2019-2020学年山西省运城市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年山西省运城市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山西省运城市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合,,则中元素个数为( )‎ A．1 B．3 C．6 D．无数个 ‎【答案】B ‎【解析】求出集合，利用交集的定义得，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，，，‎ 所以，即中元素的个数是3.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了交集的元素，求出不等式解集中的整数解确定出两集合是解题的关键，属于基础题.‎ ‎2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是(　　)‎ A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法 C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法 ‎【答案】B ‎【解析】此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样．‎ ‎【详解】‎ 依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法． 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查随机抽样知识，属基本题型、基本概念的考查．‎ ‎3．设函数，则函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先列出满足条件的不等式，，再求解集．‎ 详解：复合函数的定义域满足且，即是，解得，故选B 点睛：在抽象函数中，若已知的定义域，那么复合函数的定义域指的是关于的解集．若已知复合函数的定义域，的值域为的定义域．‎ ‎4．已知某运动员每次投篮命中的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4,5,6,7,8表示命中,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:‎ ‎907‎ ‎966‎ ‎191‎ ‎925‎ ‎271‎ ‎932‎ ‎812‎ ‎458‎ ‎569‎ ‎683‎ ‎431‎ ‎257‎ ‎393‎ ‎027‎ ‎556‎ ‎488‎ ‎730‎ ‎113‎ ‎537‎ ‎989‎ 据此估计,该运动员三次投篮均命中的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据在这20组数据中，表示该运动员三次投篮均命中的有10组，从而得出结论.‎ ‎【详解】‎ 在这20组数据中，表示该运动员三次投篮均命中的有：‎ ‎271,812,458,683,431,257,556,488,113,537，共10组，‎ 所以，估计该运动员三次投篮均命中的概率为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎5．函数的图象大致是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数 ‎∴‎ ‎∴函数为奇函数，即图象关于原点对称 当向右趋向于1时，趋向于，故排除D；‎ 当向左趋向于1时，趋向于，故排除B、C.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除 ‎6．已知函数.在下列区间中,包含零点的区间是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数在其定义域上连续，同时可判断，，从而判断.‎ ‎【详解】‎ 函数，在其定义域上连续，‎ 又，，‎ 故函数的零点在区间上.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点的判断与应用，属于基础题.‎ ‎7．已知函数,若,则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，设，分析可得为奇函数，则有，进而计算即可.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，函数，有，解得，‎ 即函数的定义域为，‎ 设，‎ 则，即函数为奇函数，‎ 则有，即，又，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性的判断以及应用，判断函数的奇偶性是解题的关键，属于基础题.‎ ‎8．正整数除以正整数后的余数为,记为,例如.如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理”,若执行该程序框图,当输入时,则输出结果是( )‎ A．58 B．61 C．66 D．76‎ ‎【答案】B ‎【解析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为1的数，根据所给的选项，得出结论.‎ ‎【详解】‎ 模拟程序的运行，可得，，‎ 不满足条件，；‎ 不满足条件，；‎ 满足条件，不满足条件，；‎ 不满足条件，；不满足条件，；‎ 满足条件，不满足条件，；‎ 不满足条件，；不满足条件，；‎ 满足条件，不满足条件，；‎ 不满足条件，；不满足条件，；‎ 满足条件，满足条件，输出.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题.‎ ‎9．已知函数是定义在上的偶函数,且在单调递减,,,,则,,的大小关系为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调性即可.‎ ‎【详解】‎ 由是定义在上的偶函数，又 ‎∴，‎ 而，且在单调递减，‎ ‎∴，即.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系，属于基础题.