2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第二篇 第29练
第29练 压轴小题突破练(1)
[明晰考情] 高考选择题的12题位置、填空题的16题位置，往往出现逻辑思维深刻，难度高档的题目.
考点一 与函数、不等式有关的压轴小题
方法技巧 本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点、参数的范围和通过函数性质求解不等式.解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法，其间要注意导数的应用.
1.(2018·西宁模拟)偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，若函数g(x)＝f(x)－|lg x|，则g(x)在(0，10)上的零点个数为( )
A.11 B.10
C.9 D.8
答案 B
解析 由题意g(x)＝f(x)－|lg x|＝
∵f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x)＝f(x＋2)，故f(x)是周期函数，且T＝2，
又函数f(x)是R上的偶函数，
∴f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称，当x>0时，在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝|lg x|的图象，如图所示.
由图象知函数g(x)的零点个数为10.
2.设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，∀x∈R，有f(－x)＋f(x)＝x2，且在(0，＋∞)上，f′(x)＜x，若f(4－m)－f(m)≥8－4m，则实数m的取值范围为( )
A.[－2，2] B.[2，＋∞)
C.[0，＋∞) D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
答案 B
解析 令g(x)＝f(x)－x2，
则g(x)＋g(－x)＝0，函数g(x)为奇函数，在区间(0，＋∞)上，
g′(x)＝f′(x)－x＜0，且g(0)＝0，
则函数g(x)是R上的单调递减函数，
故f(4－m)－f(m)＝g(4－m)＋(4－m)2－g(m)－m2
＝g(4－m)－g(m)＋8－4m≥8－4m，
据此可得g(4－m)≥g(m)，∴4－m≤m，解得m≥2.
3. 已知函数f(x)＝2x－(x<0)与g(x)＝log2(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A.(－∞，－) B.(－∞，)
C.(－∞，2) D.
答案 B
解析 由f(x)关于y轴对称的函数为h(x)＝f(－x)＝2－x－(x>0)，
令h(x)＝g(x)，得2－x－＝log2(x＋a)(x>0)，
则方程2－x－＝log2(x＋a)在(0，＋∞)上有解，
作出y＝2－x－与y＝log2(x＋a)的图象，如图所示，
当a≤0时，函数y＝2－x－与y＝log2(x＋a)的图象在(0，＋∞)上必有交点，符合题意；
若a>0，两函数在(0，＋∞)上必有交点，则log2a<，解得0
0，且m≠1)是“成功函数”，则实数t的取值范围为________.
答案
解析 无论m>1还是00)，则mx＋2t＝可化为2t＝λ－λ2＝－2＋，结合图形(图略)可得t∈.
考点二 与数列有关的压轴小题
方法技巧 数列与函数的交汇、数列与不等式的交汇问题是高考的热点.解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化，确定数列的通项或前n项和，利用函数的性质、图象求解最值问题，不等关系或恒成立问题.
5.(2018·浙江 )已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)，若a1＞1，则( )
A.a1＜a3，a2＜a4 B.a1＞a3，a2＜a4
C.a1＜a3，a2＞a4 D.a1＞a3，a2＞a4
答案 B
解析 构造不等式ln x≤x－1，
则a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，
所以a4＝a1·q3≤－1.由a1＞1，得q＜0.
若q≤－1，则ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)·(1＋q2)≤0.
又a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)≥a1＞1，
所以ln(a1＋a2＋a3)＞0，矛盾.
因此－1＜q＜0.
所以a1－a3＝a1(1－q2)＞0，a2－a4＝a1q(1－q2)＜0，
所以a1＞a3，a2＜a4.
故选B.
6.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，且f(x)＝axg(x)(a>0，且a≠1)，＋＝，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为( )
A.6 B.7
C.8 D.9
答案 A
解析 ∵f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，
∴f′(x)g(x)－f(x)·g′(x)>0，又g(x)≠0，
∴′＝>0，
从而可得＝ax单调递增，从而可得a>1，
∵＋＝a＋a－1＝，∴a＝2，
故＋＋…＋＝a＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2>62，
∴2n＋1>64，即n＋1>6，n>5，n∈N*，
∴nmin＝6，故选A.
7.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*).若bn＋1＝(n－2λ)·(n∈N*)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( )
A.λ> B.λ> C.λ< D.λ<
答案 D
解析 由an＋1＝，得＝＋1，即＋1＝2，所以是以＋1为首项，2为公比的等比数列，所以＋1＝2n－1＝2n，所以bn＋1＝(n－2λ)·2n.因为数列{bn}是单调递增数列，
所以当n≥2时，由bn＋1>bn，得(n－2λ)·2n>(n－1－2λ)·2n－1，解得n>2λ－1，即2>2λ－1，所以λ<；当n＝1时，由b2>b1得(1－2λ)·2>－λ，解得λ<，因此λ<，故选D.
