【数学】2021届一轮复习北师大版(理)第九章 第7讲 双曲线学案

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

【数学】2021届一轮复习北师大版(理)第九章 第7讲 双曲线学案

第 7 讲 双曲线 一、知识梳理 1.双曲线的定义 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫 做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a,c 为常数且 a>0,c>0. (1)当 2a<|F1F2|时,P 点的轨迹是双曲线. (2)当 2a=|F1F2|时,P 点的轨迹是两条射线. (3)当 2a>|F1F2|时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0) y2 a2 -x2 b2 =1(a>0,b>0) 图形 性质 范围 x≥a 或 x≤-a,y∈R y≤-a 或 y≥a,x∈R 对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=±b ax y=±a bx 离心率 e=c a ,e∈(1,+∞) 实虚轴 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半 轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 系 3.等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程可写作: x2-y2=λ(λ≠0). (2)等轴双曲线⇔离心率 e= 2⇔两条渐近线 y=±x 互相垂直. 常用结论 1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. 2.若 P 是双曲线右支上一点,F1,F2 分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c, |PF2|min=c-a. 3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为2b2 a ,异支的弦中 最短的为实轴,其长为 2a. 4.设 P,A,B 是双曲线上的三个不同的点,其中 A,B 关于原点对称,直线 PA,PB 斜率存在且不为 0,则直线 PA 与 PB 的斜率之积为b2 a2. 5.P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2 分别为双曲线的左、右焦点, 则 S△PF1F2=b2· 1 tan θ 2 ,其中θ为∠F1PF2. 二、教材衍化 1.若双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线 的离心率为________. 解析:由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为x a±y b =0,即 bx±ay=0, 所以 2a= bc a2+b2 =b. 又 a2+b2=c2,所以 5a2=c2. 所以 e2=c2 a2 =5,所以 e= 5. 答案: 5 2.经过点 A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 解析:设双曲线的方程为x2 a2 -y2 a2 =±1(a>0), 把点 A(3,-1)代入,得 a2=8(舍负), 故所求方程为x2 8 -y2 8 =1. 答案:x2 8 -y2 8 =1 3.以椭圆x2 4 +y2 3 =1 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为________. 解析:设要求的双曲线方程为x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0),由椭圆x2 4 +y2 3 =1,得焦点为(±1, 0),顶点为(±2,0).所以双曲线的顶点为(±1,0),焦点为(±2,0).所以 a=1,c=2,所以 b2=c2-a2=3,所以双曲线标准方程为 x2-y2 3 =1. 答案:x2-y2 3 =1 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲 线.( ) (2)椭圆的离心率 e∈(0,1),双曲线的离心率 e∈(1,+∞).( ) (3)方程x2 m -y2 n =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、易错纠偏 常见误区|K(1)忽视双曲线的定义; (2)忽视双曲线焦点的位置; (3)忽视双曲线的渐近线与离心率的关系. 1.平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于 6 的点的轨迹是________. 解析:由|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|=8,得 a=3,又 c=4,则 b2=c2-a2=7,所以所求点 的轨迹是双曲线y2 9 -x2 7 =1 的下支. 答案:双曲线y2 9 -x2 7 =1 的下支 2.坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π 3 ,则双 曲线的离心率为________. 解析:若双曲线的焦点在 x 轴上,设双曲线的方程为x2 a2 -y2 b2 =1,则渐近线的方程为 y =±b ax,由题意可得b a =tan π 3 = 3,b= 3a,可得 c=2a,则 e=c a =2;若双曲线的焦点在 y 轴上,设双曲线的方程为y2 a2 -x2 b2 =1,则渐近线的方程为 y=±a bx,由题意可得a b =tan π 3 = 3, a= 3b,可得 c=2 3 3 a,则 e=2 3 3 .