江苏省南通市如皋中学2019～2020学年高一上学期阶段考试数学试题（创新班）

江苏省南通市如皋中学2019～2020学年高一上学期阶段考试数学试题（创新班）

www.ks5u.com 江苏省如皋中学2019-2020学年度第一学期阶段练习 高一数学（创新班）‎ 一、选择题：本题12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设是等差数列的前项和，已知，，则等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：依题意有，解得，所以.‎ 考点：等差数列的基本概念.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．‎ ‎2.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】A项，可能相交或异面,当时，存在，，故A项错误；‎ B项，可能相交或垂直,当 时，存在，，故B项错误；‎ C项，可能相交或垂直,当 时，存在，，故C项错误；‎ D项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D项正确,故选D.‎ 本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.‎ 考点：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.‎ ‎3.已知是等比数列，，则=（ ）‎ A. 16（） B. ）‎ C. （） D. （）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是等比数列及可求出公比，而，故可根据等比数列求和公式计算.‎ ‎【详解】因为是等比数列，，‎ 所以，即， ‎ 因为，‎ 所以数列是以为公比，以为首项的等比数列,‎ 所以,‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的定义证明，通项公式，前n项和公式，属于中档题.‎ ‎4.若，则下列代数式中值最大的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为 ‎，综上可得最大，故选A.‎ ‎5.已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是(　　)‎ A. (－∞，－1]‎ B. (－∞，0)∪(1，＋∞)‎ C. [3，＋∞)‎ D. (－∞，－1]∪[3，＋∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据题意，由于等比数列{an}中,a2＝1，‎ 其前3项的和S3=,‎ 利用基本不等式可知，‎ 该S3的范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D.‎ 考点：等比数列 点评：主要是考查了等比数列的前n项和的公式的运用，属于基础题.‎ ‎6.设等差数列的前项和为，若≥，≤，则的最大值为（ ）‎ A. B. 2 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的前n项和公式，化简≥，≤可得，，利用及表示，结合不等式性质即可求解 ‎【详解】因为，，‎ 所以，，‎ 又，‎ 由不等式性质可知，当且仅当时等号成立，‎ 所以的最大值为4，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和，不等式的性质，属于中档题.‎ ‎7.已知分别与异面直线都相交的两条直线，则这四条直线确定的平面有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 5 D. 3或4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 与异面直线都相交的两条直线中，；；；分别相交，可确定4个平面，但不能相交，也不平行，不能确定一个平面，故知可确定4个平面.‎ ‎【详解】根据两条相交直线可确定一个平面知，；；；分别确定一个平面，‎ 若平行或相交时，四线共面，与是异面直线矛盾，故是异面直线，‎ 所以这四条直线确定的平面有4个.‎ 当b为正方体底面对角线 a为正方体竖直侧棱 c，d为两条底面的棱时 确定三个平面 故选:D ‎【点睛】本题主要考查了异面直线的概念，两条相交直线确定一个平面，属于容易题.‎ ‎8.甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）‎ A. 乙、丁可以知道自己的成绩 B. 乙可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 丁可以知道四人的成绩 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.‎ ‎【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，‎ 又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，‎ 又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，‎ 又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.‎ 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎9.已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：‎ ‎①l⊥m；②m∥；③l⊥．‎ 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，则三个命题中正确命题的个数为（ ）个.‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别写出三个命题，依次判断真假即可.‎ ‎【详解】若l⊥m，m∥，则l⊥，该命题为假命题，因为l⊥m，m∥，只能推出l与平面内所有与m平行的直线垂直，不满足直线与平面垂直的判定定理，所以是假命题；‎ 若l⊥m，l⊥，则m∥，该命题为真命题，因为l⊥m，l⊥，则平面内必存在一直线与外直线m平行，所以m∥，命题为真命题；‎ 若m∥，l⊥，则l⊥m，该命题为真命题，因为m∥，所以内必有一直线n与直线m平行，l⊥可得l⊥n，所以l⊥m，命题为真.‎ 综上可知正确命题的个数为2，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了空间中线线，线面的平行、垂直关系，属于中档题.‎ ‎10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 记三角形数构成的数列为，计算可得；易知．据此确定复合题意的选项即可.‎ ‎【详解】记三角形数构成数列为，‎ 则，，，，…，‎ 易得通项公式为；‎ 同理可得正方形数构成的数列的通项公式为．‎ 将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得都为正整数的只有．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意不妨令棱长为，如图 在底面内的射影为的中心，故 由勾股定理得 过作平面，则为与底面所成角，且 如图作于中点 与底面所成角的正弦值 故答案选 点睛：本题考查直线与平面所成的角，要先过点作垂线构造出线面角，然后计算出各边长度，在直角三角形中解三角形．‎ ‎12.设分别是三边长，且，则的关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据即可求得，延长CB至D，使BD=AB即可求证，即可得，即可求解.‎ ‎【详解】由得，‎ 延长CB至D，使BD=AB，‎ 于是，‎ 在与中，为公共角且，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形的判定，属于中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.