高考数学专题复习：课时达标检测(五十三) 统计案例

高考数学专题复习：课时达标检测(五十三) 统计案例

课时达标检测(五十三) 统计案例 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)‎ A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(，)‎ C．若该大学某女生身高增加‎1 cm，则其体重约增加‎0.85 kg D．若该大学某女生身高为‎170 cm，则可断定其体重必为‎58.79 kg 解析：选D　由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确．又线性回归方程必过样本点的中心(，)，故B正确．由线性回归方程中系数的意义知，x每增加‎1 cm，其体重约增加‎0.85 kg，故C正确．当某女生的身高为‎170 cm时，其体重估计值是‎58.79 kg，而不是具体值，因此D不正确．‎ ‎2．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n＝1 000)，利用2×2列联表和 K2统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计算得K2＝4.453，经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是(　　)‎ A．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病 B．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病 C．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”‎ D．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”‎ 解析：选C　由已知数据可得有1－0.05＝95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”．‎ ‎3．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎58‎ 根据上表可得回归方程＝x＋中的＝10.6，据此模型预测广告费用为10万元时销售额为(　　)‎ A．112.1万元 B．113.1万元 C．111.9万元 D．113.9万元 解析：选C　由题意知＝＝3.5，＝＝43，将(，)代入 ‎＝10.6x＋中得43＝10.6×3.5＋，解得＝5.9，所以＝10.6x＋5.9，当x＝10时，＝111.9.‎ ‎4．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其回归直线方程是＝x＋a，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数a的值为________．‎ 解析：依题意可知样本点的中心为，则＝×＋a，解得a＝.‎ 答案： ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x(单位：元)和销售量y(单位：件)之间的四组数据如下表：‎ 售价x ‎4‎ ‎4.5‎ ‎5.5‎ ‎6‎ 销售量y ‎12‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎9‎ 为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程为＝－1.4x＋，那么方程中的值为(　　)‎ A．17 B．17.5 ‎ C．18 D．18.5‎ 解析：选B　＝＝5，＝＝10.5，∵回归直线过样本点的中心(，)，代入线性回归方程＝－1.4x＋，得＝10.5＋1.4×5＝17.5.故选B.‎ ‎2．已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(　　)‎ A．x与y正相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关 解析：选C　因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝y＋，>0，则z＝y＋＝－0.1x＋＋，故x与z负相关．‎ ‎3．根据如下样本数据：‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ y ‎4.0‎ a－5.4‎ ‎－0.5‎ ‎0.5‎ b－0.6‎ 得到的回归直线方程为＝x＋.若样本点的中心为(5，0.9)，则当x每增加1个单位时，y就(　　)‎ A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位 C．增加7.9个单位 D．减少7.9个单位 解析：选B　依题意得，＝0.9，故＋＝6.5①，又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5＋②，联立①②，解得＝－1.4，＝7.9，则＝－1.4x＋7.9，可知当x每增加1个单位时，y就减少1.4个单位．‎ ‎4．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为(　　)‎ A．66% B．67% ‎ C．79% D．84%‎ 解析：选D　因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程＝0.6x＋1.2，该城市居民人均工资为x＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平y＝0.6×5＋1.2＝4.2，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为＝84%.‎ ‎5．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：‎ 做不到“光盘”‎ 能做到“光盘”‎ 男 ‎45‎ ‎10‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ 则下面的正确结论是(　　)‎ 附表及公式 P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2＝ A．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ 解析：选A　由2×2列联表得到a＝45，b＝10，c＝30，d＝15，则a＋b＝55，c＋d＝45，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100，计算得K2的观测值k＝＝≈3.030.因为2.706<3.030<3.841，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．‎ ‎6．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入x(万元)‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出y(万元)‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎8.0‎ ‎8.5‎ ‎9.8‎ 根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)‎ A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 解析：选B　由题中数据可得，＝10.0，＝8.0，又＝0.76，所以＝－＝8－0.76×10＝0.4，所以回归方程为＝0.76x＋0.4，把x＝15代入上式得，＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．‎ 二、填空题 ‎7．经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的回归直线方程：＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．‎ 解析：x变为x＋1，＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．‎ 答案：0.245‎ ‎8．某单位为了了解用电量y千瓦·时与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.‎ 气温/℃‎ ‎14‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 用电量/(千瓦·时)‎ ‎22‎ ‎26‎ ‎34‎ ‎38‎ 由表中数据得线性方程＝x＋中＝－2，据此预测当气温为‎5 ℃‎ 时，用电量的千瓦·时数约为________．‎ 解析：因为回归直线经过样本点的中心，故由已知数表可得＝10，＝30，即(10,30)在回归直线上，代入方程可得＝50，即回归直线方程为＝50－2x，故可预测当气温为‎5 ℃‎时，用电量的度数约为50－2×5＝40.‎ 答案：40‎ ‎9．某工厂为了调查工人文化程度与月收入之间的关系，随机调查了部分工人，得到如下表所示的2×2列联表(单位：人)：‎ 月收入2 000元以下 月收入2 000元及以上 总计 高中文化以上 ‎10‎ ‎45‎ ‎55‎ 高中文化及以下 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎30‎ ‎75‎ ‎105‎ 由2×2列联表计算可知，我们有________以上的把握认为“文化程度与月收入有关系”．‎ 附：K2＝ P(K2‎>k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 解析：由表中的数据可得K2＝≈6.109，由于6.109>5.024，所以我们有97.5%以上的把握认为“文化程度与月收入有关系”．‎ 答案：97.5%‎ ‎10．某炼钢厂废品率x(%)与成本y(元/吨)的线性回归方程为＝105.492＋42.569x.当成本控制在176.5元/吨时，可以预计生产的1 000吨钢中，约有________吨钢是废品(结果保留两位小数)．‎ 解析：因为176.5＝105.492＋42.569x，解得x≈1.668，即当成本控制在176.5元/吨时，废品率约为1.668%，所以生产的1 000吨钢中，约有1 000×1.668%＝16.68吨是废品．‎ 答案：16.68‎ 三、解答题 ‎11．某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)．‎ ‎(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：‎ 主食蔬菜 主食肉类 总计 ‎50岁以下 ‎50岁以上 总计 ‎(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析．‎ 解：(1)2×2列联表如下：‎ 主食蔬菜 主食肉类 总计 ‎50岁以下 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎50岁以上 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 总计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎(2)因为K2＝＝10>6.635，‎ 所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.‎ ‎12.(2017·合肥模拟)某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x个月)和市场占有率(y%)的几组相关对应数据：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎0.02‎ ‎0.05‎ ‎0.1‎ ‎0.15‎ ‎0.18‎ ‎(1)根据上表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎(2)根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月)．‎ 附：＝，＝－.‎ 解：(1)由题意知＝3，＝0.1，iyi＝1.92，＝55，‎ 所以＝＝＝0.042，‎ ＝－＝0.1－0.042×3＝－0.026，‎ 所以线性回归方程为＝0.042x－0.026.‎ ‎(2)由(1)中的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，‎ 即上市时间每增加1个月，市场占有率约增加0.042个百分点．‎ 由＝0.042x－0.026>0.5，‎ 解得x≥13，‎ 故预计上市13个月时，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.‎