综上可得 e=2 或 e=2 3 3 . 答案:2 或2 3 3 3.若双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率 为________. 解析:由条件知 y=-b ax 过点(3,-4),所以3b a =4,即 3b=4a,所以 9b2=16a2,所以 9c2-9a2=16a2,所以 25a2=9c2,所以 e=5 3. 答案:5 3 双曲线的定义(多维探究) 角度一 利用定义求轨迹方程 已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________. 【解析】 如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B.根据两圆外切 的条件,得 |MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|,所以 |MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于 |C1C2|=6. 又根据双曲线的定义,得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大,与 C1 的距离小), 其中 a=1,c=3,则 b2=8. 故点 M 的轨迹方程为 x2-y2 8 =1(x≤-1). 【答案】 x2-y2 8 =1(x≤-1) 角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题 已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左,右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|, 则 cos∠F1PF2=________. 【解析】 由双曲线的定义有 |PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2 2, 所以|PF1|=2|PF2|=4 2, 则 cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 2|PF1|·|PF2| =(4 2)2+(2 2)2-42 2×4 2×2 2 =3 4. 【答案】 3 4 【迁移探究 1】 (变条件)将本例中的条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,求 △F1PF2 的面积是多少? 解:不妨设点 P 在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2 2,在△F1PF2 中,由余弦 定理,得 cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 2|PF1|·|PF2| =1 2 , 所以|PF1|·|PF2|=8, 所以 S△F1PF2=1 2|PF1|·|PF2|sin 60°=2 3. 【迁移探究 2】 (变条件)将本例中的条件“|PF1|=2|PF2|”改为“PF1 → ·PF2 → =0”,求 △F1PF2 的面积是多少? 解:不妨设点 P 在双曲线的右支上,则 |PF1|-|PF2|=2a=2 2,由于PF1 → ·PF2 → =0, 所以PF1 → ⊥PF2 → ,所以在△F1PF2 中,有 |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即|PF1|2+|PF2|2=16,所以|PF1|·|PF2|=4, 所以 S△F1PF2=1 2|PF1|·|PF2|=2. 角度三 利用定义求解最值问题 若双曲线x2 4 -y2 12 =1 的左焦点为 F,点 P 是双曲线右支上的动点,A(1,4),则 |PF|+|PA|的最小值是( ) A.8 B.9 C.10 D.12 【解析】 由题意知,双曲线x2 4 -y2 12 =1 的左焦点 F 的坐标为(-4,0),设双曲线的右 焦点为 B,则 B(4,0),由双曲线的定义知|PF|+|PA|=4+|PB|+|PA|≥4+|AB|=4+ (4-1)2+(0-4)2=4+5=9,当且仅当 A,P,B 三点共线且 P 在 A,B 之间时取等号. 所以|PF|+|PA|的最小值为 9. 【答案】 B 双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程. (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运 用平方的方法,建立|PF1|与|PF2|的关系. [提醒] 在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线,还是双 曲线的一支,若是双曲线的一支,则需确定是哪一支. 1.(2020·河南非凡联盟 4 月联考)已知双曲线 C:x2 a2 -y2 9 =1(a>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,一条渐近线与直线 4x+3y=0 垂直,点 M 在 C 上,且|MF2|=6,则|MF1|=( ) A.2 或 14 B.2 C.14 D.2 或 10 解析:选 C.由题意知3 a =3 4 ,故 a=4,则 c=5.由|MF2|=6<a+c=9,知点 M 在 C 的右 支上,由双曲线的定义知|MF1|-|MF2|=2a=8,所以|MF1|=14. 2.