京理，17）解不等式|－x|＜2.
※20.（2002上海，20）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额（元）的范围
［200，400
［400，500
［500，700
［700，900
……
获得奖券的金额（元）
30
60
100
130
……
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0．2＋30＝110（元）.设购买商品
得到的优惠率＝.试问：
（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少?
（2）对于标价在［500，800］（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率?
※24.（2000京皖春文24，理23）某地区上年度电价为0.8元／kW·h，年用电量为a kW·h.本年度计划将电价降到0.55元／kW·h至0.75元／kW·h之间，而用户期望电价为0.4元／kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为ｋ）.该地区电力的成本价为0.3元／kW·h.
（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
（2）设ｋ＝0．2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?
（注：收益＝实际用电量×（实际电价M成本价））
25.（2000全国文20，理19）设函数f（x）＝－ax，其中a＞0．
（1）解不等式f（x）≤1；
（2）求a的取值范围，使函数f（x）在区间［0，＋∞）上是单调函数.
26.（1999全国理，19）解不等式（a＞0且a≠1）.
27．（1998全国文，20）设a≠b,解关于x的不等式a2x＋b2（1－x）≥［ax＋b(1－x)］2．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?
30.（1997全国理，24）设二次函数f（x）＝ax2＋bx+c（a＞0），方程f（x）－x＝0的两根x1、x2满足0＜x1＜x2＜．
（Ⅰ）当x∈（0，x1）时，证明：x＜f（x）＜x1；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜．
31．（1996全国理，20）解不等式loga（1）＞1．
32．（1996全国文，20）解不等式loga（x＋1－a）＞1．
33．（1996全国理，25）已知a、b、c是实数，函数f（x）=ax2＋bx＋c，g（x）=ax+b，当－1≤x≤1时，|f（x）|≤1．
（Ⅰ）证明：|c|≤1；
（Ⅱ）证明：当－1≤x≤1时，|g（x）|≤2；
（Ⅲ）设a＞0，当－1≤x≤1时，g（x）的最大值为2，求f（x）.
34.（1994全国文，22）已知函数f（x）=logax（a>0，且a≠1），x∈［0，+∞）.若x1，x2∈［0，+∞），判断［f（x1）+f（x2）］与f（）的大小，并加以证明.
●答案解析
解法二：原不等式化为： ①或 ②
①解得－1＜x＜1
②解得即x＜－1
∴原不等式的解集为x＜1且x≠－1
评述：该题体现了对讨论不等式与不等式组的转化及去绝对值的基本方法的要求.
4.答案：C
解析：由已知（x－1）（x－3）>0，
∴x<1或x>3.
故原不等式的解集为{x|x<1或x>3}.
5.答案：B
解析：3a+3b≥2=6，当且仅当a=b=1时取等号.
故3a+3b的最小值是6.
评述：本题考查不等式的平均值定理，要注意判断等号成立的条件.
6.答案：A
解析：由a>b>0得a2>b2.反过来a2>b2则可能ab>0是a2>b2的充分不必要条件.
8.答案：C
解析：分别以全月工资、薪金所得为900元，1200元，1500元，2800元计算应交纳此项税款额，它们分别为：5元，20元，70元，200元.
∵20＜26．78＜70，所以某人当月工资、薪金所得介于1200～1500元，选C.
9.答案：B
解析：∵b<0，∴－b>0，∴a－b>a，又∵a－b<0，a<0，∴.
故不成立.
∵a|b|，∴故不成立.由此可选B.
另外，A中成立.C与D中（a+）2>（b+）2成立.其证明如下：
∵a|b+|，
故（a+）2>（b+）2.
评述：本题考查不等式的基本性质.
11.答案：C
解法一：当x≥2时，原不等式化为，
去分母得（x+2）（3－x）＞（x+3）（x－2），
即－x2＋x＋6＞x2＋x－6，2x2－12＜0，．
注意x≥2，得2≤x＜；
当0＜x＜2时，原不等式化为，去分母得－x2＋x＋6＞－x2－x＋6
即2x＞0 注意0＜x＜2，得0＜x＜2．
综上得0＜x＜，所以选C.
解法二：特殊值法.取x=2，适合不等式，排除A；取x=2.5，不适合不等式，排除D；再取x=，不适合不等式，所以排除B；选C.
评述：此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算能力.
12.答案：A
解析：因为0＜a＜1，所以0＜1－a＜1，而指数函数y=mx（m＞0，m≠1）在0＜m＜1时，是减函数，则（1－a）＞（1－a），故选A.
13.答案：（－3，1）
解析：3－2x－x2>0 ∴x2+2x－3<0 ∴－30，x2>0，∴x1·x2≤（）2（当且仅当x1=x2时取“=”号）
当a>1时，loga（x1·x2）≤loga（）2，∴logax1x2≤loga
即［f（x1）+f（x2）］≤f（）（当且仅当x1=x2时取“=”号）
当0
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