2018-2019学年江苏省启东中学高一3月月考数学试题（解析版）
2018-2019学年江苏省启东中学高一3月月考数学试题
一、单选题
1．已知，则是的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】试题分析：先将命题化简，p:2
2,因此p可推出q而q不能推p,所以p是q充分而不必要条件,答案为C.
【考点】命题间的关系
2．设抛物线上一点到此抛物线准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
【解析】分析：利用抛物线的定义，将d1+d2的最小值转化为点到直线的距离即可求得结论．
详解：：∵点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，
∴过焦点F作直线3x+4y+12=0的垂线，则点到直线的距离为d1+d2最小值，
∵F（1，0），直线3x+4y+12=0
故选A.
点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线距离公式的应用，将d1+d2的最小值转化为点到直线的距离是关键．
3．设是椭圆上一点，分别是两圆和上的点，则的最小值和最大值分别为（ ）
A．4，8 B．2，6 C．6，8 D．8，12
【答案】A
【解析】在两个三角形中，由三角形知识列不等式，
，两不等式组同向相加，再利用椭圆定义即可得解。
【详解】
根据题意作出如下图像，其中是椭圆的左，右焦点，
在中可得：…①, 当且仅当三点共线时，等号成立，
在中可得：…②，当且仅当三点共线时，等号成立，
由①+②得：，
由椭圆方程可得：，即
由椭圆定义可得：，
所以可化为：.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义及椭圆方程，还考查了三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边结论，考查了转化能力，属于中档题。
4．某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ）
A．474种 B．77种 C．462种 D．79种
【答案】A
【解析】试题分析：根据题意，由于某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下
午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），所有的上课方法有，那么连着上3节课的情况有5种，则利用间接法可知所求的方法有-5=474，故答案为A.
【考点】排列组合
点评：主要是考查了排列组合的运用，属于基础题。
5．若平面的一个法向量为 ，则点到平面的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】分析：求出，点A到平面的距离：，由此能求出结果.
详解： ，，，，
AB为平面的一条斜线，且
点A到平面的距离：
故选C.
点睛：点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则A到平面α的距离.
6．若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为 （ ）
A． B．84 C．3 D．21
【答案】D
【解析】根据题意作出图像，分别利用椭圆及双曲线定义列方程，解方程组即可求解。
【详解】
依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下：
由椭圆方程可得：，
由椭圆定义可得：…（1），
由双曲线方程可得：，，
由双曲线定义可得：…（2）
联立方程（1）（2），解得：，
所以
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了椭圆及双曲线的定义，还考查了椭圆及双曲线的简单性质，考查计算能力，属于中档题。
7．已知，且中有三个元素，若中的元素可构成等差数列，则这样的集合共有（ ）个
A．460 B．760 C．380 D．190
【答案】C
【解析】对等差数列的公差分类，即可求得各种公差时满足要求的集合的个数，问题得解。
【详解】
当等差数列的公差为1时，满足这样的条件的集合的个数为：个
当等差数列的公差为2时，满足这样的条件的集合的个数为：个，
当等差数列的公差为3时，满足这样的条件的集合的个数为：个，
…
当等差数列的公差为19时，满足这样的条件的集合的个数为：个，
构成一个等差数列，其和为：
.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了分类思想及等差数列求和，考查观察推理能力，属于中档题。
8．如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设左焦点为，令，，则，
∴，
∵点关于原点的对称点为，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选．
点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
二、填空题
9．命题“，”的否定是_______．
【答案】
【解析】试题分析：特称命题的否定为全称命题，并将结论加以否定，因此命题的否定为：“，均有”
【考点】全称命题与特称命题
10．已知椭圆上的点到右焦点的距离为2，则点到左准线的距离为____．
【答案】4
【解析】因为椭圆上的点到右焦点的距离为2，所以到左焦点的距离为，即的横坐标为0，即点到左准线的距离为4.
点睛：本题考查椭圆的定义的应用.在处理与圆锥曲线的两焦点问题时，往往利用圆锥曲线的定义合理进行转化，如遇到椭圆或双曲线上的点到准线问题，要考虑两者的第二定义进行合理转化.
11．设条件：实数满足；条件：实数满足且是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是____
【答案】
【解析】由命题实数满足，
得或，
由命题实数满足，其中；
得，
∵，
∴，
∵是的必要不充分条件，
∴，
∴．
12．已知，，且与夹角为钝角，则取值范围是_____．
【答案】且
【解析】求出，由与夹角为钝角可得：且与不反向共线，问题得解。
【详解】
因为， ，
所以
因为与夹角为钝角，所以且与不反向共线，
又因为与共线时，有，即：
所以，解得：.
【点睛】
本题主要考查了向量夹角的数量积表示及空间向量数量积的坐标运算，还考查空间向量共线知识及计算能力，属于中档题。
13．曲线 的焦点是双曲线的焦点，点在上，则的方程是________．
【答案】
【解析】整理可得：，即可求得双曲线的焦点坐标，设双曲线的方程为：，将点代入双曲线的方程，结合即可求出，问题得解。
【详解】
：整理可得：，
该方程表示椭圆，其焦点坐标为，
由题可设双曲线的方程为：，且
因为点在上，将它代入上式可得：
又，解得：，
所以双曲线的方程为：.
