2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（04）

2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（04）

‎2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（04）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）‎ ‎1．（5分）已知i为虚数单位，则复数﹣1+i的模等于（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎2．（5分）i是虚数单位，复数=（　　）‎ A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i ‎3．（5分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1‎ ‎4．（5分）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）已知向量=（4，﹣2），向量=（x，5），且∥，那么x的值等于（　　）‎ A．10 B．5 C． D．﹣10‎ ‎6．（5分）已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）下列各式中，值为的是（　　）‎ A．sin15°cos15° B．cos2﹣sin2‎ C． D．‎ ‎8．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　）‎ A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 ‎9．（5分）有以下四个命题：‎ ‎①如果且，那么；‎ ‎②如果，那么或；‎ ‎③△ABC中，如果，那么△ABC是钝角三角形；‎ ‎④△ABC中，如果，那么△ABC为直角三角形．‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎10．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（　　）‎ A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣ C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）‎ ‎11．（5分）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为　 　．‎ ‎12．（5分）已知向量满足与的夹角为60°，则=　 　．‎ ‎13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为，若向量=，，则=　 　．‎ ‎14．（5分）已知向量=（1，﹣3），=（4，2），若⊥（+λ），其中λ∈R，则λ=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎15．（12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x）﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：‎ ‎（Ⅱ）求 f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．‎ ‎16．（12分）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，那么要满足上述的要求，并且获利最大，甲、乙两车间应当各生产多少箱？‎ ‎17．（14分）已知函数，x∈R，且 ‎（1）求A的值；‎ ‎（2）设，，，求cos（α+β）的值．‎ ‎18．（14分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．‎ ‎（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；‎ ‎（2）求多面体CDEFG的体积．‎ ‎19．（14分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离Anmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．‎ ‎（1）求线段BC的长度；‎ ‎（2）求∠ACB的大小；‎ ‎（参考数值：）‎ ‎（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？‎ ‎20．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．‎ ‎（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（04）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）‎ ‎1．（5分）已知i为虚数单位，则复数﹣1+i的模等于（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【解答】解：．‎ 所以，复数﹣1+i的模等于．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）i是虚数单位，复数=（　　）‎ A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i ‎【解答】解：复数===2﹣i 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1‎ ‎【解答】解：由a2﹣3a+2=0得a=1或2，且a﹣1≠0得a≠1∴a=2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵D是△ABC的边AB的中点，∴=（+）‎ ‎∵=﹣，‎ ‎∴=（﹣﹣）=﹣+‎ 故选：A ‎　‎ ‎5．（5分）已知向量=（4，﹣2），向量=（x，5），且∥，那么x的值等于（　　）‎ A．10 B．5 C． D．﹣10‎ ‎【解答】解：∵=（4，﹣2），=（x，5），且∥，‎ ‎∴4×5=﹣2x，解之得x=﹣10‎ 故选：D ‎　‎ ‎6．（5分）已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：根据题意，设θ为、的夹角，据此依次分析选项：‎ 对于A、、是两个单位向量，则、的方向不一定相同，则=不一定成立，A错误；‎ 对于B、•=||||cosθ，当、不垂直时，•≠0，B错误；‎ 对于C、•=||||cosθ=cosθ≤1，C错误；‎ 对于D、、是两个单位向量，即||=||，则有2=2，D正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）下列各式中，值为的是（　　）‎ A．sin15°cos15° B．cos2﹣sin2‎ C． D．‎ ‎【解答】解：sin15°cos15°=sin30°=，排除A项．‎ cos2﹣sin2=cos=，排除B项．‎ ‎==，排除C项 由tan45°=，知选D．‎ 故选D ‎　‎ ‎8．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　）‎ A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 ‎【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），‎ ‎∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，‎ 故选：B ‎　‎ ‎9．（5分）有以下四个命题：‎ ‎①如果且，那么；‎ ‎②如果，那么或；‎ ‎③△ABC中，如果，那么△ABC是钝角三角形；‎ ‎④△ABC中，如果，那么△ABC为直角三角形．‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【解答】解：①∵且，∴，与不一定相等，故①不正确；‎ ‎②∵，∴，或，或，故不正确；‎ ‎③在△ABC中，∵，∴，∴∠ABC是钝角，故△BAC是钝角三角形，因此正确；‎ ‎④在△ABC中，∵，∴，即AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形，故正确．