‎ ‎10．函数则关于的方程的根的个数是( )‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出的图象，解得方程或，数出根的个数即可.‎ ‎【详解】‎ 作函数的图象，如下图：‎ 由方程，即，‎ 解得或，由图象可知，方程的根的个数为6个.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解，属于基础题.‎ ‎11．若即时起10分钟内,甲乙两同学等可能到达某咖啡厅,则这两同学到达咖啡厅的时间间隔不超过3分钟的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由几何概型中的面积型得：，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 设甲、乙两同学等可能到达某咖啡厅的时间为，则，，其基本事件可用正方形区域表示，如图，‎ 则甲、乙两同学等可能到达某咖啡厅的时间间隔不超过3分钟的事件为，‎ 则事件为：，其基本事件可用阴影部分区域表示，‎ 由几何概型中的面积型可得：.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概型中的面积型，属于基础题.‎ ‎12．已知函数,.若对任意的,总存在实数,使得成立,则实数的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出函数的值域，结合对任意的，总存在实数，使得 成立，转化为的值域是函数值域的子集即可.‎ ‎【详解】‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以的值域为，‎ 设的值域为，若对任意的，总存在实数，使得成立，则等价转化为，‎ 当时，不满足条件；‎ 当时，，又，则，即，‎ 满足，即符合题意；‎ 当时，函数的对称轴为，则在上为增函数，‎ 则的最小值为，‎ 要使，则，即.‎ 综上，即实数的取值范围是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的值域，结合条件转化为两个函数值域的子集关系是解决本题的关键，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用指数，对数运算法则求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎14．已知函数,分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将方程中的换成，然后利用奇偶性可得另一个方程，联立解得即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵,分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，‎ ‎∴，即，‎ 两式相减可得，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的应用，考查利用方程组的方法求函数解析式，属于基础题.‎ ‎15．若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，对分类讨论，进而求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意，令，因在区间上为单调递增，则在区间为减函数，且，‎ 当时，不符合题意舍去；‎ 当时，为减函数，但由得不符合题意，故舍去；‎ 当时，为开口向上，对称轴为的抛物线，‎ 所以，由题意可得，且，‎ 解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题 ‎16．已知函数,有以下结论:①任意,等式恒成立;②任意,方程有两个不等实数根;③存在无数个实数,使得函数在上有3个零点;④函数在区间上单调递增.其中正确结论有______.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】①根据函数奇偶性的定义判断函数是奇函数即可；②判断函数的奇偶性和最值即可判断；③根据函数图象以及函数奇偶性的性质进行判断；④根据图象即可判断.‎ ‎【详解】‎ ‎①∵，，‎ ‎∴，，‎ 即函数为奇函数，故恒成立，即①正确；‎ ‎②∵，为奇函数，‎ ‎∴为偶函数，‎ ‎∴当时，方程只有一个实根，‎ 当时，方程有两个不等实根，‎ 即②错误；‎ ‎③由，即，‎ ‎∴，即是函数的一个零点，‎ 又∵函数为奇函数，且在上单调递减，‎ ‎∴可以存在无数个实数，使得函数在上有3个零点，‎ 如图： ‎ 故③正确；‎ ‎④根据③中的图象知，函数在区间上单调递减，故④错误.‎ 故答案为：①③.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分式函数的性质，利用函数奇偶性，单调性以及数形结合是解决本题的关键，综合性强，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知全集,,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若且,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)或 ;(2).‎ ‎【解析】（1）求得，再利用补集和交集的定义即可；‎ ‎（2）)由得,再对集合分和且，讨论即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意可得,,‎ ‎∴或 ,‎ ‎∴或 .‎ ‎(2)由得,‎ 当时,∴,∴,‎ 当且时,,‎ 所以的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的定义与运算问题，属于基础题.‎ ‎18．