人教新课标A版数学高三高考卷 06普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷

人教新课标A版数学高三高考卷 06普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷

2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科）浙江卷 本试题卷第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。全卷共 4 页，第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页 满分 150 分，考试时间 120 钟 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 第Ⅰ卷（共 50 分） 注意事项： 1. 答第 1 卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2. 每小题选出正确答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号填黑. 叁考正式： 如果事件 A ， B 互斥，那么 P（ A+ B ） = P( A)+ P( B) S= 24 R P( A+ B)= P( A)． P( B) 其中 R 表示球的半径 如果事件 A 在一次试验中发生的概念是 p 球的体积公式 V= 2 3 4 R 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 其中 R 表示球的半径 k 次的概率： knk nn ppCkP  )1()( 4 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合 题目要求的。 （１） 设集合 { | 1A x  ≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则 A∩B= (A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］ （２） 已知  niminmnii m 是虚数单位，则是实数，，，其中11 (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2-I (3)已知 0＜a＜1，log 1 m＜log 1 n＜0，则 (A)1＜n＜m (B) 1＜m＜n (C)m＜n＜1 (D) n＜m＜1 （３） 在平面直角坐标系中，不等式组       2 ,02 ,02 x yx yx 表示的平面区域的面积是 (A) 2 1 (B) 2 3 (C) 8 1 (D) 8 9 （6）函数 y= 2 1 sin2+4sin 2 x,x R 的值域是 (A)［- 2 1 , 2 3 ］ (B)［- 2 3 , 2 1 ］ (C)［ 2 1 2 2,2 1 2 2  ］ (D)［ 2 1 2 2,2 1 2 2  ］ (7)“a＞b＞c”是“ab＜ 2 22 ba  ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件 （8）若多项式  nxnxnxaaxx 则,)1()1()1( 11 10 2 110 112  (A)9 (B)10 (C)-9 (D)-10 （9）如图，O 是半径为 l 的球心，点 A、B、C 在球面上，OA、OB、OC 两两垂直，E、F 分别是 大圆弧 AB 与 AC 的中点，则点 E、F 在该球面上的球面距离是 (A) 4  (B) 3  (C) 2  (D) 4 2 （10）函数 f:|1,2,3| |1,2,3|满足 f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有 (A)1 个 (B)4 个 (C)8 个 (D)10 个 第Ⅱ卷（共 100 分） 注意事项： 1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2. 在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 （11）设 S n 为等差数列 a,的前 n 项和，若 S n -10, S n =-5,则公差为 （用数字作答）. （12）对 a,bR,记 max|a,b|=     bab baa ＜, , 函数 f（x）＝max||x+1|,|x-2||(xR)的最小值是 . （13）设向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若｜a｜=1,则｜a｜ 22 || b +｜c｜ 2 的值是 （14）正四面体 ABCD 的棱长为 1，棱 AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构 成的图形面积的取值范围是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，每小题 14 分，共 84 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15）如图，函数 y=2sin(πxφ),x∈R,(其中 0≤φ≤ 2  )的图象与 y 轴交于点（0，1）. (Ⅰ)求φ的值； (Ⅱ)设 P 是图象上的最高点，M、N 是图象与 x 轴的交点，求 .