(2020·河北廊坊省级示范学校联考)设 F1,F2 分别为双曲线 C:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b> 0)的左、右焦点,过 F1 的直线交双曲线 C 的左支于 A,B 两点,且|AF2|=3,|BF2|=5,|AB| =4,则△BF1F2 的面积为________. 解析:因为|AF2|=3,|BF2|=5, |AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a, 所以|AF2|+|BF2|-|AB|=4a=3+5-4=4, 所以 a=1,所以|BF1|=3,又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2, 所以∠F2AB=90°,所以 sin B=3 5 , 所以 S△BF1F2=1 2 ×5×3×sin B=1 2 ×5×3×3 5 =9 2. 答案:9 2 双曲线的标准方程(师生共研) (1)(一题多解)与椭圆x2 4 +y2=1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是( ) A.x2 4 -y2=1 B.x2 2 -y2=1 C.x2 3 -y2 3 =1 D.x2-y2 2 =1 (2)(一题多解)若双曲线的渐近线方程为 y=±1 2x,且经过点(4, 3),则双曲线的方程为 ________. 【解析】 (1)法一:椭圆x2 4 +y2=1 的焦点坐标是(± 3,0).设双曲线方程为x2 a2 -y2 b2 = 1(a>0,b>0),所以 4 a2 - 1 b2 =1,a2+b2=3,解得 a2=2,b2=1,所以所求双曲线方程是x2 2 - y2=1. 法二:设所求双曲线方程为 x2 4-λ + y2 1-λ =1(1<λ<4),将点 P(2,1)的坐标代入可得 4 4-λ + 1 1-λ =1,解得λ=2(λ=-2 舍去),所以所求双曲线方程为x2 2 -y2=1. (2)法一:因为双曲线的渐近线方程为 y=±1 2x, 所以可设双曲线的方程为 x2-4y2=λ(λ≠0). 因为双曲线过点(4, 3),所以λ=16-4×( 3)2=4, 所以双曲线的标准方程为x2 4 -y2=1. 法二:因为渐近线 y=1 2x 过点(4,2),而 3<2, 所以点(4, 3)在渐近线 y=1 2x 的下方,在 y=-1 2x 的上方(如图). 所以双曲线的焦点在 x 轴上,故可设双曲线方程为x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0). 由已知条件可得 b a =1 2 , 16 a2 - 3 b2 =1, 解得 a2=4, b2=1, 所以双曲线的标准方程为x2 4 -y2=1. 【答案】 (1)B (2)x2 4 -y2=1 (1)求双曲线标准方程的答题模板 (2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法 ①与双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 共渐近线的方程可设为x2 a2 -y2 b2 =λ(λ≠0); ②若双曲线的渐近线方程为 y=±b ax,则双曲线的方程可设为x2 a2 -y2 b2 =λ(λ≠0); ③若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为x2 m +y2 n =1(mn<0)或 mx2+ny2= 1(mn<0). 1.(2020·安阳模拟)过双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦点 F(c,0)作其渐近线 y= 3 2 x 的垂线,垂足为 M,若 S△OMF=4 3(O 为坐标原点),则双曲线的标准方程为( ) A.x2 4 -y2 3 =1 B.x2 8 -y2 6 =1 C.x2 16 -y2 12 =1 D.x2 32 -y2 24 =1 解析:选 C.由题意易得 b a = 3 2 , 1 2ab=4 3, 解得 a=4, b=2 3, 所以双曲线的标准方程为x2 16 -y2 12 =1,故选 C. 2.过双曲线 C:x2 a2 -y2 b2 =1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点 F 为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为 ( ) A.x2 4 -y2 12 =1 B.x2 7 -y2 9 =1 C.x2 8 -y2 8 =1 D.x2 12 -y2 4 =1 解析:选 A.因为渐近线 y=b ax 与直线 x=a 交于点 A(a,b),c=4 且 (4-a)2+b2=4, 解得 a2=4,b2=12,因此双曲线的标准方程为x2 4 -y2 12 =1. 3.经过点 P(3,2 7),Q(-6 2,7)的双曲线的标准方程为________. 解析:设双曲线的方程为 mx2+ny2=1(mn<0),因为所求双曲线经过点 P(3,2 7),Q(- 6 2,7),所以 9m+28n=1, 72m+49n=1, 解得 m=- 1 75 , n= 1 25. 故所求双曲线方程为y2 25 -x2 75 =1. 答案:y2 25 -x2 75 =1 双曲线的几何性质(多维探究) 角度一 求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长 已知离心率为 5 2 的双曲线 C:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, M 是双曲线 C 的一条渐近线上的点,且 OM⊥MF2,O 为坐标原点,若 S△OMF2=16,则双 曲线的实轴长是( ) A.32 B.16 C.84 D.4 【解析】 由题意知 F2(c,0),不妨令点 M 在渐近线 y=b ax 上,由题意可知|F2M|= bc a2+b2 =b,所以|OM|= c2-b2=a.