2019年高考数学练习题汇总小题提速练(八)

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2019年高考数学练习题汇总小题提速练(八)

小题提速练(八) 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.已知复数 z=1-bi i (b∈R)的实部和虚部相等,则 b=( ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 解析:选 B.复数 z=1-bi i =i+b -1 =-b-i,因为复数 z 的实部和虚部相等,所以 b=1. 2.已知集合 A={x|x2>1},B={x|(x2-1)(x2-4)=0},则集合 A∩B 中的元素个数为( ) A.2 B.1 C.3 D.4 解析:选 A.A={x|x<-1 或 x>1},B={-2,-1,1,2},A∩B={-2,2},A∩B 中 有 2 个元素,故选 A. 3.已知角α,β满足 tan αtan β=1 3 ,若 cos(α-β)=4 5 ,则 cos(α+β)的值为( ) A.1 5 B.2 3 C.2 5 D.3 5 解析:选 C.解法一:由 tan αtan β=1 3 ,cos(α-β)=4 5 得, sin αsin β cos αcos β =1 3 , cos αcos β+sin αsin β=4 5 , 解得 sin αsin β=1 5 , cos αcos β=3 5 , 故 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=2 5. 解法二:设 cos(α+β)=x,即 cos αcos β-sin αsin β=x ①,由 cos(α-β)=4 5 得,cos αcos β+sin αsin β=4 5 ②,由①②得 cos αcos β=2 5 +x 2 ,sin αsin β=2 5 -x 2 ,两式相除得 tan αtan β = 2 5 -x 2 2 5 +x 2 =1 3 ,解得 x=2 5 ,故 cos(α+β)=2 5. 4.已知函数 f(x)= x2+2,x>0, 2cos x,x≤0, 则下列结论正确的是( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为 1 2 ,+∞ 解析:选 D.由函数 f(x)= x2+2,x>0, 2cos x,x≤0, 可知当 x>0 时,f(x)>2,当 x≤0 时,f(x)∈ 1 2 ,2 , 故 f(x)的值域为 1 2 ,+∞ ,排除选项 A、B、C,故选 D. 5.已知直线 m,平面α,β,p:“直线 m 与平面α,β所成的角相同”,q:“α∥β”,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B.充分性:若“直线 m 与平面α,β所成的角相同”,以正方体 ABCDA1B1C1D1 为例,面对角线 A1D 与底面 ABCD 及侧面 ABB1A1 所成的角均为 45°,但底面 ABCD⊥侧面 ABB1A1,所以充分性不成立; 必要性:若“α∥β”,由线面角的定义及三角形的相似可知“直线 m 与平面α,β所成的角 相同”,所以必要性成立.故 p 是 q 的必要不充分条件,故选 B. 6.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( ) A.9,2 B.10,2 C.9,1 2 D.9,-1 解析:选 D.当 n=1 时,a=1-1 a =1-1 2 =1 2 ;当 n=2 时,a=1-1 a =1-1 1 2 =-1;当 n =3 时,a=1-1 a =1- 1 -1 =2;当 n=4 时,a=1-1 a =1-1 2 =1 2 ;….则 a 的取值是周期为 3 的一组数,则由循环语句,当 n=8 时,a=-1,则 n=9,跳出循环,执行输出,故选 D. 7.圆 C1:x2+y2-4x+2y+1=0 和圆 C2:x2+y2+4 3y=-3 的位置关系是( ) A.相离 B.外切 C.内切 D.相交 解析:选 D.圆 C1:(x-2)2+(y+1)2=4,圆 C2:x2+(y+2 3)2=9,则 C1(2,-1),圆 C1 的半径 r1 为 2;C2(0,-2 3),圆 C2 的半径 r2 为 3.两圆的圆心距 d= 22+(2 3-1)2= 17-4 3∈(r2-r1,r2+r1),所以两圆的位置关系是相交.故选 D. 8.