的夹角与PNPM （16）设 f(x)=3ax 0.2  cbacbxb 若 ,f(0)＞0，f(1)＞0，求证： (Ⅰ)a＞0 且-2＜ b a ＜-1； (Ⅱ)方程 f(x)=0 在（0，1）内有两个实根. （17）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面 ABCD，且 PA ＝AD=AB=2BC,M、N 分别为 PC、PB 的中点. (Ⅰ)求证：PB⊥DM; (Ⅱ)求 CD 与平面 ADMN 所成的角 （18）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有 2 个红球，2 个白球；乙袋装有 2 个红球，n 个白球.两甲，乙两袋中各任取 2 个球. (Ⅰ)若 n=3，求取到的 4 个球全是红球的概率； (Ⅱ)若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率为 4 3 ，求 n. （19）如图，椭圆 b y a x 2 2 2  ＝1（a＞b＞0）与过点 A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T， 且椭圆的离心率 e= 2 3 . (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设 F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段 AF 1 的中点，求证：∠ATM=∠AF 1 T. (20)已知函数 f(x)=x 3 + x 3 ，数列｜x n ｜(x n ＞0)的第一项 x n ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线 x=f(x) 在 ))(,( 11  nn xfx 处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图） . 求证：当 n *N 时， (Ⅰ)x ;23 1 2 1 2   nnnn xxx （Ⅱ） 21 )2 1()2 1(   n n n x 数学试题（理科）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。 （1）A （2）C （3）A （4）B （5）C （6）C （7）A （8）D （9）B （10）D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 16 分。 （11）-1 （12） 3 2 （13）4 （14） 2 1[ , ]4 2 （１） 设集合 { | 1A x  ≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则 A∩B=A (A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］ 【考点分析】本题考查集合的运算，基础题。 解析：  2,0BA  ，故选择 A。 【名师点拔】集合是一个重要的数学语言，注意数形结合。 （２） 已知  niminmnii m 是虚数单位，则是实数，，，其中11 C (A) i21 (B) i21 (C) i2 (D) i2 【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。 解析：    innmnii m  1111 ，由 m 、 n 是实数，得      mn n 1 01 ∴ inimm n       22 1 ，故选择 C。 【名师点拔】一个复数为实数的充要条件是虚部为 0。 (3)已知 0loglog,10  nma aa ，则 A (A)1＜n＜m (B) 1＜m＜n (C)m＜n＜1 (D) n＜m＜1 【考点分析】本题考查对数函数的性质，基础题。 解析：由 10  a 知函数   xxf alog 为减函数，由 0loglog  nm aa 得 1 nm ，故选择 A。 （4）在平面直角坐标系中，不等式组       2 ,02 ,02 x yx yx 表示的平面区域的面积是 B (A) 24 (B)4 (C) 22 (D)2 【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积。 解析：由题知可行域为 ABC ， 42 204 ABCS ，故选择 B。 【名师点拔】 （5）若双曲线 12 2  ym x 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 3 1 ，则 m C (A) 2 1 (B) 2 3 (C) 8 1 (D) 8 9 【考点分析】本题考查双曲线的第二定义，基础题。 解析：由题离心率 m me 1 ，由双曲线的第二定义知  4,2A  0,2B  2,0C 2x 8 11931  mmmm me ，故选择 C。 【名师点拔】本题在条件中有意识的将双曲线第二定义“到左焦点距离与到左准线的距离是定值 e ”中比的 前后项颠倒为“到左准线的距离是到左焦点距离的 3 1 ”，如本题改为填空题，没有了选择支的提示，则难度 加大。 （6）函数 Rxxxy  ,sin2sin2 1 2 的值域是 C (A)［- 2 1 , 2 3 ］ (B)［- 2 3 , 2 1 ］ (C)［ 2 1 2 2,2 1 2 2  ］ (D)［ 2 1 2 2,2 1 2 2  ］ 【考点分析】本题考查三角函数的性质，基础题。 解析： 2 1 42sin2 2 2 12cos2 12sin2 1sin2sin2 1 2       xxxxxy ，故选择 C。 【名师点拔】本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为   bxAy  sin 或   bxAy  cos 的模式。 (7)“ 0 ba ”是“ 2 22 baab  ”的 A (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件 【考点分析】本题考查平方不等式和充要条件，基础题。 解析：由 0 ba 能推出 2 22 baab  ；但反之不然，因此平方不等式的条件是 Rba , 。 【名师点拔】 （8）若多项式  9 10 10 2 910 102 ,)1()1()1( axaxaxaaxx 则 D (A)9 (B)10 (C)－9 (D)－10 【考点分析】本题考查二项式展开式的特殊值法，基础题。 解析：令 2x ，得 102 109210 22  aaaaa  ， 令 0x ，得 0109210  aaaaa  （9）如图，O 是半径为 l 的球心，点 A、B、C 在球面上，OA、OB、 OC 两两垂 直，E、F 分别是大圆弧 AB 与 AC 的中点，则点 E、F 在该球面上 的球面距离 是 B (A) 4  (B) 3  (C) 2  (D) 4 2 【考点分析】本题考查球面距的计算，基础题。 解析：如图， 2,2 2 4sin1   EGFFGEG ∴ OFOEFGEGEF  122 ∴ 3 EOF ，∴点 E、F 在该球面上的球面距离为 313   故选择 B。 【名师点拔】两点球面距的计算是立体几何的一个难点，其通法的关键是求出两点的球面角，而求球面角又 需用余弦定理。 （10）函数    3,2,13,2,1: f 满足     xfxff  ，则这样的函数个数共有 D (A)1 个 (B)4 个 (C)8 个 (D)10 个 【考点分析】本题考查抽象函数的定义，中档题。 G 解析：     xfxff  即   xxf  （11）设 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，若 5,10 105  SS ,则公差为 －1 （用数字作答）。 【考点分析】本题考查等差数列的前 n 项和，基础题。 解析：设首项为 1a ，公差为 d ，由题得 14149192 22 54510 10105 1 1 1 1            dddda da da da 【名师点拔】数学问题解决的本质是，你已知什么？从已知出发又能得出什么？完成了这些，也许水到渠成 了。本题非常基础，等差数列的前 n 项和公式的运用自然而然的就得出结论。 （12）对 Rba , ,记       bab baaba ＜, ,,max 函数     Rxxxxf  2,1max 的最小值是 2 3 . 【考点分析】本题考查新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题。 解析：由     2 12121 22  xxxxx ，故                      2 12 2 11 xx xx xf ，其图象如右， 则   2 312 1 2 1 min      fxf 。 【名师点拔】数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养。 （13）设向量 cba ,, 满足   bacbacba  ,,0 b,若 1a ,则 222 cba  的值是 4 。 【考点分析】本题考查向量的代数运算，基础题。 解析：                            1 0 0 0 0 , ba ba cbca baba ba cbcacba bacba   2 22  bac 4 222  cba 【名师点拔】向量的模转化为向量的平方，这是一个重要的向量解决思想。 （14）正四面体 ABCD 的棱长为 1，棱 AB∥平面α，则正四面体上的所 1 xy2 xy 有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是       2 1,4 2 . 三、解答题 （15）本题主要考查三角函数的图像，已知三角函数求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算 能力。满分 14 分。 解：（I）因为函数图像过点 (0,1) ， 所以 2sin 1,  即 1sin .2   因为 0 2   ，所以 6   . （II）由函数 2sin( )6y x   及其图像，得 1 1 5( ,0), ( , 2), ( ,0),6 3 6M P N  所以 1 1( ,2), ( , 2),2 2PM PN     从而 cos , | | | | PM PNPM PN PM PN         15 17  ， 故 ,PM PN   15arccos17 . （16）本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。满分 14 分。 证明：（I）因为 (0) 0, (1) 0f f  ， 所以 0,3 2 0c a b c    . 由条件 0a b c   ，消去b ，得 0a c  ； 由条件 0a b c   ，消去 c ，得 0a b  ， 2 0a b  . 故 2 1b a     . （II）抛物线 2( ) 3 2f x ax bx c   的顶点坐标为 23( , )3 3 b ac b a a  ， 在 2 1b a     的两边乘以 1 3  ，得 1 2 3 3 3 b a    . 又因为 (0) 0, (1) 0,f f  而 2 2 ( ) 0,3 3 b a c acf a a      所以方程 ( ) 0f x  在区间 (0, )3 b a  与 ( ,1)3 b a  内分别有一实根。 故方程 ( ) 0f x  在 (0,1) 内有两个实根. （17）本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能 力。