重庆市外国语学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

重庆市外国语学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 重庆外国语学校 高2022级2019-2020学年（上）半期考试 数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎1.已知集合，则下列关系正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知，集合与集合之间的关系为包含或不包含，故排除A、B，再根据集合A与集合B中元素的关系，即可得出。‎ ‎【详解】由题意得，集合，，‎ 故选：C。‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的包含关系判断。‎ ‎2.已知函数，则（ ）‎ A. B. 8 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数的解析式，由里到外求值即可.‎ ‎【详解】∵函数，‎ ‎∴f（﹣2）＝（﹣2）2＝4，‎ f（f（﹣2））＝f（4）＝24＝16．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法，考查分段函数的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用奇函数的定义以及对数函数、幂函数和指数函数的性质，逐项进行分析，即可得出答案。‎ ‎【详解】A、 由对数函数的性质可知在区间上单调递增，但其定义域不关于原点对称，故不是奇函数，故A排除；‎ B、 由幂函数的性质可知在区间上单调递减，故B排除；‎ C、 由指数函数的性质可知在区间上单调递增，但其图像不关于原点对称，不是奇函数，故C排除；‎ D、 由幂函数的性质可知在区间上单调递增，其定义域关于原点对称且满足，故为奇函数，故D正确。‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及指对幂函数的性质。‎ ‎4.已知函数，则的零点所在的区间为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的解析式判断出函数的单调性，根据所给选项，分别求出各选项所对应区间端点所对应的函数值，再利用函数的零点存在性定理可得函数，则的零点所在的区间。‎ ‎【详解】由题意得，函数是单调递增，‎ 可知，，‎ ‎，‎ 根据零点存在性定理可得，函数，则的零点所在的区间为。‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】本题主要考查根据零点存在性定理判断函数零点所在区间。‎ ‎5.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，令被开方数大于等于零，且分母不为零，对数的真数大于零；列出不等式组，即可求出函数的定义域。‎ ‎【详解】由题意得，要使函数有意义，只需满足 解得 故选：C。‎ ‎【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，解题时主要从以下几个方面入手：（１）分母不为零；（２）偶次根式的被开方数非负；（３）对数中真数大于零；（４）指数、对数的底数大于零，且不等于１等。‎ ‎6.三个数 之间的大小关系是 ( 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数的性质、对数函数的性质确定所在的区间，从而可得结果.‎ ‎【详解】由对数函数的性质可知，‎ 由指数函数的性质可知，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎7.已知函数，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意函数，可构造，可知为奇函数，再根据奇函数的性质，可得，从而可得的值。‎ ‎【详解】由题意得，函数，令 则可知定义域为R且关于原点对称，且满足 为奇函数 即 已知 解得 故选：C。‎ ‎【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数值，解题关键是利用原函数构造新的具有奇偶性的新函数。‎ ‎8.已知函数对任意的，，都有，的图像关于对称、则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意函数对任意的，，都有可得函数在上单调递减，再根据的图像关于对称，将转化为，即可比较出三个函数的大小。‎ ‎【详解】由题意得，函数在上单调递减，且的图像关于对称，可得为偶函数；‎ 故选：D。‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性和对称性的综合应用。‎ ‎9.函数大致图象如图所示，则函数图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目所给图像可得，对数的底数满足，，再根据指数函数的性质即可推得正确答案。‎ ‎【详解】根据图像是递减的，可得，且，即，‎ 可得，根据指数函数的性质，可知函数的图像是单调递减的，且当时，，可知，即。‎ 故选：D。‎ ‎【点睛】本题主要考查根据指数函数对数函数的性质判断函数的图像，考查数形结合思想。‎ ‎10.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵函数f（x）=是R上的增函数，‎ ‎∴，‎ 解得：a∈[4，8），‎ 故选：D．