由 S△OMF2=16,可得 1 2ab=16,即 ab=32,又 a2+b2=c2,c a = 5 2 ,所以 a=8,b=4,c=4 5,所以双曲线 C 的实轴长为 16.故选 B. 【答案】 B 角度二 求双曲线的渐近线方程 (1)(2020·福建厦门一模)已知双曲线 C:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的一个焦点为 F, 点 A,B 是 C 的一条渐近线上关于原点对称的两点,以 AB 为直径的圆过 F 且交 C 的左支于 M,N 两点,若|MN|=2,△ABF 的面积为 8,则 C 的渐近线方程为( ) A.y=± 3x B.y=± 3 3 x C.y=±2x D.y=±1 2x (2)过双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 O:x2+y2=a2 的两条切线,切点为 A, B,双曲线的左顶点为 C,若∠ACB=120°,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=± 3x B.y=± 3 3 x C.y=± 2x D.y=± 2 2 x 【解析】 (1)设双曲线的另一个焦点为 F′,由双曲线的对称性,可得四边形 AFBF′是 矩形, 所以 S△ABF=S△ABF′, 即 bc=8, 由 x2+y2=c2, x2 a2 -y2 b2 =1 可得 y=±b2 c , 则|MN|=2b2 c =2,即 b2=c, 所以 b=2,c=4, 所以 a= c2-b2=2 3, 所以 C 的渐近线方程为 y=± 3 3 x, 故选 B. (2)如图所示,连接 OA,OB, 设双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的焦距为 2c(c>0),则 C(-a,0),F(-c,0). 由双曲线和圆的对称性知,点 A 与点 B 关于 x 轴对称,则∠ACO=∠BCO=1 2 ∠ACB= 1 2 ×120°=60°. 因为|OA|=|OC|=a,所以△ACO 为等边三角形,所以∠AOC=60°. 因为 FA 与圆 O 相切于点 A,所以 OA⊥FA, 在 Rt△AOF 中,∠AFO=90°-∠AOF=90°-60°=30°,所以|OF|=2|OA|,即 c =2a, 所以 b= c2-a2= (2a)2-a2= 3a, 故双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±b ax,即 y=± 3x. 【答案】 (1)B (2)A 角度三 求双曲线的离心率(或范围) (2019·高考全国卷Ⅱ)设 F 为双曲线 C:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦点,O 为坐 标原点,以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则 C 的离心率 为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 【解析】 如图,由题意,知以 OF 为直径的圆的方程为 x-c 2 2 +y2=c2 4 ①,将 x2+y2 =a2 记为②式,①-②得 x=a2 c ,则以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 的相交弦所在直线的 方程为 x=a2 c ,所以|PQ|=2 a2- a2 c 2 .由|PQ|=|OF|,得 2 a2- a2 c 2 =c,整理得 c4-4a2c2 +4a4=0,即 e4-4e2+4=0,解得 e= 2,故选 A. 【答案】 A 与双曲线几何性质有关问题的解题策略 (1)求双曲线的离心率(或范围):依据题设条件,将问题转化为关于 a,c 的等式(或不等 式),解方程(或不等式)即可求得. (2)求双曲线的渐近线方程:依据题设条件,求双曲线中 a,b 的值或 a 与 b 的比值,进 而得出双曲线的渐近线方程. (3)求双曲线方程:依据题设条件,求出 a,b 的值或依据双曲线的定义,即可求双曲线 的方程. (4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长:依题设条件及 a,b,c 之间的关系求解. 1.(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线 C:x2 4 -y2 2 =1 的右焦点为 F,点 P 在 C 的一条渐近线上, O 为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为( ) A.3 2 4 B.3 2 2 C.2 2 D.3 2 解析:选 A.不妨设点 P 在第一象限,根据题意可知 c2=6,所以|OF|= 6. 又 tan∠POF=b a = 2 2 ,所以等腰三角形 POF 的高 h= 6 2 × 2 2 = 3 2 ,所以 S△ PFO= 1 2 × 6× 3 2 =3 2 4 . 2.(2020·广东汕尾一模)已知双曲线 C:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0),F 是双曲线 C 的右焦 点,A 是双曲线 C 的右顶点,过 F 作 x 轴的垂线,交双曲线于 M,N 两点.若 tan∠MAN= -3 4 ,则双曲线 C 的离心率为( ) A.3 B.2 C.4 3 D. 2 解析:选 B.