四川省宜宾市叙州区第二中学校2019-2020学年高二下学期月考数学（理）试题

四川省宜宾市叙州区第二中学校2019-2020学年高二下学期月考数学（理）试题

‎2020年春四川省叙州区第二中学高二第二学月考试 理科数学试题 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．复数的虚部是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．双曲线的渐近线方程为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设，则“”是“”的 ‎ A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 ‎5．已知实数满足, 则使的概率为 A． B． C． D．‎ ‎6．学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高二年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，则不同的分配方案共有 ‎ A．20种 B．24种 C．26种 D．30种 ‎7．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C的方程为 ‎）的点的个数估计值为 A．5000 B．6667 ‎ C．7500 D．7854‎ 8． 设函数，若函数的图像在点处的 切线与轴垂直，则实数 ‎ A．1 B． C． D．‎ ‎9．已知椭圆的焦距为，椭圆C与圆交于M，N两点，且，则椭圆C的方程为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别为 ‎ A．18，24 B．16，‎22 ‎C．24，28 D．20，26‎ ‎11．已知是常数，函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．对于任意的正实数x ，y都有（2x)ln成立，则实数m的取值范围为 A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则与的夹角为__________．‎ ‎14．设，则二项式展开式中的项的系数为 ．‎ ‎15．已知在上是减函数，则的取值范围是____________．‎ ‎16．设分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以线段为直径的圆交双曲线一条渐近线于两点，且满足，则该双曲线的离心率为_____．‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．(12分)为促进全面健身运动，某地跑步团体对本团内的跑友每周的跑步千米数进行统计，随机抽取的100名跑友，分别统计他们一周跑步的千米数，并绘制了如图频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图计算跑步千米数不小于‎70千米的人数；‎ ‎（Ⅱ）已知跑步千米数在的人数是跑步千米数在的，跑步千米数在的人数是跑步千米数在的，现在从跑步千米数在的跑友中抽取3名代表发言，用表示所选的3人中跑步千米数在的人数，求的分布列及数学期望.‎ ‎18．(12分)已知函数 ).‎ ‎（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上是单调减函数，求的取值范围.‎ ‎19．(12分)如图1，在边长为2的正方形中， 是边的中点．将沿折起使得平面平面，如图2， 是折叠后的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证： BF平行平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．‎ ‎20．(12分)已知从椭圆的一个焦点看两短轴端点所成视角为,且椭圆经过.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数,使直线与椭圆有两个不同交点，且（为坐标原点），若存在,求出的值.不存在,说明理由.‎ ‎21．(12分)已知函数(为常数)，曲线在与轴的交点A处的切线与轴平行．‎ ‎（Ⅰ）求的值及函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若存在不相等的实数使成立，试比较与的大小． ‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 直角坐标系中曲线的参数方程（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标，在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为 ‎（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意，有，，求证：.‎ ‎2020年春四川省叙州区第二中学高二第二学月考试 理科数学试题参考答案 ‎1-5:CBBBC 6-10:ABDDC 11-12:DD ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．（1）由频率分布直方图可得跑步千米数不小于70千米的人数为.‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，跑步千米数在的人数为，‎ 所以跑步千米数在的人数为.‎ 因为跑步千米数在的人数为，‎ 所以跑步千米数在的人数为，‎ 则跑步千米数在的人数为.‎ 所以的所有可能取值为0，1，2，‎ 则；；.所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 故数学期望.‎ ‎18．（1）当时， ‎ ‎ 所以切线斜率 ‎ 又切点为 所以在处的切线方程为 ‎ ‎（2）由题意得 ‎ ‎ ‎ 因为在上是减函数，所以在上恒成立 即在上恒成立. ‎ 所以在上恒成立.‎ 令 易知在上单调递增， ‎ 所以即, 所以.‎ ‎19．（Ⅰ） 证明：取中点，连结，∵为中点，∴ ， ，‎ ‎∴，∴四边形是平行四边形 ‎∴，又平面， 平面，∴平面 ‎（Ⅱ）如图示以为坐标原点，‎ 建立空间直角坐标系 则由已知得，， 设平面的法向量为 则 解得一个法向量为 设平面的法向量为则 ‎ 解得一个法向量为∵， ，‎ ‎∴二面角的平面角的余弦值．‎ 20． ‎：(1）由于从椭圆的一个焦点 看两短轴端点所成视角为,得,此时,椭圆方程为又因为经过点,‎ 即 ∴椭圆方程为. ‎ ‎（2）由 ,‎ 由或,设,则 ,, 即, , 综上可知, 实数存在且.‎ ‎21．(1)由，得．且f(x)与y轴交于A(0.0) ‎ 所以，所以a=2， 所以,．‎ 由＞0，得x＞ln 2． 所以函数在区间(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增． ‎ ‎(2)证明：设x＞ln 2，所以2ln 2－x＜ln 2，‎ ‎(2ln 2－x)＝e(2ln 2－x)－2(2ln 2－x)－1＝＋2x－4ln 2－1．‎ 令g(x)＝ (x)－(2ln 2－x)＝ex－－4x＋4ln 2(x≥ln 2)，所以g′(x)＝ex＋4e－x－4≥0，‎ 当且仅当x＝ln 2时，等号成立，所以g(x)＝(x)－(2ln 2－x)在(ln 2，＋∞)上单调递增． ‎ 又g(ln 2)＝0，所以当x＞ln 2时，g(x)＝(x)－(2ln 2－x)＞g(ln 2)＝0，‎ 即(x)＞(2ln 2－x)，不妨设x1＜ln 2＜x2，所以(x2)＞(2ln 2－x2)，‎ 又因为(x1)＝(x2)，所以(x1)＞(2ln 2－x2)， 由于x2＞ln 2，所以2ln 2－x2＜ln 2，‎ 因为x1＜ln 2，由(1)知函数y＝(x)在区间(－∞，ln 2)上单调递减，所以x1＜2ln 2－x2，即x1＋x2＜2ln 2．‎ ‎22．（1） 曲线的直角坐标方程 点的极坐标为，化为直角坐标为，‎ 直线的参数方程为，即（为参数）‎ ‎（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得：，‎ 显然有，则 ‎，‎ 所以 ‎23．（Ⅰ）解：或，‎ ‎∴解集为． ‎ ‎（Ⅱ）证明：‎