高中数学选修2-2教学课件1_1_3 导数的几何意义

高中数学选修2-2教学课件1_1_3 导数的几何意义

1.1.3 导数的几何意义 1. 平均变化率 函数 y=f(x) 从 x 1 到 x 2 平均变化率为 : 2. 平均变化率的几何意义： O A B x y y=f(x) x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 2 -x 1 =△x f(x 2 )-f(x 1 )=△y 割线的斜率 3. 导数的概念 函数 y = f ( x ) 在 x = x 0 处的瞬时变化率 称为函数 y = f ( x ) 在 x = x 0 处的导数 , 记作 或 , 即 4. 求函数 y=f(x) 在 x=x 0 处的导数的一般步骤是 : 1. 根据导数的几何意义描述实际问题 . 2. 求曲线上某点处的切线方程 . （重点） 3. 导函数的概念及对导数的几何意义的理解 . （难点） 平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的 割线或 切线 的呢 ？ 探究点 1 切线 切线 割线 如图直线 l 1 是曲线 C 的切线吗 ? l 2 呢 ? l 2 l 1 A B 0 x y l 1 不是曲线 C 的切线， l 2 是曲线 C 的切线 . 观察图形你能得到什么结论？ 切线的定义： 当点 沿着曲线趋近于 点 ，即 时，割线 趋近于一个确定的位置， 这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线 . 注：曲线的切线 , 并不一定与曲线只有一 个交点 , 可以有多个 , 甚至可以有无穷多个 . x y o y=f(x) 在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线 斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率 有何联系？ 平均变化率 割线的斜率 瞬时变化率（导数） 切线的斜率 探究点 2 导数的几何意义 函数 在 处的导数就是曲线 在点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 处的切线的斜率 ， 即： 曲线在点 (x 0 ,f(x 0 )) 处的切线的方程为： 导数的几何意义 例 1 求曲线 y=f(x)=x 2 +1 在点 P(1,2) 处的切线方程 . Q P y = x 2 +1 x y - 1 1 1 O j M D y D x 因此 , 切线方程为 y-2=2(x-1), 即 y=2x. 解： 【 总结提升 】 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 : ① 求出切点 P 的坐标； ②求切线的斜率，即函数 y=f(x) 在 x=x 0 处的导数； ③ 利用点斜式求切线方程 . 例 2 如图 , 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 的图象 . 根据图象 , 请描述、 比较曲线 在 附近的变化情况 . t o h t 0 t 1 t 2 l 0 l 1 l 2 t 4 t 3 解 : 可用曲线 h(t) 在 t 0 , t 1 , t 2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况 . (1) 当 t = t 0 时 , 曲线 h(t) 在 t 0 处的切线 l 0 平行于 t 轴 . 故在 t = t 0 附近曲线比较平坦 , 几乎没有升降 . t o h l 0 t 0 t 1 l 1 t 2 l 2 t 4 t 3 (2) 当 t = t 1 时 , 曲线 h(t) 在 t 1 处的切线 l 1 的斜率 h (t 1 ) <0 . 故在 t = t 1 附近曲线下降 , 即函数 h(t) 在 t = t 1 附近单调递减 . t o h l 0 t 0 t 1 l 1 t 2 l 2 t 4 t 3 从图可以看出，直线 l 1 的倾斜程度小于直线 l 2 的倾斜程度，这说明曲线 h(t) 在 t 1 附近比在 t 2 附近下降得缓慢 . (3) 当 t = t 2 时 , 曲线 h(t) 在 t 2 处的切线 l 2 的斜率 h (t 2 ) <0 . 故在 t = t 2 附近曲线下降 , 即函数 h(t) 在 t = t 2 附近也单调递减 . 【 总结提升 】 通过观察跳水问题中导数的变化情况 , 你得到了哪些结论 ? (1) 以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致 可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的 切线近似代替； (2) 函数的单调性与其导函数正负的关系； (3) 曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系 . 例 3 如图表示人体血管中的药物浓度 c=f(t) （单位： mg/ml ）随时间 t （单位： min ）变化的函数图象，根据图象，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8 min 时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。 ( 精确到 0.1) 解： 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率 , 就是药物浓度 函数 f(t) 在此时刻的导数 , （数形结合，以直代曲） 从图象上看 , 它表示曲线在该点处的切线的斜率 . 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值，验证一下， 这些值是否正确 . t 0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度的 瞬时变化率 f′(t) 0.4 -0.7 一、选择题 1. 曲线 y ＝－ 2x 2 ＋ 1 在点 (0,1) 处的切线的斜率 是 ( 　　 ) A ．－ 4 B ． 0 C ． 4 D ．不存在 B B 3 ．若曲线 y ＝ h(x) 在点 P(a ， h(a)) 处的切线方程 为 2x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ，那么 ( 　　 ) A ． h′(a) ＝ 0 B ． h′(a)<0 C ． h′(a)>0 D ． h′(a) 不确定 B 4. 曲线 y ＝ x 3 在点 P 处的切线斜率为 3 ，则点 P 的坐 标为 ( 　　 ) A.( － 2 ，－ 8) B.(1,1) ， ( － 1 ，－ 1) C.( 2 , 8) D. B y ＝ 2x － 1 2. 函数 在 处的导数 的 几何意义 ， 就是函数 的图象在点 处的切线的斜率 （数形结合） ＝ 切线 的斜率 k 1. 曲线的切线定义 4. 导函数 ( 简称导数 ) 3. 利用 导数的几何意义 解释实际生活问题，体会 “数形结合”，“以直代曲” 的数学思想方法 . 以简单对象刻画复杂的对象 聪明在于勤奋，天才在于积累 . —— 华罗庚