【数学】辽宁省沈阳市郊联体2019-2020学年高二下学期期末考试试卷

【数学】辽宁省沈阳市郊联体2019-2020学年高二下学期期末考试试卷

参考答案 一、 选择题：1-12、CABCD CBDCD AD 二、填空题：‎ ‎13、 -2 14、150 15、（8 , 9） 16、0≤a ≤‎ 三、解答题：‎ ‎17、（本题满分10分）‎ 解：（1）由题意知，X服从参数为N＝10，M＝3，n＝3的超几何分布，…………2分 所以E(X)=…………5分 ‎（利用分布列以及期望的定义求解：4个概率1个1分，期望1分）‎ ‎（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件A1，“恰好取出2个红球”为事件A2，“恰好取出3个红球”为事件A3，‎ 而，…………6分 ‎，…………7分 P（X＝3）＝＝，…………8分 所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：‎ ‎．……………10分 ‎18、（本小题满分12分）‎ 解：（1），（x＞0）…………2分 当0＜x＜2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；‎ 当x＞2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．…………4分 所以当x＝2时，f（x）取得极小值，‎ 极小值为f（2）＝4﹣8ln2，f（x）无极大值．…………6分 ‎（2）由（1）得f（x）在上单调递减，在（2，e]上单调递增，…………8分 所以f（x）在区间上的最小值为f（2）＝4﹣8ln2．…………10分 因为，，‎ 所以f（x）在区间上的最大值为．…………12分 ‎19、（本题满分12分）‎ 解：（1）由频率分布直方图可知，优质花苗的频率为（0.04+0.02）×10＝0.6，即概率为0.6．…………1分 设所抽取的花苗为优质花苗的株数为X，则X～B（），‎ 于是；；；．………5分 其分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎…………6分 所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望．…………7分 ‎（2）由（1）可知，优质花苗的频率为（0.04+0.02）×10＝0.6，则样本中优质花苗的株数为0.6×100＝60株，列联表如下表所示：‎ 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 乙培育法 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎…………9分 可得．…………11分 所以，有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．…………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由表格中的数据可得 …………1分 ‎＝＝，…………3分 ‎＝﹣＝90+32×9.5＝394，…………5分 ‎∴y关于x的线性回归方程为；…………6分 ‎（Ⅱ）设定价为x元，则利润函数为y＝（﹣32x+394）（x﹣8），（x≥8）．‎ ‎…………8分 ‎∴y＝﹣32x2+650x﹣3152．‎ 则当x＝（元）时，销售的利润最大为148元．…11分 所以，单价定为10元时，销售的利润最大…………12分 声明：21．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）＝，………1分 当a＝0时，，………2分 则f（x）在（1，f（1））的切线方程为；………4分 ‎（Ⅱ）证明：令f′（x）＝0，解得x＝2或x＝﹣a，………5分 ‎①当a＝﹣2时，f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在R上单调递减，‎ ‎∴函数f（x）无极值；………7分 ‎②当a＞﹣2时，令f′（x）＞0，解得﹣a＜x＜2，令f′（x）＜0，解得x＜﹣a或x＞2，‎ ‎∴函数f（x）在（﹣a，2）上单调递增，在（﹣∞，﹣a），（2，+∞）上单调递减，‎ ‎∴；………9分 ‎③当a＜﹣2时，令f′（x）＞0，解得2＜x＜﹣a，令f′（x）＜0，解得x＜2或x＞﹣a，‎ ‎∴函数f（x）在（2，﹣a）上单调递增，在（﹣∞，2），（﹣a，+∞）上单调递减，‎ ‎∴，………11分 综上，函数f（x）的极大值恒大于0．………12分 ‎22、（本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）根据题意得f′（x）＝ex﹣（x＞0），………1分 ‎∵函数f（x）在[1，2]递减，‎ ‎∴f′（x）≤0在x∈[1，2]恒成立，‎ 即≥xex恒成立，‎ 故只需≥（xex）max，（1≤x≤2），………2分 令m（x）＝xex，则m′（x）＝ex（1+x），‎ 当x∈[1，2]时，m′（x）＞0，‎ m（x）在[1，2]递增，‎ 故m（x）max＝m（2）＝2e2，………4分 ‎∴≥2e2，解得：0＜a≤，‎ 故实数a的范围是（0，]；………5分 ‎（Ⅱ）证明：a＝1时，f（x）＝ex﹣lnx﹣（x＞0），‎ 则f′（x）＝ex﹣，‎ 要使对任意m∈[﹣2，2]，函数f（x）的图象均在x轴上方，‎ 只需f（x）＞0对任意m∈[﹣2，2]恒成立………6分 ‎⇔ex﹣lnx＞对任意m∈[﹣2，2]恒成立，‎ 又m∈[﹣2，2]时，∈[0，2]，‎ 则原不等式等价于ex﹣lnx＞2恒成立，………7分 令h（x）＝ex﹣lnx，则h′（x）＝，‎ 令t（x）＝xex﹣1（x＞0），‎ 则t′（x）＝（1+x）ex＞0恒成立，‎ 故t（x）在（0，+∞）递增，‎ 又x＝0时，t（x）＝﹣1＜0，x＝1时，t（x）＝e﹣1＞0，‎ 故∃x0∈（0，1）使得t（x0）＝0，‎ ‎∴x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，‎ h（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，‎ ‎∴h（x）min＝h（x0）＝﹣lnx0，………9分 由t（x0）＝0，得＝，故x0＝﹣lnx0，‎ 故h（x0）＝+x0，（0＜x0＜1），‎ ‎∴h（x0）＝+x0＞2，‎ ‎∴h（x）≥h（x）min＝h（x0）＞2，………11分 即ex﹣lnx＞2恒成立，故原不等式得证，‎ ‎∴对任意m∈[﹣2，2]，函数f（x）的图象均在x轴上方．………12分