已知各项均为正的等比数列{an},公比为 q,前 n 项和为 Sn,则“q>1”是“S2+2S6> 3S4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 通解:选 A.因为等比数列{an}的各项均为正,所以 a1>0.若 q>1,则 S2+2S6-3S4= a1(1-q2) 1-q +2a1(1-q6) 1-q -3a1(1-q4) 1-q =a1q2(1+2q4-3q2) q-1 =a1q2(2q2-1)(q2-1) q-1 >0,所以 S2+2S6>3S4.而当 q=1 时,S2+2S6>3S4 也成立.所以“q>1”是“S2+2S6>3S4” 的充分不必要条件,故选 A. 优解:因为等比数列{an}的各项均为正,所以 q>0,S2>0.令 S2+2S6-3S4=q2S2(2q2- 1)>0,所以 q> 2 2 .所以“q>1”是“S2+2S6>3S4”的充分不必要条件,故选 A. 9.已知函数 f(x)=ax3+ax2+x+b(a,b∈R),则下列图象一定不能表示 f(x)的图象的是 ( ) 解析:选 D.结合选项,令 b=0,f(x)=ax3+ax2+x,则 f′(x)=3ax2+2ax+1,分三种情 况讨论:当 a=0 时,f′(x)=1,f(x)单调递增;当 a<0 时,方程 3ax2+2ax+1=0 的判别式Δ =(2a)2-4×3a>0,此时 f(x)不可能单调递减;当 a>0 时,函数 f′(x)=3ax2+2ax+1 不可能 恒小于 0,即函数 f(x)不可能在 R 上单调递减,结合各选项,知 f(x)的图象不可能为 D 中图 象,故选 D. 10.网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画的是某组合体的三视图,则该组合体的体 积是( ) A.2 3 3 +2 3π B.2 3 3 +16 3 π C.4+16 3 π D.4 3 +2 3π 解析:选 D.观察题中三视图可知组合体的上部分是三棱锥,下部分是半径为 1 的半球, 其直观图如图 1 所示. 图 1 在棱长为 2 的正方体中画出符合三视图的三棱锥 ABEF,顶点 A,B,E,F 分别是正方 体棱的中点. 解法一:如图 2,取 EF 的中点 C,连接 AC,BC,则 EF⊥AC,EF⊥BC,所以 EF⊥平 面 ABC,AC=BC= 5,AB=2,所以 S△ABC=1 2×2×2=2,三棱锥 ABEF 的体积 V1=1 3×S△ABC×EF =4 3.半球体积 V2=1 2×4 3π×13=2 3π.所以该组合体的体积 V=V1+V2=4 3 +2 3π.故选 D. 图 2 解法二:如图 3,C,D 分别为正方体两棱的中点,连接 CD,G 为 CD 的中点,连接 EG,FG,过 CD,EF 作截面 EFDC,则正方体和三棱锥 ABEF 都被一分为二,因为 S△EFG =1 2×2×2=2,所以三棱锥 ABEF 的体积 V1=2×1 3×S△EFG×AG=4 3 ,半球体积 V2=1 2×4 3π×13=2 3π. 所以该组合体的体积 V=V1+V2=4 3 +2 3π.故选 D. 图 3 11.已知双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与该双曲线的左支交于 A,B 两点,AF2,BF2 分别交 y 轴于 P,Q 两点,若△PQF2 的周长为 16,则 b a+1 的最大值为( ) A.4 3 B.3 4 C.5 3 D.4 5 解析:选 A.如图 1,由已知条件得,△ABF2 的周长为 32,因为|AF2|=2a+|AF1|,|BF2| =2a+|BF1|,|AF1|=|BF1|=b2 a ,所以 4a+4b2 a =32,b2 a +a=8,b2+a2-8a=0, 得 (a - 4)2+b2=16.设 k= b a+1 ,则 k 表示点(a,b)与点(-1,0)连线的斜率,作出图形,如图 2,易 知 kmax=4 3.故选 A. 12.已知函数 f(x)的定义域是 R,且满足 f(x)-f(-x)=0,f(x+2)-f(-x)=0,当 x∈[ 0, 1]时,f(x)=x 1 2·g(x)=4x-2x-2 是定义域为 R 的函数. 给出以下四个命题: ①存在实数 a,使得关于 x 的方程|g(x)|=a 有两个不相等的实根; ②存在 x0∈[0,1],使得 g(-x0)=-g(x0); ③当 x∈(-∞,2]时,关于 x 的方程 f[g(x)]=0 有 7 个实根; ④关于 x 的方程 g[f(x)]=0 有 1 个实根. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 B.