‎ 综上可知：只有③④正确，即正确命题的个数是2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（　　）‎ A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣ C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣‎ ‎【解答】解：由图象可知：T==π，∴ω=2；（，1）在图象上，‎ 所以 2×+φ=，φ=﹣．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）‎ ‎11．（5分）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为 ‎　﹣1　．‎ ‎【解答】解：由（1+i）z=2，得：．‎ 所以，z的虚部为﹣1．‎ 故答案为﹣1．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知向量满足与的夹角为60°，则=　　．‎ ‎【解答】解：根据题意，•=||||cos60°=1，‎ ‎2=||2﹣4•+4||2=13，‎ 则2=，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为，若向量=，，则=　﹣12　．‎ ‎【解答】解：由已知可得，=‎ ‎∴=（）•（）=6‎ ‎=6﹣4×﹣16‎ ‎=﹣12‎ 故答案为：﹣12‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知向量=（1，﹣3），=（4，2），若⊥（+λ），其中λ∈R，则λ=　　．‎ ‎【解答】解：∵⊥（+λ），‎ ‎∴•（+λ）=0．‎ ‎∴（1，﹣3）•（4+λ，2﹣3λ）=0，‎ 即（4+λ）﹣3（2﹣3λ）=0．‎ 解得λ=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎15．（12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x）﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：‎ ‎（Ⅱ）求 f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）﹣1，‎ ‎=4cosx（sinx+cosx）﹣1‎ ‎=sin2x+2cos2x﹣1‎ ‎=sin2x+cos2x ‎=2sin（2x+），‎ 所以函数的最小正周期为π；‎ ‎（Ⅱ）∵﹣≤x≤，‎ ‎∴﹣≤2x+≤，‎ ‎∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，‎ 当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1．‎ ‎　‎ ‎16．（12分）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，那么要满足上述的要求，并且获利最大，甲、乙两车间应当各生产多少箱？‎ ‎【解答】解：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，…（1分）‎ 根据题意，得约束条件 …（4分）‎ 画出可行域．…（7分）‎ 目标函数z=280x+200y，…（8分）‎ 即，…（9分）‎ 作直线并平移，得直线经过点A（15，55）时z取最大值．…（11分）‎ 所以当x=15，y=55时，z取最大值．…（12分）‎ ‎　‎ ‎17．（14分）已知函数，x∈R，且 ‎（1）求A的值；‎ ‎（2）设，，，求cos（α+‎ β）的值．‎ ‎【解答】解：（1），解得A=2‎ ‎（2），即 ‎，即 因为，‎ 所以，，‎ 所以．‎ ‎　‎ ‎18．（14分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．‎ ‎（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；‎ ‎（2）求多面体CDEFG的体积．‎ ‎【解答】解：（1）证明：因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形，‎ 由AD=5，DE=4，得AE=GE==3，‎ 由GC=4，CF=4，得BF=FG==4，所以EF=5，‎ 在△EFG中，有EF2=GE2+FG2，所以EG⊥GF，‎ 又因为CF⊥EF，CF⊥FG，得CF⊥平面EFG，‎ 所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG，即平面DEG⊥平面CFG．‎ ‎（2）解：在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于H，则GH==，‎ 因为平面CDEF⊥平面EFG，得GH⊥平面CDEF，‎ ‎=16．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离Anmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．‎ ‎（1）求线段BC的长度；‎ ‎（2）求∠ACB的大小；‎ ‎（参考数值：）‎ ‎（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，∠CAB=45°+75°=120°，…（1分）‎ 由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠CAB…（2分）‎ ‎=+22﹣2×（﹣1）×2×（﹣）=6，…（3分）‎ 所以，BC=．…（4分）‎ ‎（2）在△ABC中，由正弦定理，得=，‎ 所以，sin∠ACB=…（6分）‎ ‎==．…（7分）‎ 又∵0°＜∠ACB＜60°，‎ ‎∴∠ACB=15°．…（8分）‎ ‎（3）设缉私船用th在D处追上走私船，如图，‎ 则有CD=10t，BD=10t．‎ 在△ABC中，‎ 又∠CBD=90°+30°=120°，‎ 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD= …（8分）‎ ‎==．…（10分）‎ ‎∴∠BCD=30°，‎ 又因为∠ACB=15°…（12分）‎ 所以1800﹣（∠BCD+∠ACB+75°）=180°﹣（30°+15°+75°）=60°‎ 即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．…（14分）‎ ‎　‎ ‎20．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．‎ ‎（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，‎ ‎∴f（2）=3；‎ ‎∵f′（x）=3x2﹣3x，‎ ‎∴f′（2）=6．‎ 所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），‎ 即y=6x﹣9；‎ ‎（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．‎ 令f′（x）=0，‎ 解得x=0或x=．‎ 以下分两种情况讨论：‎ ‎（1）若0＜a≤2，则；‎ 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：‎ ‎ x ‎（﹣，0）‎ ‎0‎ ‎ （0，）‎ ‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎ f（x）‎ 增 极大值 减 当时，f（x）＞0，等价于即．‎ 解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；‎ ‎（2）若a＞2，则 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎ ‎ ‎（﹣，0）‎ ‎ 0‎ ‎ （0，）‎ ‎ （，）‎ ‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ f（x）‎ 增 ‎ 极大值 减 ‎ 极小值 增 ‎ 当时，f（x）＞0等价于即 解不等式组得或．‎ 因此2＜a＜5．‎ 综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．‎ ‎　‎