河南省林州市第一中学2019-2020学年高二3月线上调研考试数学（理）试题

河南省林州市第一中学2019-2020学年高二3月线上调研考试数学（理）试题

林州一中2018级高二下3月调研 数学（理）试卷 一、单选题（每题5分，共60分）‎ ‎1.函数 在区间 上的平均变化率为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 B 解 析 ‎ .‎ ‎2.“ ”是“ ”成立的（    ）‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 答 案 B 解 析 ‎ .‎ ‎3.双曲线 ： 的离心率是（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 D 解 析 双曲线 ： 化为标准方程是 ，‎ 其离心率是 .‎ ‎4.函数 的单调增区间为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 D 解 析 ‎ ， .‎ ‎5.设等差数列 前 项和为 ，且 ，则 （    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 C 解 析 设等差数列 的公差为 .‎ 由 ，得 ，‎ 得 ，得 ，所以 ，‎ 所以 .‎ ‎6.已知 满足 ，则 的最大值为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 A 解 析 画出不等式组表示的平面区域，‎ 当 、 时， .‎ ‎7.设 ，函数 为奇函数，曲线 的一条切线的切点的纵坐标是 ，则该切线方程为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 A 解 析 因为函数 是奇函数，‎ 所以 对一切 恒成立，‎ 即 对一切 恒成立，‎ 即 对一切 恒成立，‎ 所以 ，解得 ，‎ 所以 ，所以 .‎ 因为曲线 的一条切线的切点的纵坐标是 ，‎ 所以令 ，解得 .‎ 所以曲线 的这条切线的切点的坐标为 ，‎ 切线的斜率为 .‎ 故曲线 的这条切线方程为 ，即 .‎ ‎8.若函数 ，则当 时， 的最大值为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 D 解 析 ‎ ， ‎ 当 时， ， 是增函数， ‎ 当 时， ， 是减函数， ‎ ‎∴ 最大值为 . ‎ ‎9.已知 ， ， ，若不等式 对已知的 ， 及任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 D 解 析 因为 ，‎ 当且仅当 时等号成立，所以 ，‎ 即 ，所以 .‎ ‎10.公差不为 的等差数列 的部分项 ， ， ， 构成公比为 的等比数列 ，且 ， ，则 （    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 B 解 析 设等差数列 的公差为 .‎ 因为等比数列 的公比为 ，‎ 且 ， ，所以 ， ， 构成公比为 的等比数列.‎ 所以 ，所以 ，得 .‎ 所以 .‎ 所以 ，‎ 即 ，解得 .‎ ‎11.椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 ，当 的周长最大时， 的面积是（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 C 解 析 设右焦点为 ，连接 ， ，‎ ‎∵ ，‎ ‎ .‎ ‎∴当直线 过右焦点时， 的周长最大.‎ 由椭圆的定义可得： 的周长的最大值为 ， .‎ 把 代入椭圆标准方程可得： ，解得 .‎ ‎∴此时 的面积 .‎ ‎12.已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线上一点，且满足 ，从点 引抛物线准线的垂线，垂足为 ，则 的内切圆的周长为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 答 案 A 解 析 如图，不妨设点 在第一象限，‎ 则 ， ， ，所以 ，‎ 此时 ，所以 .‎ 从而 的面积为 .‎ 易知点 ， ，所以 .‎ 设 的内切圆的半径为 ，内心为点 ，‎ 则由 ，‎ 得 ，解得 .‎ 所以 的内切圆的周长为 .‎ 二、填空题（每空5分，共20分）‎ ‎13.质点 按规律 做直线运动（位移单位：，时间单位：），则质点 在 时的瞬时速度为      （单位：）‎ 答 案 解 析 由 ，得 ，‎ 则质点 在 时的瞬时速度为  .‎ ‎14.设 ，则 的最小值为      .‎ 答 案 解 析 ‎ ，‎ 当且仅当 ，即 时取“ ”号.‎ ‎15.