因为 f(x)=f(-x),f(x+2)=f(-x)=f(x),所以 f(x)是偶函数,也是周期函数, 其最小正周期 T=2.结合已知条件画出函数 f(x)的图象,如图所示. 图 1 命题①是真命题.当 a=1 时,4x-2x-2=±1,所以 4x-2x-3=0 或 4x-2x-1=0,解 得 2x=1± 13 2 或 2x=1± 5 2 ,又 2x>0,所以 x=log2 1+ 13 2 或 x=log2 1+ 5 2 ,符合题意,所以 命题①是真命题.命题②是假命题.解方程 4-x-2-x-2=-(4x-2x-2),整理得(2x+2-x)2 -(2x+2-x)-6=0,所以(2x+2-x-3)(2x+2-x+2)=0,因为 2x+2-x>0,所以 2x+2-x-3=0, 所以(2x)2-3×2x+1=0,解得 2x=3± 5 2 .由 x0∈[0,1],得 2x0∈[1,2],而3± 5 2 ∉ [1,2],所 以原方程在[0,1]上无解.所以在[0,1]上不存在 x0,使得 g(-x0)=-g(x0),命题②是假命 题. 命题③是真命题.设 t=2x,由 x∈(-∞,2],得 t∈(0,4].构造函数φ(t)=t2-t-2(4≥t >0),则 g(x)=φ(t),函数φ(t)的图象如图 2 所示. 图 2 易得φ(t)∈ -9 4 ,10 ,结合函数 f(x)的图象可知,函数 f(x)在 -9 4 ,10 上有零点-2,0, 2,4,6,8,10, 当 g(x)分别等于-2,0,2,4,6,8,10 时,都只有一个实根.所以方程 f[g(x)]=0 在 (-∞,2]上有 7 个实根,命题③是真命题. 命题④是假命题.函数 g(x)只有唯一零点 x=1,所以 f(x)=1,结合 f(x)的图象可知,当 f(x)=1 时,x=2k+1,k∈Z,所以方程 g[f(x)]=0 有无数个实根,且 x=2k+1,k∈Z,命题 ④是假命题.所以只有命题①③是真命题,故选 B. 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.某校共有学生 2 400 人,高一学生有 800 人,现对学生活动情况进行抽样调查,用 分层抽样的方法从所有学生中抽取 120 人,则从高一年级学生中应抽取________人. 解析:由题意得,抽取的比例为 1 20 ,因为从所有学生中抽取 120 人, 所以从高一年级学生中应抽取的人数为 800× 1 20 =40. 答案:40 14.已知向量 a=(1,m),|b|=1,|a+b|= 7,且向量 a,b 的夹角是 60°,则 m=________. 解析:由|a+b|= 7,得|a|2+2a·b+|b|2=|a|2+|a|+1=7,解得|a|=2,所以 m2+1=2, 故 m=± 3. 答案:± 3 15.已知在等差数列{an}中,{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,S13=91,若Sk ak =6,则正整 数 k=________. 解析:解法一:设等差数列{an}的公差为 d,则由 S13=91,得 13a1+13×(13-1) 2 d= 91,根据 a1=1,得 d=1,所以 an=n,所以 Sk=k(k+1) 2 ,所以Sk ak =k+1 2 =6,所以 k=11. 解法二:在等差数列{an}中,S13=91,根据等差数列的性质,可得 13a7=91,即 a7=7, 又 a1=1,所以可得公差 d=1,即 an=n,所以 Sk=k(k+1) 2 ,所以Sk ak =k+1 2 =6,所以 k= 11. 答案:11 16.如图,AB 是立于山顶上的电视塔,现借助升降机 CD 测量塔高,当在升降机底部 C 时,测得点 A 的仰角为 45°、点 B 的仰角为 60°;当升降机上升 10 米至 D 时,测得点 A 的仰角为 30°,则塔高 AB 为________米. 解析:在△ACD 中,∠ACD=45°,∠ADC=120°,得∠DAC=15°,又 CD=10,由正 弦定理 CD sin 15° = AC sin 120° ,得 AC= 5 3 sin 15°.又在△ACB 中,∠ACB=60°-45°=15°,∠ABC= 30°,由正弦定理 AC sin 30° = AB sin 15° ,得 AB=ACsin 15° sin 30° =2× 5 3 sin 15°·sin 15°=10 3. 答案:10 3
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