2013-2017高考数学分类汇编-文科 第四章 三角函数 第3节 三角恒等变换

2013-2017高考数学分类汇编-文科 第四章 三角函数 第3节 三角恒等变换

第四章 三角函数 第 3 节 三角恒等变换 题型 55 两角和与差公式的证明 1.（2015 陕西文）“sin cos  ”是“ cos2 0  ”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 1.解析 当sin cos  时，   2 2cos2 cos sin cos sin cos sin 0            ， 即sin cos cos2 0     ； 当 cos2 0  时，有  cos sin cos sin 0      ，所以 cos sin 0   或 cos sin 0   .即cos2 0  不能推出sin cos  .故选 A. 命题意图 考查三角函数恒等变形以及命题相关. 题型 56 化简求值 1.（2014 陕西文 13）设 π0 2   ，向量    sin2 cos 1 cos   ， ， ，-a b ， 若 0 a b ，则 tan _______. 2.（2014 江苏 15）已知 ,2       ， 5sin 5   ． （1）求sin 4     的值； （2）求 cos 26     的值． 3.（2014 天津文 16）（本小题满分 13 分） 在 ABC△ 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 cba ,, ，已知 bca 6 6 ， CB sin6sin  . (1)求 Acos 的值； (2)求 πcos 2 6A   的值. 4.（2015 重庆文）若 1tan 3   ， 1tan( ) 2    ，则 tan   （ ）. A. 1 7 B. 1 6 C. 5 7 D. 5 6 4.解析 由两角差的正切公式知       tan tan 1tan tan 1 tan tan 7                    . 故选 A. 5.（2015 四川文）已知sin 2cos 0   ，则 22sin cos cos   的值是__________. 5.解析 由题意可得 tan 2   ， 2 2 2 2 2 2sin cos cos 2tan 1 4 12sin cos cos 1sin cos tan 1 4 1                     6.（2015 江苏文）已知 tan 2   ，   1tan 7    ，则 tan  的值为 ． 6.解析 解法一：  tan tan          tan tan 1 tan tan            1 27 321 7     ． 解法二：   tan tantan 1 tan tan          2 tan 1 1 2tan 7      ，故 tan 3  ． 解法三：  tantan          tan tan 1 tan tan            1 tan7 211 tan7        ， 故 tan 3  ． 7.（2015 江苏）设向量 cos ,sin cos6 6 6k k k k       a  0,1,2, ,12k  … ，则   11 +1 0 k k k  a a 的值为 ． 7.解析 解法一（强制法）：由题意得    0 cos0,sin0 cos0 1,1  a ， 1 3 3 1,2 2       a ， 2 1 3 1,2 2       a ，  3 0,1a ， 4 1 3 1,2 2       a ， 5 3 3 1,2 2        a ，  6 1, 1  a ， 7 3 3 1,2 2        a ， 8 1 3 1,2 2        a ，  9 0, 1 a ， 10 1 3 1,2 2        a ， 11 3 3 1,2 2       a ，  12 1,1a . 从而  11 +1 0 3 3 1 1 3 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2k k k                        a a 3 1 3 1 2 2               1 3 3 1 3 1 3 3 1 2 2 2 2 2 2                       3 3 1 2 2      1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2                               1 3 3 1 3 1 3 3 1 2 2 2 2 2 2                     9 3 （恰当整理化简即可）. 解法二（部分规律法）：由题意 6 cos ,sin cos6 6 6k k k k                                a cos ,sin cos6 6 6 k k k k         a ，从而 6 7 1k k k k  a a a a ， 即 1k ka a 的结果呈现以 6T  为周期的变化， 故   11 +1 0 k k k  a a  0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 62   a a +aa a a a a +a a +a a 9 3 . 