满分 14 分。 解：方法一： （I）因为 N 是 PB 的中点， PA PB ， 所以 AN PB . 因为 AD  平面 PAB ，所以 AD PB ， 从而 PB  平面 ADMN . 因为 DM  平面 ADMN ， 所以 PB DM . （II）取 AD 的中点G ，连结 BG 、 NG ， 则 //BG CD ， 所以 BG 与平面 ADMN 所成的角和 CD 与平面 ADMN 所成的角相等. 因为 PB  平面 ADMN ， 所以 BGN 是 BG 与平面 ADMN 所成的角. 在 Rt BGN 中， 10sin 5 BNBNG BG    . 故CD 与平面 ADMN 所成的角是 10arcsin 5 . 方法二： 如图，以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A xyz ，设 1BC  ，则 1(0,0,0), (0,0,2), (2,0,0), (2,1,0), (1, ,1), ( 0,2,0)2A P B C M D . （I） 因为 3(2,0, 2) (1, ,1)2PB DM      0 ， 所以 .PB DM （II） 因为 (2,0, 2) (0,2,0)PB AD     0 ， 所以 PB AD ， 又因为 PB DM ， 所以 PB  平面 .ADMN 因此 ,PB DC   的余角即是CD 与平面 ADMN 所成的角. 因为 cos , | | | | PB DCPB DC PB DC         10 5  ， 所以CD 与平面 ADMN 所成的角为 10arcsin 5 . （18）本题主要考察排列组合、概率等基本知识，同时考察逻辑思维能力和数学应用能力。满分 14 分。 解：（I）记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A . 2 2 2 2 2 2 4 5 1 1 1( ) .6 10 60 C CP A C C      （II）记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B ，“取到的 4 个球只有 1 个红球”为事件 1B ，“取 到的 4 个球全是白球”为事件 2B . 由题意，得 3 1( ) 1 .4 4P B    2 1 11 1 2 22 2 2 1 2 2 2 2 4 2 4 2 ( ) n n n n C C CC C CP B C C C C      22 ;3( 2)( 1) n n n    22 2 2 2 2 4 2 ( ) n n CCP B C C    ( 1) ;6( 2)( 1) n n n n    所以 1 2( ) ( ) ( )P B P B P B  22 ( 1) 3( 2)( 1) 6( 2)( 1) n n n n n n n      1 4  ， 化简，得 27 11 6 0,n n   解得 2n  ，或 3 7n   （舍去）， 故 2n  . （19）本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和 综合解题能力。满分 14 分。 解：（I）过点 A 、 B 的直线方程为 1.2 x y  2 2 2 2 1,x y a b   因为由题意得 有惟一解， 1 12y x   即 2 2 2 2 2 2 2 21( ) 04b a x a x a a b     有惟一解， 所以 2 2 2 2( 4 4) 0a b a b     （ 0ab  ）， 故 2 24 4 0.a b   又因为 3 ,2e  即 2 2 2 3 ,4 a b a   所以 2 24 .a b 从而得 2 2 12, ,2a b  故所求的椭圆方程为 2 22 1.2 x y  （II）由（I）得 6 ,2c  故 1 2 6 6( ,0), ( ,0),2 2F F 从而 6(1 ,0).4M  2 22 1,2 x y  由 1 12y x   解得 1 2 1,x x  所以 1(1, ).2T 因为 1 6tan 1,2AFT   又 1tan ,2TAM  2 2tan , 6 TMF  得 2 1 26tan 11 6 ATM     6 1,2   因此 1 .ATM AFT   （20）本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理 能力。满分 14 分。 证明：（I）因为 ' 2( ) 3 2 ,f x x x  所以曲线 ( )y f x 在 1 1( , ( ))n nx f x  处的切线斜率 1 2 1 13 2 .nn nk x x   因为过 (0,0) 和 ( , ( ))n nx f x 两点的直线斜率是 2 ,n nx x 所以 2 2 1 13 2n n n nx x x x    . （II）因为函数 2( )h x x x  当 0x  时单调递增， 而 2 2 1 13 2n n n nx x x x    2 1 14 2n nx x   2 1 1(2 ) 2n nx x   ， 所以 12n nx x  ，即 1 1 ,2 n n x x   因此 11 2 1 2 1 1( ) .2 nn n n n n x x xx x x x        又因为 1 2 2 12( ),nn n nx x x x    令 2 ,n n ny x x  则 1 1 .2 n n y y   因为 2 1 1 1 2,y x x   所以 1 2 1 1 1( ) ( ) .2 2 n n ny y    因此 2 21( ) ,2 n n n nx x x    故 1 21 1( ) ( ) .2 2 n n nx  