由题意可知 tan∠MAN=-3 4 = 2tan∠MAF 1-tan2∠MAF , 解得 tan∠MAF=3, 可得 b2 a c-a =3,可得 c2+2a2-3ac=0,e2+2-3e=0, 因为 e>1,所以解得 e=2. 故选 B. [基础题组练] 1.“k<9”是“方程 x2 25-k + y2 k-9 =1 表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.因为方程 x2 25-k + y2 k-9 =1 表示双曲线,所以(25-k)(k-9)<0,所以 k<9 或 k>25, 所以“k<9”是“方程 x2 25-k + y2 k-9 =1 表示双曲线”的充分不必要条件,故选 A. 2.双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为 3,则其渐近线方程为( ) A.y=± 2x B.y=± 3x C.y=± 2 2 x D.y=± 3 2 x 解析:选 A.法一:由题意知,e=c a = 3,所以 c= 3a,所以 b= c2-a2= 2a,所以b a = 2,所以该双曲线的渐近线方程为 y=±b ax=± 2x,故选 A. 法二:由 e=c a = 1+ b a 2 = 3,得b a = 2,所以该双曲线的渐近线方程为 y=±b ax= ± 2x,故选 A. 3.(2020·广东揭阳一模)过双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的两焦点且与 x 轴垂直的直线 与双曲线的四个交点组成一个正方形,则该双曲线的离心率为( ) A. 5-1 B. 5+1 2 C.3 2 D.2 解析:选 B.将 x=±c 代入双曲线的方程得 y2=b4 a2 ⇒y=±b2 a ,则 2c=2b2 a ,即有 ac=b2= c2-a2,由 e=c a ,可得 e2-e-1=0,解得 e= 5+1 2 (舍负).故选 B. 4.设双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦点是 F,左、右顶点分别是 A1,A2,过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B,C 两点.若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±1 2x B.y=± 2 2 x C.y=±x D.y=± 2x 解析:选 C. 如图,不妨令 B 在 x 轴上方,因为 BC 过右焦点 F(c,0),且垂直于 x 轴,所以可求得 B, C 两点的坐标分别为 c,b2 a , c,-b2 a .又 A1,A2 的坐标分别为(-a,0),(a,0). 所以A1B→ = c+a,b2 a ,A2C→ = c-a,-b2 a . 因为 A1B⊥A2C,所以A1B→ ·A2C→ =0, 即(c+a)(c-a)-b2 a ·b2 a =0, 即 c2-a2-b4 a2 =0, 所以 b2-b4 a2 =0,故b2 a2 =1,即b a =1. 又双曲线的渐近线的斜率为±b a , 故该双曲线的渐近线的方程为 y=±x. 5.(2020·河北衡水三模)过双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦点 F( 5,0)作斜率为 k(k <-1)的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直,且垂足为 A,交另一条渐近线于点 B,若 S△BOF=5 3(O 为坐标原点),则 k 的值为( ) A.- 2 B.-2 C.- 3 D.- 5 解析:选 B.由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为 y=-1 kx,过第二象限的渐近线 的方程为 y=1 kx,直线 FB 的方程为 y=k(x- 5),联立方程得 y=k(x- 5), y=1 kx ⇒x= 5k2 k2-1 , 所以 y= 5k k2-1 ,所以 S△BOF=1 2|OF|×|yB|=1 2 × 5×| 5k k2-1|=5 2 - k k2-1 . 令5 2 - k k2-1 =5 3 ,得 k=-2 或 k=1 2(舍).故选 B. 6.(2020·黄山模拟)过双曲线 E:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左焦点(- 5,0),作圆(x- 5)2 +y2=4 的切线,切点在双曲线 E 上,则 E 的离心率等于( ) A.2 5 B. 5 C. 5 3 D. 5 2 解析:选 B.设圆的圆心为 G,双曲线的左焦点为 F.由圆的方程(x- 5)2+y2=4,知圆 心坐标为 G( 5,0),半径 R=2,则 FG=2 5. 设切点为 P, 则 GP⊥FP,PG=2,PF=2+2a, 由|PF|2+|PG|2=|FG|2, 即(2+2a)2+4=20, 即(2+2a)2=16,得 2+2a=4,a=1,又 c= 5, 所以双曲线的离心率 e=c a = 5,故选 B. 7.设 F 为双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦点,若线段 OF 的垂直平分线与双曲线 的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为1 2|OF|,则双曲线的离心率为( ) A.2 2 B.2 3 3 C.2 3 D.3 解析:选 B.