‎ 点睛：本题主要考查函数的单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是指数函数，第二段是一次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函数，要单调递增就需要底数大于1.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边比右边小，这样才能满足在身上单调递增.‎ ‎11.已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式,可知函数为偶函数,结合函数的单调性,解不等式即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】函数,定义域为R 则 所以,即函数为偶函数 当时,为增函数,为增函数 则在时为增函数,在时为减函数 不等式 即满足即可 不等式化简可得 即 解得,即 故选D ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性的综合应用,根据函数性质解不等式,属于基础题.‎ ‎12.已知函数，若存在四个不同实数，，，.使得，其中，则取值范围是（ ）（是自然对数的底数，其值约为）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，画出函数的图像，根据图像得出的值，设，将内的各项用表示出来，结合的取值范围，构造含有的函数，求解函数的值域，即的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 根据题意，结合函数的图像，可知的对称轴为，即关于 对称，，设，易知，即 ‎，可得 又 可得 设 令，，则 又因为“”符合对号函数的形式，所以在上单调递减，在上单调递增，且 所以在上的值域为，即在上的值域为。‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】本题主要考查与函数有关的图像变换及应用问题。‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13.已知幂函数的图象经过点，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，将点代入解析式，即可求得。‎ ‎【详解】由题意得，将点代入解析式，得 解得。‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解。‎ ‎14.若函数，则函数的解析式为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过配凑的方式，将配凑成与相关的形式，整体将用替换即可得到解析式。‎ ‎【详解】，即 本题正确结果：‎ ‎【点睛】已知解析式求解的问题，主要有两种方法：1.配凑法：将的解析式配凑成用表示的形式，然后整体替换；2.换元法：设，用表示，得到的解析式，即为解析式。‎ ‎15.已知若，，则__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设，根据得出的范围，代入求出的值，得到与的关系式，与联立方程组，即可求出、的值。‎ ‎【详解】由题意得，设，由可得，代入，得 解得，即 又，可得 即 解得 所以。‎ 故答案为：6。‎ ‎【点睛】本题主要考查对数的运算性质。‎ ‎16.已知实数，若关于方程有三个不同的实根，则的取值范围为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：原问题等价于有三个不同的实根，即与有三个不同的交点，当时，为增函数，在处取得最小值为，与只有一个交点.当时，，根据复合函数的单调性，其在上先减后增.所以，要有三个不同交点，则需，解得.‎ 考点：函数与方程零点.‎ ‎【思路点晴】本题主要考查复合函数零点与单调性的问题.函数是一个分段函数，先对含有的方程进行分离常数，变为探究两个函数图像个交点的问题来研究.分离常数后，由于是一个分段函数，故分成两个部分来研究，当时，函数为增函数，在时有最小值为，由此在轴右边仅有一个交点.利用复合函数单调性可知函数在轴左边先减后增，故要使两个函数有个交点，则需，解得.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步照，把解答写在答题卡相应位置上)‎ ‎17.（1）计算 ‎（2）计算 ‎【答案】（1）-1.6（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） 根据指数幂的运算法则以及平方差公式，先对每个小式子进行化简，再进行四则运算；‎ ‎（2） 利用以及换底公式进行化简计算即可。‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】本题主要考查指数幂与对数的运算法则。‎ ‎18.已知集合，，‎ ‎（1)求，；‎ ‎（2)若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） ‎ ‎ 根据题意，结合指数函数的性质，求解出集合B，再对集合A、B进行交并集运算即可。‎ ‎（2） 根据题意，对集合C是否为空集进行分类讨论，分别求出满足两种情况时实数的取值范围，最后取并集。‎ ‎【详解】（1） 根据题意，已知集合，‎ 集合 ‎（2） 根据（1）可知，若满足，则可分两种情况：‎ ‎① 当集合C为空集时，应满足，无解 ‎② 当集合C不为空集时，集合 若，则集合，若满足，可得；‎ 若，则集合，若满足，可得；‎ ‎ 综上所述，满足，实数的取值范围为。‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交并集运算和已知集合之间的包含关系求参数范围，解题时注意对集合是否为空集进行讨论。‎ ‎19.已知是定义在上的偶函数，当时，‎ ‎（1）在给定的坐标系中画出函数在上的图像（不用列表）；并直接写出的单调区间；‎ ‎（2）当时，求的解析式.‎ ‎【答案】(1)图见详解，的单调递增区间为和；单调递减区间为和。 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） 根据题意，利用偶函数的图像关于y轴对称，先根据函数解析式画出时的图像，再补全函数在上的图像；‎ ‎（2）设，则，将代入，根据偶函数的性质，即可得到时的解析式，再设，同理即可得到的解析式， 将得到的解析式用分段函数的形式表示出来即可得到时，求的解析式。‎ ‎【详解】（1）如图所示，‎ 的单调递增区间为和；单调递减区间为和。‎ ‎（3） 设，则，将代入，得 又因为偶函数满足 当时，‎ 设，则，将代入，得 当时，；‎ 综上所述，当时，求的解析式为。‎ ‎【点睛】本题主要考查根据偶函数图像、单调性的对称性以及根据函数的奇偶性求函数的解析式。‎ ‎20.已知函数，共中 ‎（1）判断，的奇偶性并证明：‎ ‎（2）证明，函数在上单调递增；‎ ‎（3）若不等式对任成恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） 根据题意先求出函数的定义域，判断是否关于原点对称，再表达出，找出与的关系，即可判断并证明出的奇偶性；‎ ‎（2） 根据单调性的定义，在定义域内任取，设，证明即可。‎ ‎（3） 根据函数的奇偶性，将不等式转化成，再根据（2），再将不等式转化为，利用分离参数法得到，构造新函数令，求出在的最大值即可求出的取值范围。‎ ‎【详解】（1） 由题意得，函数的定义域为R，关于原点对称，‎ 且，满足奇函数的定义，故函数为奇函数。‎ ‎（2） 证：任取,设,可得，将代入函数式作差得，‎ 即当时，，‎ 所以，函数在上单调递增。‎ ‎（3） 不等式对任意恒成立，即 对任意恒成立，‎ 为R上的奇函数，‎ 对任意恒成立，‎ 由（2）知函数在上单调递增，‎ ‎ 对任意恒成立 即对任意恒成立，即的最大值即可，‎ 令，‎ 再令，可得，且 ‎，可变为，‎ 易知在上单调递减，‎ 即在上的最大值为-1，‎ 的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性、单调性的判断与证明以及函数恒成立问题。‎ ‎21.设，‎ ‎（1)求在区间上的值域；‎ ‎（2）求在区间上的值域：‎ ‎（3）已知，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）见详解 （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） 根据题意，判断出在上的单调性，即可求出在区间上的值域；‎ ‎（2） 根据题意，先求出的对称轴，再根据区间与对称轴的位置关系进行分类讨论，即可求出在区间上的值域；‎ ‎（3） 根据题意，只需满足在区间上的值域是在区间上的值域的子集，根据集合之间的包含关系即可求得的取值范围。‎ ‎【详解】（1） 根据题意，可得 易知在上是单调递增的，‎ 在区间上的值域为.‎ ‎(2)由题意得，的对称轴为，则 当时，在区间上单调递增，‎ ‎，在区间上的值域为；‎ 当时，在区间上单调递减，‎ ‎，在区间上的值域为；‎ 当时，在区间上先减后增，‎ 若，则 ，在区间上的值域为；‎ 若，则 ，在区间上的值域为；‎ 若，则 ，在区间上的值域为；‎ ‎（3） 根据（1）（2）可知，在区间上的值域为，当时，在区间上的值域为；若对于任意，总存在，使得成立，只需满足在区间上的值域是在区间上的值域的子集，即 解得 ‎【点睛】本题主要考查函数值域的求解以及函数恒成立中任意存在问题。‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）求函数的零点；‎ ‎（2）令,在时，求函数的单调区间：‎ ‎（3）在（2）条件下，存在实数，使得函数有三个零点，求取值范围.‎ ‎【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） 根据题意，对进行分类讨论，即可得到函数的零点；‎ ‎（2） 根据（1）中的结论与图像，即可得出的单调区间 ‎（3）根据所给条件，结合分段函数的图像，将题意所满足条件转化为有解，即可求出的范围。‎ ‎【详解】（1） 由题意得，对进行分类讨论，‎ 若 ，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 若 ，，如图所示，‎ 当时，，解得；‎ 当时，或；‎ 当时，解得 当时，解得;‎ 当时，解得;‎ 若 ，，如图所示，‎ 当时，解得；‎ 当时，或；‎ 当时，解得 当时，解得;‎ 当时，解得；‎ ‎（2） 由题意得，，即 根据（1）中的讨论，可得，‎ 当时，在上单调递增；‎ 当时， 在和上单调递增，在上单调递减；‎ 当，在和上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（3） 根据题意，，结合图像，若要满足题意，则 ‎ 有解，即 又，所以 是单调递增的，所以 综上所述，。‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数以及二次函数的综合应用，考查学生的分类讨论思想。‎ ‎ ‎