不等式的解集是 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】.‎ 所以解集为：.‎ ‎14.用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于，则可计算圆锥筒的高，代入体积公式计算即可.‎ ‎【详解】由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于,‎ 则，‎ ‎，‎ 圆锥筒的高为：，‎ 这个圆锥筒的体积为; .‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆锥的体积公式，半圆的弧长与圆锥的底面周长之间的关系，属于容易题.‎ ‎15.已知，且，则的最小值为________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得，而，根据均值不等式即可求出.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 即的最小值为8.‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】本题主要考查了均值不等式，指数的运算，属于中档题.‎ ‎16.数列是等差数列，是等比数列，且满足,，则数列的公比为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比中项可得，由等差数列知，，代入可求出，即可求出公比.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ 即 化简得或，‎ 当时，解得，‎ 而由知，故舍去.‎ 当时，解得或，‎ 或，‎ 而知，故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项，对运算能力要求较高，属于难题.‎ 三、解答题：共82分．‎ ‎17.如图，在四棱柱中，，，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由平行四边形性质可得，再根据线面平行的判定定理可得平面；（2）根据题意可知四边形为菱形，进而得到对角线相互垂直，可得，结合，根据线面垂直的判定定理可得到平面.‎ 试题解析：（1）解：∵，平面，平面；‎ ‎∴平面；‎ ‎（2）解：在四棱柱中，四边形为平行四边形，‎ ‎∵，∴四边形为菱形，∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴平面.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查棱柱的性质、线面垂直、线面平行的判定定理，属于难题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ ‎18.‎ 设数列的前项和为．已知，，．‎ ‎（Ⅰ）设，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的取值范围． ‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）依题意，，即，由此得，因此，．当时，为等比数列，首项是，公比，所求通项公式为，；当时，，，也适合上式，故数列的通项公式为；（Ⅱ）由通项可知，，‎ 当时，，，所以 ‎（），当n=1时再验证一下 试题解析：（Ⅰ）依题意，，即，‎ 由此得，因此，．‎ 当时，为等比数列，首项，公比，‎ 所求通项公式为，．①‎ 当时，，，也适合①．‎ 故数列的通项公式为，．‎ ‎（Ⅱ）由①知，，‎ 于是，当时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，．又．‎ 综上，所求的的取值范围是．‎ 考点：数列性质及其恒成立问题 ‎19.‎ 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．‎ ‎（Ⅰ）将y表示为x的函数；‎ ‎（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．‎ ‎【答案】（Ⅰ）y=225x+‎ ‎（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360‎ 由已知xa=360,得a=,‎ 所以y=225x+‎ ‎（2）‎ ‎．当且仅当225x=时，等号成立．‎ 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．‎ 考点：函数模型的选择与应用 ‎20.如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，，∥，∥，．‎ ‎（1）证明：四点共面；‎ ‎（2）设．‎ ‎①求与平面所成角的正弦值；‎ ‎②求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系,设,通过向量法可证得，即共面（2），写出点的坐标，求出平面的法向量①写出向量，根据线面角公式计算即可②写出，根据点到平面的距离公式计算即可.‎ ‎【详解】，‎ 由平面平面，，得平面，以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系：‎ ‎（1）设，‎ 则，‎ ‎，‎ 故，‎ ‎，‎ 共面.‎ ‎（2）设，‎ 则，故，‎ ‎①设平面的法向量为，‎ 由，‎ 得，‎ ‎，‎ ‎,‎ 即与平面所成角的正弦值为.‎ ‎②,平面的法向量为,‎ ‎,‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明平行，计算线面角，点到平面的距离，属于中档题.‎ ‎21.数列的通项，其前n项和为．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦二倍角公式化简，根据其周期性， ，分三类讨论即可求和（2）利用错位相减法可求数列的和.‎ ‎【详解】（1）由于，‎ ‎，‎ 故 ‎，‎ ‎，‎ 故 ‎（2），‎ ‎，‎ 两式相减得：，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性，余弦二倍角公式，错位相减法，分类讨论，属于难题.‎ ‎22.已知三棱锥(如图1)的平面展开图（如图2）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的正切值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，连接，则，由此能证明平面平面（2）由，得平面，从而是直线与平面所成角，且，进而当最短时，即是中点时，最大，由平面，得，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法先求出二面角的余弦值，根据同角三角函数关系即可求出正切值.‎ ‎【详解】（1 ）三棱锥(如图1)的平面展开图（如图2）中 四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，‎ ‎，‎ 取中点，连接，‎ 则，‎ 且，‎ ‎，‎ 又，‎ 平面,‎ 平面,‎ 平面平面 ‎（2）由（1）知，‎ ‎,‎ 平面 是直线与平面所成角，且，‎ 当最短时，即是中点时，最大，‎ 由平面，得，‎ 以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图：‎ 则，‎ ‎，‎ 设平面的法向量,‎ 则，取，得，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，得，‎ 设二面角的平面角为，‎ 则，‎ 所以，‎ 二面角的正切值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，二面角的向量求法，考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系，属于难题.‎