8.已知函数f(x)＝x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12，且f(a2－4)＝f(2a－8)，设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若Sn＝f(n)，则的最小值为________.
答案
解析 由题意可得a2－4＝2a－8或a2－4＋2a－8＝2×，解得a＝1或a＝－4.
当a＝1时，f(x)＝x2＋9x－10，数列{an}不是等差数列；
当a＝－4时，f(x)＝x2＋4x，Sn＝f(n)＝n2＋4n，
∴a1＝5，a2＝7，an＝5＋(7－5)(n－1)＝2n＋3，
∴＝＝×
＝×≥＝＋1，
当且仅当n＋1＝，即n＝－1(舍负)时取等号，
∵n为正整数，2<－1<3，当n＝2时，＝；当n＝3时，＝，故当n＝3时原式取最小值.
考点三 与立体几何有关的压轴小题
方法技巧 空间几何体中的线面关系、表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解题时要明确几何体的形状，可以适当进行分割；空间几何体的截面及最值问题解决的关键是画出正确的截面，把空间问题转化为平面问题处理.
9.如图为某几何体的三视图，则其体积为( )
A.＋4 B.
C.＋4 D.π＋
答案 D
解析 由三视图可知，该几何体是一个半圆柱(所在圆柱为圆柱OO1)与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD为圆柱的轴截面，顶点P在半圆柱
所在圆柱的底面圆上(如图所示)，且P在AB上的射影为底面的圆心O.由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，
故其体积V1＝πr2h＝π×12×2＝π；
四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，
PO⊥底面ABCD，且PO＝r＝1.
故其体积V2＝S正方形ABCD×PO＝×22×1＝.
故该几何体的体积V＝V1＋V2＝π＋.
10.(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD－A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等.
取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×××sin 60°＝.
故选A.
11.已知四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，其中ABCD为正方形，△PAD为等腰直角三角形，PA＝PD＝，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为( )
A.10π B.4π C.16π D.8π
答案 D
解析 因为△PAD为等腰直角三角形，PA＝PD＝，故AD＝AB＝2，
则点P到平面ABCD的距离为1，而底面正方形的中心O到边AD的距离也为1，则顶点P到正方形中心O的距离PO＝，正方形的外接圆的半径为，故正方形ABCD的中心是球心，且球的半径为，所以该几何体外接球的表面积S＝4π×2＝8π，故选D.
12.(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________.
答案 40π
解析 如图，
∵SA与底面所成角为45°，
∴△SAO为等腰直角三角形.
设OA＝r，
则SO＝r，SA＝SB＝r.
在△SAB中，cos∠ASB＝，
∴sin∠ASB＝，
∴S△SAB＝SA·SB·sin∠ASB＝(r)2·＝5，
解得r＝2，
∴SA＝r＝4，即母线长l＝4，
∴S圆锥侧＝πr·l＝π×2×4＝40π.
1.(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于( )
A.－50 B.0 C.2 D.50
答案 C
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1).∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数.
由f(x)为奇函数及其定义域为R得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
2.已知实数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的实根，则t的取值范围为( )
A.(－∞，－2] B.[1，＋∞)
C.[－2，1] D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)
答案 A
解析 设m＝f(x)，作出函数f(x)的图象，如图所示，
则当m≥1时，m＝f(x)有两个根，当m<1时，m＝f(x)有一个根.若关于x的方程f2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的实根，则等价为m2＋m＋t＝0有两个不同的实数根m1，m2，且m1≥1，m2＜1.当m＝1时，t＝－2，此时由m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2，f(x)＝1有两个根，f(x)＝－2有一个根，满足条件；当m≠1时，设h(m)＝m2＋m＋t，其对称轴为m＝－，则需h(1)<0即可，即1＋1＋t<0，解得t<－2.综上实数t的取值范围为t≤－2，故选A.
3.(2018·兰州模拟)已知f(x)是定义在R上的可导函数，若在R上3f(x)>f′(x)恒成立，且f(1)＝e3(e为自然对数的底数)，则下列结论正确的是( )
A.f(0)＝1 B.f(0)<1
C.f(2)e6
答案 C
解析 设g(x)＝，则g′(x)＝＝.
∵在R上3f(x)>f′(x)恒成立，
∴g′(x)<0在R上恒成立，即g(x)在R上为减函数，
∴g(0)＝＝f(0)>g(1)＝，
∵f(1)＝e3，
∴f(0)>1，故A，B不正确.
∵g(2)＝
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