双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±b ax,线段 OF 的垂直平分 线为直线 x=c 2 ,将 x=c 2 代入 y=b ax,则 y=bc 2a ,则交点坐标为 c 2 ,bc 2a , 点 c 2 ,bc 2a 到直线 y=-b ax,即 bx+ay=0 的距离 d= |bc 2 +bc 2 | a2+b2 =1 2|OF|=c 2 ,得 c=2b= 2 c2-a2,即 4a2=3c2, 所以双曲线的离心率 e=c a =2 3 3 ,故选 B. 8.已知双曲线 C:x2 3 -y2=1,O 为坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两 条渐近线的交点分别为 M,N.若△OMN 为直角三角形,则|MN|=( ) A.3 2 B.3 C.2 3 D.4 解析:选 B.因为双曲线x2 3 -y2=1 的渐近线方程为 y=± 3 3 x,所以∠MON=60°.不妨设 过点 F 的直线与直线 y= 3 3 x 交于点 M,由△OMN 为直角三角形,不妨设∠OMN=90°, 则∠MFO=60°,又直线 MN 过点 F(2,0),所以直线 MN 的方程为 y=- 3(x-2), 由 y=- 3(x-2), y= 3 3 x, 得 x=3 2 , y= 3 2 , 所以 M 3 2 , 3 2 ,所以|OM|= 3 2 2 + 3 2 2 = 3,所 以|MN|= 3|OM|=3,故选 B. 9.(2020·湛江模拟)设 F 为双曲线 E:x2 a2 -y2 b2 =1(a,b>0)的右焦点,过 E 的右顶点作 x 轴的垂线与 E 的渐近线相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,四边形 OAFB 为菱形,圆 x2+y2 =c2(c2=a2+b2)与 E 在第一象限的交点是 P,且|PF|= 7-1,则双曲线 E 的方程是( ) A.x2 6 -y2 2 =1 B.x2 2 -y2 6 =1 C.x2 3 -y2=1 D.x2-y2 3 =1 解析:选 D.双曲线 E:x2 a2 -y2 b2 =1 的渐近线方程为 y=±b ax, 因为四边形 OAFB 为菱形, 所以对角线互相垂直平分,所以 c=2a,∠AOF=60°, 所以b a = 3. 则有 x2 a2 - y2 3a2 =1, x2+y2=c2=4a2, 解得 P 7 2 a,3 2a . 因为|PF|= 7-1, 所以 7 2 a-2a 2 + 3 2a 2 =( 7-1)2,解得 a=1, 则 b= 3, 故双曲线 E 的方程为 x2-y2 3 =1. 故选 D. 10.已知双曲线x2 9 -y2 b2 =1(b>0)的左顶点为 A,虚轴长为 8,右焦点为 F,且⊙F 与双 曲线的渐近线相切,若过点 A 作⊙F 的两条切线,切点分别为 M,N,则|MN|=( ) A.8 B.4 2 C.2 3 D.4 3 解析:选 D.因为双曲线x2 9 -y2 b2 =1(b>0)的虚轴长为 8, 所以 2b=8,解得 b=4, 因为 a=3, 所以双曲线的渐近线方程为 y=±4 3x,c2=a2+b2=25,A(-3,0),所以 c=5,所以 F(5, 0), 因为⊙F 与双曲线的渐近线相切, 所以⊙F 的半径为|4×5+0| 42+32 =4, 所以|MF|=4, 因为|AF|=a+c=3+5=8, 所以|AM|= 82-42=4 3, 因为 S 四边形 AMFN=2×1 2|AM|·|MF|=1 2|AF|·|MN|, 所以 2×1 2 ×4 3×4=1 2 ×8|MN|, 解得|MN|=4 3,故选 D. 11.(2020·开封模拟)过双曲线 C:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦点 F 作圆 x2+y2=a2 的 切线 FM(切点为 M),交 y 轴于点 P,若PM→ =2MF→ ,则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 6 2 C. 3 D.2 解析:选 B.设 P(0,3m),由PM→ =2MF→ ,可得点 M 的坐标为 2 3c,m ,因为 OM⊥PF, 所以m 2 3c ·3m -c =-1,所以 m2=2 9c2,所以 M 2 3c,± 2c2 9 ,由|OM|2+|MF|2=|OF|2,|OM|=a, |OF|=c 得,a2+ c 3 2 +2c2 9 =c2,a2=2 3c2,所以 e=c a = 6 2 ,故选 B. 12.过双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两 点,D 为虚轴上的一个端点,且△ABD 为钝角三角形,则此双曲线离心率的取值范围为( ) A.(1, 2) B.( 2, 2+ 2) C.( 2,2) D.(1, 2)∪( 2+ 2,+∞) 解析:选 D.设双曲线:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左焦点为 F1(-c,0), 令 x=-c,可得 y=±b2 a ,可设 A -c,b2 a ,B -c,-b2 a . 又设 D(0,b),可得AD→ = c,b-b2 a ,DA→ = -c,b2 a -b , AB→= 0,-2b2 a ,DB→ = -c,-b-b2 a . 由△ABD 为钝角三角形,可得∠DAB 为钝角或∠ADB 为钝角. 当∠DAB 为钝角时,可得AD→ ·AB→<0,即为 0-2b2 a · b-b2 a <0,化为 a>b,即有 a2>b2= c2-a2.可得 c2<2a2,即 e=c a< 2.又 e>1,可得 10,由 e=c a , 可得 e4-4e2+2>0.又 e>1,可得 e> 2+ 2. 综上可得,e 的范围为(1, 2)∪( 2+ 2,+∞).故选 D. 13.焦点在 x 轴上,焦距为 10,且与双曲线y2 4 -x2=1 有相同渐近线的双曲线的标准方 程是________. 