【数学】福建省泉州市泉港区第一中学2019-2020学年高一上学期第二次月考试题（解析版）

【数学】福建省泉州市泉港区第一中学2019-2020学年高一上学期第二次月考试题（解析版）

www.ks5u.com 福建省泉州市泉港区第一中学2019-2020学年 高一上学期第二次月考试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，，‎ ‎∴阴影部分为.‎ 故选C.‎ ‎2.在下列区间中，函数零点所在的区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵函数在R上连续且单调递增，‎ 且，‎ ‎，∴，‎ ‎∴函数的零点所在的区间为.‎ 故选：C．‎ ‎3.下列各函数中，表示同一函数的是（ ）‎ A. 与（且） B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】A ‎【解析】对于A，函数y＝x（x∈R），与y＝logaax＝x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．‎ 对于B，函数yx+1（x≠1），与y＝x+1（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；‎ 对于C，函数，与（x∈R）的定义域相同，对应关系不同，不是同一函数；‎ 对于D，（x>0）与（x≠0）定义域不同，不是同一函数；‎ 故选A．‎ ‎4.已知是非零实数，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】因为,所以或 ,‎ 所以是“”的既不充分也不必要条件,选D ‎5.若关于的不等式的解集为，则的取值范围为 ‎（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】不等式可化为，‎ 由不等式的解集为，得，‎ 则方程的两根为，，且，所以的取值范围为.‎ 故选B.‎ ‎6.若2弧度的圆心角所对的弦长为4，则这个圆心角所对的弧长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出图像如下图所示，中，，,是的中点，所以，在中，，即，所以，所以弧度的圆心角所对的弧长为.‎ 故选：B ‎7.已知，是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是 ‎（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】要使在上为减函数，必须同时满足3个条件 ‎①在上为减函数；②在上为减函数.‎ ‎③；所以，解得，‎ 故选C.‎ ‎8.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 (　　)．‎ A. c>b>a B. b>c>a C. a>c>b D. a>b>c ‎【答案】D ‎【解析】，，；且；.‎ ‎9.已知（且）恒过定点，且点在直线 ‎（，）上，则的最小值为（ ）‎ A. B. 8 C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】当x=2时,loga(x−1)+1=1恒成立，‎ 故f(x)=loga(x−1)+1(a>0且a≠1)恒过定点M(2,1)，‎ ‎∵点M在直线 (m>0,n>0)上，故，则：‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立.‎ 即m+n的最小值为.‎ 本题选择C选项.‎ ‎10.已知函数的最大值为，最小值为，则等于（ ）‎ A. 0 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，‎ 所以是奇函数，‎ 则由奇函数的性质，‎ 又因为，，‎ 即，，‎ 故，即，应选答案C．‎ 二、不定项选择题（本大题共2小题，每小题5分，每题至少有两个正确选项，漏选得2分，多选或选错得0分.）‎ ‎11.（多选）给出下列各三角函数值：①；②；③；④．其中符号为负的是（ ）‎ A. ① B. ② C. ③ D. ④‎ ‎【答案】ABCD ‎【解析】因为角是第三象限角，所以；‎ 因为角是第二象限角，所以；‎ 因为，所以角是第二象限角，‎ 所以；．‎ 故选:ABCD．‎ ‎12.我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有 成立，下列判断正确的是（ ）‎ A. 若为“函数”，则 B. 若为“函数”，则在上为增函数 C. 函数在上是“函数”‎ D. 函数在上是“函数”‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】A.因为对任意的，总有，所以，又因为，，则有成立，所以所以，综合得，所以若为“函数”，则，是真命题；‎ B.设所以 ‎，‎ 因为 所以若为“函数”，则在上为增函数，是真命题；‎ C.显然函数满足条件（1），如果则 所以；如果 设则所以，‎ 所以函数在上是“函数”是假命题；‎ D.显然，所以满足条件（1），‎ ‎，所以满足条件（2）.所以函数在上是“函数”是真命题.‎ 故选ABD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，则=______．‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】∵， ∴，‎ ‎∴，则 故答案为-4‎ ‎14.若点是角终边上的一点，且，则______.‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】由题意,,解得.‎ 故答案为:-4.‎ ‎15.若,是这两个函数中的较小者,则的最大值是____.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由已知可得：.‎ 当时, ；‎ 当时, ,所以函数的最大值为1.‎ 故答案为：1‎ ‎16.函数的最小值为_______．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】由题得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令,则，‎ 因为二次函数的对称轴为，‎ 所以当时，.‎ 故答案为0‎ 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（满分70分）‎ ‎17.已知 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ 解：（1）因为，所以cosα=，‎ ‎(2)原式＝‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）画出的图像，并指出函数的单调递增区间和递减区间；‎ ‎（2）解不等式.‎ 解：（1）依题意，由此画出图像如下图所示，‎ 由图可知单调增区间是和，单调减区间是.‎ ‎（2）由已知可得或，所以或.‎ ‎19.已知函数 若，求的单调区间；‎ 是否存在实数a，使的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．‎ 解：且，‎ 可得函数 真数为 函数定义域为 令 可得：当时，t为关于x的增函数；‎ 当时，t为关于x的减函数．‎ 底数为 函数的单调增区间为，单调减区间为 设存在实数a，使的最小值为0，‎ 由于底数为，可得真数恒成立，‎ 且真数t的最小值恰好是1，‎ 即a为正数，且当时，t值为1．‎ 因此存在实数，使的最小值为0．‎ ‎20.已知；‎ ‎（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；‎ ‎（2）已知函数，当时，不等式有解，求k的取值范围.‎ 解：（1）由题意知，.‎ ‎ 函数的定义域为：.‎ 函数是定义域内的奇函数，证明如下 函数定义域为，关于原点对称，‎ 对任意，有，‎ 函数是定义域内的奇函数.‎ ‎（2），‎ 又，，‎ 由得，即， ，‎ 时，最小值为，‎ ‎，又，，即k的取值范围是.‎ ‎21.辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：‎ 上市时间天 ‎4‎ ‎10‎ ‎36‎ 市场价元 ‎90‎ ‎51‎ ‎90‎ ‎（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价与上市时间的变化关系：①；②；③；‎ ‎（2）利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；‎ ‎（3）设你选取的函数为，若对任意实数，方程恒有两个相异的零点，求的取值范围．‎ 解：（1）因为随着时间的增加，的值先减后增，而所给的三个函数中和显然都是单调函数，不满足题意，‎ 所以选取函数来描述与的函数关系 ‎ ‎（2）把点，，代入 得 所以，‎ 所以当时，，‎ 故辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数为天，最低价格为元.‎ ‎（3）由（2）知，‎ 又因为恒有两个相异的实根，‎ 则关于的方程恒有两个相异的实数根，‎ 所以恒成立，‎ 即对恒成立.‎ 所以，解得.‎ 故的取值范围为.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）当时，解方程；‎ ‎（2）当时，恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）若函数有零点，求实数a的取值范围.‎ 解：（1）当时，设，由可得 ‎，，即，则 ‎（2）当时，设，则恒成立，‎ 设，开口向上，要使在区间上恒成立，‎ 则需，‎ ‎（3）设，则，其对称轴为，‎ 当时，在上单调递增，，‎ 当时，即时， 有一正根，此时函数有一个零点. ‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 的最小值为，解得或，‎ 又，所以，此时，故：‎ 当时，函数有个零点；当时，函数有个零点.‎ 综上：或时，函数有一个零点；‎ 时，函数有2个零点.‎