已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则      .‎ 答 案 解 析 由 ，则 ，‎ 所以 ，则 .‎ ‎16.已知函数，令 ，若函数 有四个零点，则实数 的取值范围为      .‎ 答 案 解 析 当 时， ，‎ 可理解为函数 与直线 的交点问题（如图），‎ 令 ，有 ，‎ 设切点 的坐标为 ，‎ 则过点 的切线方程为： ，‎ 将点 坐标代入可得： ，‎ 整理为： ，‎ 解得： 或 ，得： 或 .‎ 故 ，而 ， 两点之间的斜率为 ，故 .‎ 三、解答题 ‎17.（10分）已知函数 .‎ ‎(1)求不等式 的解集；（5分）‎ 答 案 原不等式等价于 ，或 ，或 ，‎ 解得 或 或 ．‎ ‎∴不等式的解集为 .‎ 解 析 无 ‎(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.（5分）‎ 答 案 由题意得，‎ 关于 的不等式 在 上恒成立．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ，即 ，解得 .‎ ‎∴实数 的取值范围是 .‎ 解 析 无 ‎18.（12分）在数列 中， ， .‎ ‎(1)证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；（4分）‎ 答 案 因为 ，‎ 所以数列 是公差为 ，首项为 的等差数列，‎ 所以 ，所以数列 的通项公式为 .‎ 解 析 无 ‎(2)求数列 的前 项和 （8分）.‎ 答 案 令 ①，‎ 则 ②，‎ ‎② ①得：‎ ‎ ，‎ 所以 ，‎ 所以 .‎ 解 析 无 ‎19.（12分）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .‎ ‎(1)求实数 的值；（4分）‎ 答 案 ‎ ，则 ，即 ，解得 .‎ 解 析 无 ‎(2)求函数 在 上的最大值.（8分）‎ 答 案 由小问1知 ，则 ，‎ 在区间 上， ，解得 ； ，解得，‎ 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，‎ 所以函数 在区间 上的最大值为 .‎ 解 析 无 ‎20.（12分）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 、 均为等边三角形， 为 的中点，点 在 上. ‎ ‎(1)求证：平面 平面 ；（5分）‎ 答 案 ‎ 、 均为等边三角形， 为 的中点，‎ 所以 ， ，又 ，‎ 所以 平面 ，即 平面 ，‎ 又 平面 ，所以平面 平面 .‎ 解 析 无 ‎(2)若点 是线段 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.（7分）‎ 答 案 因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，‎ 所以 平面 ，‎ 又 平面 ，所以 ，‎ 所以 两两相互垂直，‎ 故以 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系如下图所示：‎ 不妨设 ，则 ， ，‎ 则点 ， ， ， ， ， ，‎ 则 ， ， ，‎ 设平面 的法向量为 ，则 ，‎ 取 ， ， ，则 ，‎ ‎ ， ， ， ，‎ 则直线 与平面 所成角的正弦值为 .‎ 解 析 无 ‎21.（12分）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 .‎ ‎(1)求抛物线 的方程；（4分）‎ 答 案 由点 在抛物线 上，有 ，解得： ，‎ 由抛物线定义有： ，解： ，‎ 故抛物线 的方程为： .‎ 解 析 无 ‎(2)过焦点 的直线 与抛物线分别相交于 两点，点 的坐标分别为 ， ， 为坐标原点，若 ，求直线 的方程.（8分）‎ 答 案 设直线 的方程为： ，联立方程 ，‎ 消去 得： ，‎ 故有： ， ， ，‎ ‎ ，‎ 则 ，‎ 故 ，解得： ，‎ 所求直线 的方程为： 或 .‎ 解 析 无 ‎22.（12分）已知函数 .（4分）‎ ‎(1)求曲线 在点 处的切线方程；‎ 答 案 因为 ，所以 ．‎ 所以 ．又 ，‎ 所以曲线 在点 处的切线方程为 ，‎ 即 .‎ 解 析 无 ‎(2)若函数 ， 恰有 个零点，求实数 的取值范围.（8分）‎ 答 案 由题意得， ，所以 ．‎ 由 ，解得 ，‎ 故当 时， ，‎ ‎ 在 上单调递减；‎ 当 时， ， 在 上单调递增．‎ 所以 ，‎ 又 ， ，‎ 结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，‎ 则 ，解得 ，‎ 所以实数 的取值范围为 .‎ 解 析 无