【点睛】
本题主要考查了椭圆、双曲线的简单性质及方程思想，考查化简能力，属于中档题。
14．已知，，则向量与的夹角是________.
【答案】
【解析】分别求出向量与的坐标，利用向量坐标间的关系可得，即可判断向量与垂直，问题得解。
【详解】
因为，
所以，，
所以
所以向量与垂直，所以向量与的夹角为.
【点睛】
本题主要考查了空间向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题。
15．如图，椭圆，圆，椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为_______
【答案】
【解析】试题分析：由已知，
，所以．故答案为.
【考点】1、余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算；2、圆的性质及椭圆的定义，性质；
【方法点晴】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定义，性质，属于难题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘.本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答.
16．斜率为直线经过椭圆的左顶点，且与椭圆交于另一个点，若在轴上存在点使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为_______．
【答案】
【解析】设经过椭圆的左顶点且斜率为的直线方程为，联立，得，解得，则，的中点为，的中垂线方程为，令，得，则，，则，即，化简，得，则，即该椭圆的离心率为.
三、解答题
17．已知命题：“椭圆的焦点在轴上”；命题：“关于的不等式在上恒成立”．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2） 若命题“或”为真命题、“且”为假命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析：（1）利用椭圆的标准方程化简命题，即可求解；（2）先根据真值表得到两简单命题的真假，再利用相关数集进行求解.
试题解析：（1）真：椭圆的焦点在轴上 ∴
（2）∵“或”为真命题、“且”为假命题 ∴真假或假真
真：∵关于的不等式在R上恒成立
∴，解得：
∴或 解得：或
∴实数a的取值范围是或．
18．椭圆的中心是，左，右顶点分别是，点到右焦点的距离为3，离心率为，是椭圆上与，不重合的任意一点．
(1)求椭圆方程；
(2)设是轴上定点，若当点在椭圆上运动时最大值是，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】(1) 利用点到右焦点的距离为3，离心率为，列方程组即可求得，问题得解。
(2) 设，表示出，对与的大小分类讨论得到，由列方程即可求得的值，问题得解。
【详解】
(1) 由题意得 ， 解得 ，所以，
所以所求方程为．
(2)设，
则： ，
①当时，，令，解得
②当时，，令，解得，
因为，所以(舍去)
所以的值是
【点睛】
本题主要考查了椭圆的简单性质及函数思想，还考查了两点距离公式，考查计算能力及分类思想，属于中档题。
19．如图，在三棱锥中，，．点分别是的中点，底面.
(1)求证:平面.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析
（2）
【解析】（1）由分别是的中点可得：，问题得证。
（2）过点作的平行线交于点，连接，过点作的垂线交于点，连接，由此证得平面，即可说明直线与平面所成角就是，解三角形即可得解。
【详解】
（1）因为点分别是的中点，
所以,又平面，平面，
所以平面.
（2）过点作的平行线交于点，连接，
过点作的垂线交于点，连接，如下图：
因为，所以
因为底面，底面，所以 ，
又，平面,平面
所以平面，又平面，
所以平面平面，
又， 平面，平面平面，
所以平面，
所以直线与平面所成角就是.
不妨设，则，
所以，，,，
在中，，
又,解得：,
所以
【点睛】
本题主要考查了线面平行的证明，还考查了线面角知识，考查空间思维能力及作图能力，考查计算能力，属于中档题。
20．已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点
（1）求椭圆的标准方程
（2）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线的横纵截距分别为，求证：为定值
【答案】(1) (2)见解析
【解析】（1）由点在椭圆上列方程，结合即可求得，问题得解。
（2）设根据圆的切线可得，由此表示直线方程,将代入直线方程可得，同理可得，由此可得到两点在直线上，即可求得直线的方程，由此表示出，结合即可证得结论，问题得解。
【详解】
解：（1）将点代入椭圆的方程可得：，
又，解得：，
所以椭圆的标准方程为
（2）由（1）可得：
设
∴可知是过作圆切线所产生的切点弦
设，由是切点可得：
∴
∴直线方程，代入：，
即 ，同理可知对于，有
因为在圆上
∴ ∴
∴为直线上的点
因为两点确定唯一一条直线
∴直线方程，即
由截距式可知
∴
∵在椭圆上
∴
∴
即为定值
【点睛】
本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了圆的切线性质及方程思想，考查了直线方程的截距式及计算能力，属于难题。
21．如图，在三棱柱中， 是正方形的中心， ， 平面，且
（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）
【过程详解请参见图片版】
【解析】参考标准答案.本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
22．已知椭圆的左右焦点坐标为 ，且椭圆经过点。
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点是椭圆上位于第一象限内的动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积。
【答案】（1）；（2）。
【解析】（1）利用椭圆定义可得a值，结合c值即可得出；
（2）设，由三点共线可得， 同理得，进而，结合点在椭圆上可得结果.
【详解】
(1)因为椭圆焦点坐标为 ，且过点，
所以，所以，
从而，
故椭圆的方程为。
(2)设点，，，
因为，且三点共线，所以，解得，
所以，
同理得，
因此
，
，
因为点在椭圆上，所以，即，
代入上式得：。
【点睛】
求定值问题常见的方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