解析:设所求双曲线的标准方程为y2 4 -x2=-λ(λ>0),即x2 λ - y2 4λ =1,则有 4λ+λ=25, 解得λ=5,所以所求双曲线的标准方程为x2 5 -y2 20 =1. 答案:x2 5 -y2 20 =1 14.过双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左焦点 F1 作圆 x2+y2=a2 的切线交双曲线的右支 于点 P,且切点为 T,已知 O 为坐标原点,M 为线段 PF1 的中点(点 M 在切点 T 的右侧),若 △OTM 的周长为 4a,则双曲线的渐近线方程为________. 解析:连接 OT,则 OT⊥F1T, 在直角三角形 OTF1 中,|F1T|= OF21-OT2= c2-a2=b. 设双曲线的右焦点为 F2,连接 PF2,M 为线段 F1P 的中点,O 为坐标原点, 所以 OM=1 2PF2, 所以|MO|-|MT|=1 2|PF2|- 1 2|PF1|-|F1T| =1 2(|PF2|-|PF1|)+b=1 2 ×(-2a)+b=b-a. 又|MO|+|MT|+|TO|=4a,即|MO|+|MT|=3a, 故|MO|=b+2a 2 ,|MT|=4a-b 2 , 由勾股定理可得 a2+ 4a-b 2 2 = b+2a 2 2 ,即b a =4 3 , 所以渐近线方程为 y=±4 3x. 答案:y=±4 3x 15.已知 M(x0,y0)是双曲线 C:x2 2 -y2=1 上的一点,F1,F2 是双曲线 C 的两个焦点.若 MF1 → ·MF2 → <0,则 y0 的取值范围是________. 解析:由题意知 a= 2,b=1,c= 3, 设 F1(- 3,0),F2( 3,0), 则MF1 → =(- 3-x0,-y0),MF2 → =( 3-x0,-y0). 因为MF1 → ·MF2 → <0, 所以(- 3-x0)( 3-x0)+y20<0, 即 x20-3+y20<0. 因为点 M(x0,y0)在双曲线 C 上, 所以x20 2 -y20=1,即 x20=2+2y20, 所以 2+2y20-3+y20<0,所以- 3 3 0,b>0)的左、右两个焦点,若直线 y=x 与双曲线 C 交于 P,Q 两点,且四边形 PF1QF2 为矩形,则双曲线的离心率为________. 解析:由题意可得,矩形的对角线长相等,将直线 y=x 代入双曲线 C 方程,可得 x= ± a2b2 b2-a2 ,所以 2· a2b2 b2-a2 =c,所以 2a2b2=c2(b2-a2),即 2(e2-1)=e4-2e2,所以 e4 -4e2+2=0.因为 e>1,所以 e2=2+ 2,所以 e= 2+ 2. 答案: 2+ 2 [综合题组练] 1.过双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左焦点 F(-c,0)作圆 O:x2+y2=a2 的切线,切点 为 E,延长 FE 交双曲线于点 P,若 E 为线段 FP 的中点,则双曲线的离心率为( ) A. 5 B. 5 2 C. 5+1 D. 5+1 2 解析:选 A. 法一:如图所示,不妨设 E 在 x 轴上方,F′为双曲线的右焦 点,连接 OE,PF′, 因为 PF 是圆 O 的切线,所以 OE⊥PE,又 E,O 分别为 PF, FF′的中点,所以|OE|=1 2|PF′|,又|OE|=a,所以|PF′|=2a,根 据双曲线的性质,|PF|-|PF′|=2a,所以|PF|=4a,所以|EF|=2a, 在 Rt△OEF 中,|OE|2+|EF|2=|OF|2,即 a2+4a2=c2,所以 e= 5,故选 A. 法二:连接 OE,因为|OF|=c,|OE|=a,OE⊥EF,所以|EF|=b,设 F′为双曲线的右焦 点,连接 PF′,因为 O,E 分别为线段 FF′,FP 的中点,所以|PF|=2b,|PF′|=2a,所以|PF| -|PF′|=2a,所以 b=2a,所以 e= 1+ b a 2 = 5. 2.(2020·汉中模拟)设 F1(-c,0),F2(c,0)是双曲线 C:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左, 右焦点,点 P 是 C 右支上异于顶点的任意一点,PQ 是∠F1PF2 的平分线,过点 F1 作 PQ 的 垂线,垂足为 Q,O 为坐标原点,则|OQ|( ) A.为定值 a B.为定值 b C.为定值 c D.不确定,随 P 点位置变化而变化 解析:选 A.延长 F1Q,PF2 交于点 M,则三角形 PF1M 为等腰三角形,可得 Q 为 F1M 的中点,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=|F2M|=2a,由三角形中位线定理可得|OQ|= 1 2|F2M|=a,故选 A. 3.以椭圆x2 9 +y2 5 =1 的顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线 C,其左、右焦点分别是 F1, F2.已知点 M 的坐标为(2,1),双曲线 C 上的点 P(x0,y0)(x0>0,y0>0)满足PF1 → ·MF1 → |PF1 → | = F2F1 → ·MF1 → |F2F1 → | , 则 S△PMF1-S△PMF2=( ) A.2 B.4 C.1 D.-1 解析:选 A.由题意,知双曲线方程为x2 4 -y2 5 =1,|PF1|-|PF2|=4,由PF1 → ·MF1 → |PF1 → | = F2F1 → ·MF1 → |F2F1 → | ,可得F1P→ ·F1M→ |MF1 → ||F1P→ | =F1F2 → ·F1M→ |MF1 → ||F1F2 → | ,即 F1M 平分∠PF1F2. 