2009年陕西省高考数学试卷（文科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】
2009年陕西省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 设不等式x2-x≤0的解集为M，函数f(x)=ln(1-|x|)的定义域为N，则M∩N为（ ）
A.[0, 1) B.(0, 1) C.[0, 1] D.(-1, 0]
2. 若tanα=2，则2sinα-cosαsinα+2cosα的值为（ ）
A.0 B.34 C.1 D.54
3. 函数f(x)=2x-4(x≥4)的反函数为（ ）
A.f-1(x)=12x2+2(x≥0) B.f-1(x)=12x2+2(x≥2)
C.f-1(x)=12x2+4(x≥0) D.f-1(x)=12x2+4(x≥2)
4. 过原点且倾斜角为60∘的直线被圆x2+y2-4y＝0所截得的弦长为（ ）
A.3 B.2 C.6 D.23
5. 某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ）
A.9 B.18 C.27 D.36
6. 若(1-2x)2009=a0+a1x+...+a2009x2009(x∈R)，则a12+a222+…+a200922009的值为（ ）
A.2 B.0 C.-1 D.-2
7. ”m>n>0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8. 在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP→=2PM→，则PA→⋅(PB→+PC→)等于（ ）
A.-49 B.-43 C.43 D.49
9. 从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（ ）
A.432 B.288 C.216 D.108
10. 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0, +∞)(x1≠x2)，有f(x2)-f(x1)x2-x1<0．则（ ）
A.f(3)
0，ω>0，0<φ<π2）的周期为π，且图象上一个最低点为M(2π3，-2)．
（1）求f(x)的解析式；
（2）当x∈[0,π12]，求f(x)的最值．
18. 椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1
（1）求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率；
（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
19. 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=3，∠ABC=60∘．
（1）证明：AB⊥A1C；
（2）求二面角A-A1C-B的余弦值．
20. 已知函数f(x)=x3-3ax-1，a≠0
（1）求f(x)的单调区间；
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（2）若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
21. 已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈N*．
（1）令bn=an+1-an，证明：{bn}是等比数列；
（2）求{an}的通项公式．
22. 已知双曲线C的方程为y2a2-x2b2=1(a>0, b>0)，离心率e=52，顶点到渐近线的距离为255．
（1）求双曲线C的方程；
（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP→=λPB→，λ∈[13,2]，求△AOB面积的取值范围．
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参考答案与试题解析
2009年陕西省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.A
2.B
3.B
4.D
5.B
6.C
7.C
8.A
9.C
10.A
11.B
12.B
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.2n
14.1,11
15.2π3
16.8
三、解答题（共6小题，满分76分）
17.解：（1）由最低点为M(2π3，-2)得A=2由T=π得ω=2πT=2ππ=2
由点M(2π3，-2)在图象上得2sin(4π3+φ)=-2即sin(4π3+φ)=-1
所以4π3+φ=2kπ-π2故φ=2kπ-11π6(k∈Z)
又φ∈(0,π2)，所以φ=π6所以f(x)=2sin(2x+π6)
（2）因为x∈[0,π12]，可得2x+π6∈[π6,π3]
所以当2x+π6=π6时，即x=0时，f(x)取得最小值1；
当2x+π6=π3，即x=π12时，f(x)取得最大值3；
18.解：（1）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，
事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”
所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9
（2）设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，
事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，
事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，
事件D表示“两个月内被投诉2次”
所以P(Ai)=0.4，P(Bi)=0.5，P(Ci)=0.1(i=1, 2)
所以两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2+A2C1)
一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)
所以P(D)=P(A1C2+A2C1)+P(B1B2)=P(A1C2)+P(A2C1)+P(B1B2)
由事件的独立性的p(D)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.5×0.5=0.33．
19.解：（1）证明：∵ 三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴ AB⊥AA1，在△ABC中，AB=1，AC=3，∠ABC=60∘，由正弦定理得∠ACB=30∘，
∴ ∠BAC=90∘，即AB⊥AC，
∴ AB⊥平面ACC1A1，
又A1C⊂平面ACC1A1，
∴ AB⊥A1C．
（2）如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，
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由三垂线定理知BD⊥A1C，
∴ ∠ADB为二面角A-A1C-B的平面角．
在Rt△AA1C中，AD=AA1⋅ACA1C=3×36=62，
在Rt△BAD中，tan∠ADB=ABAD=63，
∴ cos∠ADB=155，
即二面角A-A1C-B的余弦值为155．
20.解析：（1）f'(x)=3x2-3a=3(x2-a)，
当a<0时，对x∈R，有f'(x)>0，
当a<0时，f(x)的单调增区间为(-∞, +∞)
当a>0时，由f'(x)>0解得x<-a或x>a；
由f'(x)<0解得-a0时，f(x)的单调增区间为(-∞,-a)，(a,+∞)；
f(x)的单调减区间为(-a，a)．
（2）因为f(x)在x=-1处取得极大值，
所以f'(-1)=3×(-1)2-3a=0，∴ a=1．
所以f(x)=x3-3x-1，f'(x)=3x2-3，
由f'(x)=0解得x1=-1，x2=1．
由（1）中f(x)的单调性可知，f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1，
在x=1处取得极小值f(1)=-3．
因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，
结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(-3, 1)．
21.解：（1）证b1=a2-a1=1，
当n≥2时，bn=an+1-an=an-1+an2-an=-12(an-an-1)=-12bn-1,
所以{bn}是以1为首项，-12为公比的等比数列．
（2）解由（1）知bn=an+1-an=(-12)n-1，
当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)++(an-an-1)=1+1+(-12)+...+(-12)n-2
=1+1-(-12)n-11-(-12)=1+23[1-(-12)n-1]=53-23(-12)n-1，
当n=1时，53-23(-12)1-1=1=a1．
所以an=53-23(-12)n-1(n∈N*)．
22.解：（1）由题意知，双曲线C的顶点(O, a)到渐近线ax-by=0的距离为255，
∴ aba2+b2=255，即abc=255，
由abc=255ca=52c2=a2+b2，得a=2b=1c=5
∴ 双曲线C的方程为y24-x2=1．
（2）由（1）知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x．
设A(m, 2m)，B(-n, 2n)，m>0，n>0．
由AP→=λPB→得P点的坐标为(m-λn1+λ，2(m+λn)1+λ)，
将P点坐标代入y24-x2=1，化简得mn=(1+λ)24λ．
设∠AOB=2θ，∵ tan(π2-θ)=2，∴ tanθ=12，sinθ=55，sin2θ=45．
又|OA|=5m，|OB|=5n+
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∴ S△AOB=12|OA|⋅|OB|⋅sin2θ=2mn=12(λ+1λ)+1．
记S(λ)=12(λ+1λ)+1，λ∈[13,2]，
由S'(λ)=0得λ=1，又S(1)=2，S(13)=83，S(2)=94，
当λ=1时，△AOB的面积取得最小值2，当λ=13时，
△AOB的面积取得最大值83．
∴ △AOB面积的取值范围是[2,83]．
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