解法三（通用规律法）：由题意得：       1 1 1 1cos ,sin cos cos ,sin cos6 6 6 6 6 6k k k k kk k k                    a a      1 1 1cos cos sin cos sin cos6 6 6 6 6 6 k k kk k k                      1 1 1cos cos cos cos sin sin6 6 6 6 6 6 k k kk k k                 1 1sin cos cos sin6 6 6 6 k kk k             1 1 1 1cos cos cos sin cos cos sin6 6 6 6 6 6 6 6 k k k kk k k k                        1 1 1cos cos sin sin cos cos6 6 6 6 6 6 k k kk k               3 1 3 1cos cos sin sin cos6 2 6 2 6 2 6 2 6 k k k k k            3 1 3sin cos sin6 2 6 2 6 2 k k k         2 21 1 3 1 33 sin cos cos 1 cos2 6 6 2 2 6 2 6 2 k k k k                       22 3 1 3 1 3sin 1 cos4 3 2 6 2 2 k k           1 cos2 3 1 3 1 33sin 14 3 2 2 2 2 k k            2 3 1 2 3 3 3sin cos4 3 4 3 4 k k     ， sin 3 ky  ， cos 3 ky  的周期为 2 6 3 T   ，在一个周期内其和为 0 ， 故   11 +1 0 3 312 9 34k k k     a a ． 解法四（部分规律法）：       1 1 1 1cos ,sin cos cos ,sin cos6 6 6 6 6 6k k k k kk k k                    a a        1 1 1 1cos cos cos sin cos cos sin6 6 6 6 6 6 6 6 k k k kk k k k                      1 1cos cos cos sin6 6 6 6 6 k kk k              13 cos cos sin2 6 6 3 6 kk k         ． 则    11 11 11 11 +1 0 0 0 0 13 cos cos sin2 6 6 3 6k k k k k k kk k                  a a ， 设  1cos cos6 6n nnb   ， 由诱导公式     3 3 4cos cos6 6n n nb       1sin sin6 6 nn   ， 故     3 1 1sin sin cos cos6 6 6 6n n n nn nb b        3cos 6 2   ， 从而分组求和  11 0 1 3cos cos 6 3 36 6 2k kk       ． 设 sin 3 6n nc       ，由诱导公式   3 3sin sin3 6 3 6n n n nc c                  ， 故 3 0n nc c   ，从而分组求和 11 0 sin 03 6k k        ． 又 11 0 3 312 6 32 2k    ，从而   11 +1 0 9 3k k k   a a ． 评注 解法一、二虽然足够复杂，但只要罗列清楚并逐步解决，就会发现其实比较简单，从 一般法角度进行解决思路难寻，便可以从具体值的角度思考，这给了江苏考区的大部分普通 考生以希望． 解法三侧重对三角公式的化简，侧重从一般的角度找到问题的突破口．但解法三中化化简  1cos cos6 6 kk   使用积化和差简化过程，即  1cos cos =6 6 kk    2 1cos +cos6 6 2 k    ，但 高中阶段该公式已不要求掌握，因此此题顺利化简确实也比较麻烦． 解法四在解法三的基础之上进行了优化，不化到最简形式也可解决问题． 也有学生考虑构造 cos ,sin cos6 6 6k k k k        a cos ,sin +6 6 k k      0,cos 6 k     +k kb c ，则 kb 和 +1kb 都是单位向量且夹角为 6  ，即 +1 3 2k k b b ． 8.（2015 广东文）已知 tan 2  ． （1）求 πtan 4     的值； （2）求 2 sin 2 sin sin cos cos 2 1        的值． 8.解析 （1） πtan tanπ tan 1 2 14tan 3π4 1 tan 1 21 tan tan 4                  . （2） 2 sin 2 sin sin cos cos 2 1         2 2 2sin cos sin sin cos 2cos 1 1             2 2 2sin cos sin sin cos 2 cos        2 2 tan tan tan 2      2 2 2 2 2 2    1 . 9.（2017 全国 3 文 4）已知 4sin cos 3    ，则 sin 2 =（ ）. A． 7 9  B． 2 9  C． 2 9 D． 7 9 9.解析 2 16 16 7(sin cos ) 1 2sin cos 1 sin 2 sin 2 19 9 9               ， . 故选 A. 评注 考点为三角函数的恒等变换，有一定难度，关键在于对正弦二倍角公式的运用.失分 的原因在于解题的思路是否清晰以及计算错误. 10.（2017 山东文 4）已知 3cos 4x  ，则 cos2x  （ ）. A. 1 4  B. 1 4 C. 1 8  D. 1 8 10.解析 2 9 1cos 2 2cos 1 2 116 8x x      .故选 D. 11.（2017 全国 1 文 15）已知 π0, 2      ， tan 2  ，则 πcos 4      . 11.解析 由 tan 2 , sin 2 cos   得 .又 2 2sin cos 1   ， 所以 2 1cos 5   . 因为 0, 2      ，所以 5cos 5   ， 2 5sin 5   . 所以 cos cos cos sin sin4 4 4           5 2 2 5 2 3 10 5 2 5 2 10      . 12.（2017 江苏 5）若 π 1tan 4 6      ，则 tan  ． 12.解析 解法一（角的关系）： tan tan 4 4          7tan 1 74 6 5 51 tan 64              ．故 填 7 5 ． 解法二（直接化简）： π tan 1 1tan 4 1 tan 6          ，所以 7tan 5   ．故填 7 5 ． 题型 57 三角函数综合 1.