又结合平面几何知识可得,△F1PF2 的内心在直线 x=2 上,所以点 M(2,1)就是△F1PF2 的内心. 故 S△PMF1-S△PMF2=1 2 ×(|PF1|-|PF2|)×1=1 2 ×4×1=2. 4.(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线 C:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1, F2,过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A,B 两点.若F1A→ =AB→,F1B→ ·F2B→ =0,则 C 的离心率为________. 解析:通解:因为F1B→ ·F2B→ =0,所以 F1B⊥F2B,如图. 所以|OF1|=|OB|,所以∠BF1O=∠F1BO,所以∠BOF2=2∠BF1O.因为F1A→ =AB→,所以 点 A 为 F1B 的中点,又点 O 为 F1F2 的中点,所以 OA∥BF2,所以 F1B⊥OA,因为直线 OA, OB 为双曲线 C 的两条渐近线,所以 tan ∠BF1O=a b ,tan ∠BOF2=b a.因为 tan ∠BOF2= tan(2∠BF1O),所以b a = 2×a b 1- a b 2 ,所以 b2=3a2,所以 c2-a2=3a2,即 2a=c,所以双曲线的 离心率 e=c a =2. 优解:因为F1B→ ·F2B→ =0,所以 F1B⊥F2B, 在 Rt△F1BF2 中,|OB|=|OF2|,所以∠OBF2=∠OF2B,又F1A→ =AB→,所以 A 为 F1B 的 中点,所以 OA∥F2B,所以∠F1OA=∠OF2B.又∠F1OA=∠BOF2,所以△OBF2 为等边三角 形.由 F2(c,0)可得 B c 2 , 3c 2 ,因为点 B 在直线 y=b ax 上,所以 3 2 c=b a·c 2 ,所以b a = 3, 所以 e= 1+b2 a2 =2. 答案:2 5.已知双曲线 C:x2 4 -y2=1,直线 l:y=kx+m 与双曲线 C 相交于 A,B 两点(A,B 均 异于左、右顶点),且以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D,则直线 l 所过定点为 ________. 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 y=kx+m, x2 4 -y2=1, 得(1-4k2)x2-8kmx-4(m2+1)=0, 所以Δ=64m2k2+16(1-4k2)(m2+1)>0,x1+x2= 8mk 1-4k2 >0,x1x2=-4(m2+1) 1-4k2 <0, 所以 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=m2-4k2 1-4k2 . 因为以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D(-2,0),所以 kAD·kBD=-1, 即 y1 x1+2 · y2 x2+2 =-1, 所以 y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0, 即m2-4k2 1-4k2 +-4(m2+1) 1-4k2 + 16mk 1-4k2 +4=0, 所以 3m2-16mk+20k2=0,解得 m=2k 或 m=10k 3 . 当 m=2k 时,l 的方程为 y=k(x+2),直线过定点(-2,0),与已知矛盾; 当 m=10k 3 时,l 的方程为 y=k x+10 3 ,直线过定点 -10 3 ,0 ,经检验符合已知条件. 故直线 l 过定点 -10 3 ,0 . 答案: -10 3 ,0 6.已知 P 为双曲线 C:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)右支上的任意一点,经过点 P 的直线与 双曲线 C 的两条渐近线分别相交于 A,B 两点.若点 A,B 分别位于第一、四象限,O 为坐 标原点,当AP→=1 2PB→时,△AOB 的面积为 2b,则双曲线 C 的实轴长为________. 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),由AP→=1 2PB→,得(x-x1,y-y1)=1 2(x2-x,y2 -y), 则 x=2 3x1+1 3x2,y=2 3y1+1 3y2, 所以 (2 3x1+1 3x2)2 a2 - (2 3y1+1 3y2)2 b2 =1. 由题意知 A 在直线 y=b ax 上,B 在 y=-b ax 上,则 y1=b ax1,y2=-b ax2. 所以 (2 3x1+1 3x2)2 a2 - (2 3y1+1 3y2)2 b2 =1,即 b2(2 3x1+1 3x2)2-a2(2b 3ax1- b 3ax2)2=a2b2, 化简得:a2=8 9x1x2, 由渐近线的对称性可得 sin∠AOB=sin 2∠AOx = 2sin∠AOxcos∠AOx sin2∠AOx+cos2∠AOx = 2tan∠AOx tan2∠AOx+1 = 2b a (b a )2+1 = 2ab b2+a2. 所以△AOB 的面积为1 2|OA||OB|sin∠AOB=1 2 x21+y21· x22+y22·sin∠AOB =1 2 x21+(b ax1)2· x22+(-b ax2)2· 2ab b2+a2 =x1x2· 1+(b a )2· 1+(b a )2· ab b2+a2 =9 8a2· ab b2+a2 ·[1+(b a)2]=9 8ab=2b,解得 a=16 9 .所以双曲线 C 的实轴长为32 9 . 答案:32 9
查看更多

相关文章

您可能关注的文档