某市公交公司为了鼓励广大市民绿色出行,计划在某个地段增设一个起点站,为了研究车辆发车的间隔时间与乘客等候人数之间的关系,经过抽样调查五个不同时段的情形,统计得到如下数据:‎ 间隔时间(分钟)‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎14‎ ‎16‎ 等候人数(人)‎ ‎16‎ ‎19‎ ‎23‎ ‎26‎ ‎29‎ 调查小组先从这5组数据中选取其中的4组数据求得线性回归方程,再用剩下的1组数据进行检验,检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求与实际等候人数的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求的回归方程是“理想回归方程”.‎ ‎(1)若选取的是前4组数据,求关于的线性回归方程,并判断所求方程是否是“理想回归方程”;‎ ‎(2)为了使等候的乘客不超过38人,试用所求方程估计间隔时间最多可以设为多少分钟?‎ 参考公式:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式:‎ ‎,.‎ ‎【答案】(1),是;(2)21分钟.‎ ‎【解析】（1）由题意可得与的值，进而可得线性回归方程，再利用，得到的值，与题中给出的值作差，与1比较大小得结论；‎ ‎（2）结合（1）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴.‎ ‎∴,∴.‎ 当时,,,‎ 所以方程是“理想回归方程”.‎ ‎(2)由,得.‎ ‎∴估计间隔时间最多可以设置为21分钟.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程的计算及其应用，属于基础题.‎ ‎19．已知函数的定义域为,且对一切,都有,当时,.‎ ‎(1)判断的单调性并加以证明;‎ ‎(2)若,解不等式.‎ ‎【答案】(1)在上为增函数,证明见解析;(2).‎ ‎【解析】（1）利用定义即可证明在上为增函数；‎ ‎（2）由题意可得，进而将不等式转化为，再利用（1）解得即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)在上为增函数,‎ 证明如下:任取,且,‎ 则.‎ 又因为当时,,而,‎ 所以,所以,‎ 所以在上为增函数.‎ ‎(2)由定义域可得,解得,‎ 由已知可得,‎ 所以,,‎ 所求不等式可转化为.‎ 由单调性可得,解得,‎ 综上,不等式解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数奇偶性的判定以及应用问题，考查抽象函数解不等式问题，属于基础题.‎ ‎20．某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:‎ ‎(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;‎ ‎(2)学校从参加调查的年龄在和的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.‎ ‎【答案】(1)60,;(2).‎ ‎【解析】（1）直接利用频率分布直方图求得平均数和中位数即可；‎ ‎（2）利用分层抽样可得6人中年龄在内有2人，设为、，在内有4人,设为1,2,3,4，写出基本事件，利用古典概型即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)这100位留言者年龄的样本平均数,‎ ‎,‎ 年龄在中的频率为:,‎ 年龄在中的频率为:,‎ 中位数在区间中,‎ 中位数为.‎ ‎(2)根据分层抽样原理,可知这6人中年龄在内有2人,设为､,‎ 在内有4人,设为1､2､3､4.‎ 设事件为“这3位发言者所得纪念品价值超过2300元”.‎ 从这6人中选3人的所有基本事件有:､､､､､､､､､､､､､､､､123､124､134､234,共20个.‎ 其中事件的对立事件即3个人都是年龄内,‎ 包含的有123､124､134､234,共4个.‎ ‎(写出事件的基本事件个数也可以)‎ 所以.,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平均数、中位数，古典概型，在解题过程中要求学生算数要准确，频率分布直方图不要混淆各组数据的值，属于基础题.‎ ‎21．设二次函数在区间上的最大值、最小值分别为，集合.‎ ‎（1）若，且，求；‎ ‎（2）若，且，记，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）先求得；若，，则说明两根为1，2．利用韦达定理求，，再利用二次函数图象与性质求解;（2）若，得到方程有两个相等的解都为2，根据韦达定理求出，，的关系式，根据大于等于1，利用二次函数求最值的方法求出在，上的和，代入（）中得到新的解析式（）根据（）的在，上单调增，求出（）的最小值为（1），求出值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎，，有两根为1，2．‎ 由韦达定理得 ‎（2）若，方程有两相等实根，‎ 根据韦达定理得到，，所以，，‎ ‎，，‎ 其对称轴方程为 ‎，‎ 则（）‎ 又（）在区间，上为单调递增的，‎ 当时，（）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查学生灵活运用韦达定理解决实际问题，掌握利用数形结合法解决数学问题，会求一个闭区间上二次函数的最值．‎ ‎22．已知函数是偶函数.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)设函数,对于任意的,,其中,都有,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】（1）根据题意，由偶函数的性质可得，即，变形分析可得答案；‎ ‎（2）根据题意可得，由题意可将不等式转化为，令，进而转化为解不等式，由此即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由为偶函数，则，又,‎ 所以,‎ 即,解得.‎ ‎（2）由（1）可得，，则 ‎,‎ 对于任意的,都有,‎ 所以时,,‎ 令,则,,因为单调递增,‎ 所以,‎ 所以,解得.‎ 又因为,实数的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的性质，不等式恒成立的转化，解一元二次不等式，属于中档题.‎