(2013 广东文 16） 已知函数 π( ) 2 cos 12f x x     ， xR ． (1) 求 π 3f      的值； (2) 若 3cos 5   ， 3π,2π2      ，求 π 6f     ． 1.分析 （1）把 π 3x  代入函数解析式，借助特殊角的三角函数值求 π 3f      .（2）由 cos 求出 sin ，利用两角差的余弦公式求 π 6f     . 解析 （1）因为   π2cos 12f x x     ，所以 π π π π2 cos 2 cos3 3 12 4f             22 12    . （2）因为 3π 3,2π ,cos2 5       ，所以 2 2 3 4sin 1 cos 1 5 5              . 所以 π π π π2cos 2cos6 6 12 4f                        2 22 cos sin cos sin2 2             3 4 1 5 5 5     . 2. (2013 湖南文 16 已知函数   πcos cos 3f x x x      . （1）求 2π 3f      的值； （2）求使 1( ) 4f x  成立的 x的取值集合. 2.分析 （1）利用三角恒等变形公式将  f x 变形为只含一个角的一种三角函数形式后求解. （2）根据余弦函数的性质变形为关于自变量 x的不等式求解. 解析 （1） 2π 2π πcos cos3 3 3f       π πcos cos3 3    21 1 2 4        . （2）   πcos cos 3f x x x     1 3cos cos sin2 2x x x        21 3cos sin cos2 2x x x   1 31 cos2 sin24 4x x   1 π 1cos 22 3 4x      .   1 4f x  等价于 1 π 1 1cos 22 3 4 4x      ，即 πcos 2 03x     . 于是 π π 3π2 π 2 2 π ,2 3 2k x k k      Z .解得 5π 11ππ π ,12 12k x k k     Z . 故使   1 4f x  成立的 x的取值集合为 5π 11ππ π ,12 12x k x k k         Z . 3.（2014 江西文 16）（本小题满分 12 分） 已知函数       xxaxf 2coscos2 2 为奇函数，且 04f      ，其中aR，  0 ， . （1）求 ，a 的值； （2）若 2 4 5 2f                ， ， ，求 sin 3      的值. 4. （2014 广东文 16）（12 分）已知函数   πsin ,3f x A x x      R ，且 5π 3 2 12 2f      . （1）求 A 的值； （2）若     3f f    ， π0, 2      ，求 π 6f    . 5.（2014 湖南文 21）（本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) cos sin 1( 0)f x x x x x    . （1）求 ( )f x 的单调区间； （ 2 ） 记 ix 为 ( )f x 的 从 小 到 大 的 第 *( )i iN 个 零 点 ， 求 证 ： 对 一 切 *n  N ， 有 2 2 2 1 2 1 1 1 2 3nx x x     . 6.（2014 辽宁文 21）（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ( cos ) 2 sin 2f x x x x     ， 1 sin 2( ) ( ) 11 sin x xg x x x       . 求证：（1）存在唯一 0 0, 2x     ，使 0( ) 0f x  ； （2）存在唯一 1 ,2x      ，使 1( ) 0g x  ，且对（1）中的 0x ，有 0 1x x . 7.（2014 四川文 17）(本小题满分 12 分) 已知函数   πsin 3 4f x x     . （1）求  f x 的单调递增区间； （2）若 是第二象限角， 4 πcos cos23 5 4f              ，求 cos sin  的值. 8.（2017 全国 1 文 11） ABC△ 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b， c ，已知  sin sin sin cos 0B A C C   ， 2a  ， 2c  ，则C  （ ）. A． π 12 B． π 6 C． π 4 D． π 3 8.解析 由题意sin( ) sin (sin cos ) 0A C A C C    得 sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C    ， 即sin (sin cos ) 2sin sin 04C A A C A        ，所以 3 4A  . 由正弦定理 sin sin a c A C  ，得 2 2 3 sinsin 4 C  ，即 1sin 2C  ，得 6C  .故选 B. 9.（2017 北京文 16）已知函数   3cos 2 2sin cos3f x x x x      . （1）求  f x 的最小正周期； （2）求证：当 ,4 4x       时，   1 2f x … ． 9.解析 (1)   3 cos 2 2 sin cos3f x x x x      3 cos 2 cos sin 2 sin sin 23 3x x x        1 33 cos2 sin 2 sin 22 2x x x        3 3cos2 sin2 sin22 2x x x   3 1cos2 sin22 2x x  sin 2 3x     ，所以 2 2T    ，所以  f x 的最小正周期为π. (2)当 ,4 4x       时， 526 3 6x   „ „ ，令 2 3t x   ，则 5,6 6t       . 因为 ty sin 在 ,6 2      上单调递增，在 5,2 6       上单调递减，所以 1 sin 12 t „ „ ， 所以   1 2f x … .