2019年高考数学练习题汇总解答题满分练3
解答题满分练3
1.已知函数f＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f＝－1，a＝且向量m＝(3，sin B)与向量n＝(2，sin C)共线，求△ABC的面积.
解 (1)f(x)＝2cos2x－sin 2x＝cos 2x－sin 2x＋1＝2cos＋1，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝f(x)的单调减区间为(k∈Z).
(2)∵f(A)＝－1，∴2cos＋1＝－1，
即cos＝－1，∴2A＋＝π＋2kπ(k∈Z)，
∴A＝＋kπ(k∈Z)，
又∵0
b>0)的离心率为，并且椭圆经过点P，直线l的方程为x＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知椭圆内一点E(1,0)，过点E作一条斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点，交直线l于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
解 (1)因为椭圆的离心率为，
所以＝1－2＝，
又椭圆过点P，所以＋＝1，
所以a2＝4，b2＝1，所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，令x＝4，则y＝3k，所以点M(4,3k)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以k1＋k2＝＋
＝＋
＝2k－
＝2k－.
由可得x2－8k2x＋4k2－4＝0.
所以x1,2＝，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以k1＋k2＝2k－· ＝2k－.
又因为k3＝＝k－，所以k1＋k2＝2k3，
所以存在λ＝2，使得k1＋k2＝2k3.
5.已知函数f(x)＝ x－，g(x)＝ 2aln x.
(1)若b＝0，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，求a的值；
(2)若a>0, b＝－1，函数F(x)＝xf(x)＋g(x)满足对任意x1，x2∈(x1≠x2)，都有<3恒成立，求a的取值范围；
(3)若b＝1，函数G(x)＝f(x)＋ g(x)，且G(x)有两个极值点x1，x2，其中x1∈，求G－G的最小值.
解 (1)若b＝0，函数f(x)＝x的图象与g(x)＝2aln x的图象相切，设切点为(x0,2aln x0)，
则切线方程为y＝x－2a＋2aln x0，
所以得所以a＝.
(2)当a>0，b＝－1时，F(x)＝x2＋1＋2aln x，F′(x)＝2x＋>0，所以F(x)在(0,1]上单调递增.
不妨设00，所以00)，由题意知x1，x2是x2＋2ax＋1＝0的两根，
所以x1,2＝，x2＝，2a＝－x1－，
G(x1)－G(x2)＝G(x1)－G
＝2.
令H(x)＝2，x∈，
H′(x)＝2ln x＝，
当x∈时，H′(x)<0, H(x)在上单调递减，H(x)的最小值为H＝.
即G(x1)－G(x2) 的最小值为.
6.(2018·常州市武进区期中)已知数列中， a1＝3，前n项和Sn满足an＋1＝2Sn＋3(n∈N*).
(1) 求数列的通项公式；
(2)记bn＝，求数列的前n项和Tn；
(3)是否存在整数对(其中m∈Z,n∈N*)满足a－an＋7m＋5＝0？若存在，求出所有的满足题意的整数对，若不存在，请说明理由.
解 (1)当n≥2时，an＋1＝2Sn＋3与an＝2Sn－1＋3相减，
得an＋1－an＝2＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)，
在an＋1＝2Sn＋3中，令n＝1可得，a2＝9，即a2＝3a1.
故an＋1＝3an(n∈N*)，
故数列是首项为3，公比为3的等比数列，其通项公式为an＝3n(n∈N*).
(2)由(1) 知，bn＝＝
＝，
则Tn＝
＝(n∈N*).
(3)a－an＋7m＋5＝0，即32n－3n＋7m＋5＝0，
则m＝＝＝＋，
若存在整数对，则必须是整数，
其中3n－7只能是40的因数，
可得n＝1时， m＝－2; n＝2时， m＝34; n＝3时， m＝34.
综上所有的满足题意的整数对为， ， .
