2021高考数学一轮复习课时作业38数学归纳法理

2021高考数学一轮复习课时作业38数学归纳法理

课时作业38　数学归纳法 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；‎ n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；‎ n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．‎ ‎∴n的第一个取值应是3.‎ 答案：C ‎2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)‎ A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N*)‎ B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N*)‎ C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N*)‎ D．假使n＝k时正确，再推n＝k＋2时正确(其中k∈N*)‎ 解析：因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，即假设n＝2k－1时正确，再推第k＋1个正奇数，即n＝2k＋1时正确．‎ 答案：B ‎ ‎3．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变成“n＝k＋‎1”‎时，左边应增乘的因式是(　　)‎ A．2k＋1 B．2(2k＋1)‎ C. D. 解析：当n＝k(k∈N*)时，‎ 左式为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)；‎ 当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，‎ 则左式应增乘的式子是＝2(2k＋1)．‎ 答案：B ‎4．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋‎ 4‎ d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝(　　)‎ A．a1＋(k－1)d B. C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d 解析：假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.‎ 答案：C ‎5．凸n边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的角数f(n＋1)为(　　)‎ A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2‎ 解析：边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．‎ 答案：C 二、填空题 ‎6．用数学归纳法证明＋＋…＋>(n>1且n∈N*)时，第一步要证明的不等式是________．‎ 解析：∵n>1，∴第一步应证明当n＝2时不等式成立，即＋＋＋>.‎ 答案：＋＋＋> ‎7．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．‎ 解析：观察不等式左边的分母可知，由n＝k到n＝k＋1左边多出了这一项．‎ 答案：＋＋…＋＋>－ ‎8．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.‎ 解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.‎ 答案：5‎ 三、解答题 4‎ ‎9．证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．‎ 证明：①当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，等式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时等式成立．‎ 即1－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，‎ 左边＝1－＋…＋－＋－ ‎＝＋＋…＋＋－ ‎＝＋…＋＋＋ ‎＝＋＋…＋＋，‎ ‎∴当n＝k＋1时等式也成立，‎ 由①②知，对一切n∈N*等式都成立．‎ ‎10．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．‎ 证明：(1)当n＝2时，左边＝＋＝>，不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时成立，‎ 即＋＋…＋>.‎ 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋－>＋＋－ ‎＝＋－＝＋>.‎ ‎∴当n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 由(1)(2)可知，对一切n≥2，n∈N*均成立，故原不等式成立．‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．已知数列{an}中，a1＝5，Sn－1＝an(n≥2且n∈N*)．‎ ‎(1)求a2，a3，a4并由此猜想an的表达式．‎ ‎(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．‎ 解析：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝20.‎ 猜想：an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*)‎ 4‎ ‎(2)①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5成立. ‎ ‎②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝5×2k－2(k≥2且k∈N*)‎ 则n＝k＋1时，‎ ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2＝5＋＝5×2k－1.‎ 故当n＝k＋1时，猜想也成立．‎ 由①②可知，对n≥2且n∈N*，‎ 都有an＝5×2n－2，‎ 于是数列{an}的通项公式为 an＝ 4‎