湖南省长沙市周南中学2019-2020学年学业水平合格性考试数学压题卷二

湖南省长沙市周南中学2019-2020学年学业水平合格性考试数学压题卷二

学业水平合格性考试压题卷二 一、单选题 ‎1．已知全集,集合,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．函数是（ ）‎ A．偶函数且最小正周期为 B．奇函数且最小正周期为 C．偶函数且最小正周期为 D．奇函数且最小正周期为 ‎4．若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知向量，，且，则( )‎ A． B． C． D．5‎ ‎6．已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ f ‎ 那么函数一定存在零点的区间是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎7．圆与直线的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况都有可能 ‎8．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知实数，满足，则的最小值为（ ）.‎ A．0 B．1 C．2 D．4‎ 二、填空题 ‎10．已知函数，则_____________‎ ‎11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则等于________.‎ ‎12．某空间几何体的三视图如图所示（单位：），那么该几何体的表面积是_________.‎ ‎13．如图，在四边形中，设，，，则可用表示为_____．‎ 三、解答题 ‎14.已知函数f(x)=2sin(x-),‎ ‎(1)写出函数f(x)的周期；‎ ‎（2）将函数f(x)图像上所有的点向左平移个单位，得到函数g(x)的图像，写出函数g(x)的表达式，并判断函数g(x)的奇偶性. ‎ ‎ ‎ ‎15．某校两个班级100名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区如下表：‎ 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 ‎（1）求频率表分布直方图中的值；‎ ‎（2）根据频率表分布直方图，估计这100名学生这次考试成绩的平均分；‎ ‎（3）现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.‎ ‎16．如图，是正方形，直线底面，，是的中点.‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正切值.‎ ‎17．如图，一边靠学校院墙，其他三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的边，面积为 .求与之间的函数关系式，并求当时的值.‎ ‎18．设函数，数列满足（，且）．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，若对 恒成立，求实数的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，再计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 集合，则，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了交集补集的运算，属于简单题.‎ ‎2．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可 ‎【详解】‎ 从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共种，‎ 而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.‎ ‎3．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二倍角的余弦公式及三角函数的性质即可求出答案．‎ ‎【详解】‎ 解：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数是偶函数且最小正周期，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二倍角的余弦公式，考查三角函数的性质，属于基础题．‎ ‎4．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用直线的倾斜角和斜率的概念，利用直线的斜率公式，求得直线的倾斜角.‎ ‎【详解】‎ 解：直线经过O（0，0），两点，设直线的倾斜角为α，α∈[0，π），‎ 则tanα＝＝，‎ ‎∴α＝，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的倾斜角和斜率，直线的斜率公式，属于基础题.‎ ‎5．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量垂直的坐标表示求得，由此可求出答案．‎ ‎【详解】‎ 解：∵，，且，‎ ‎∴，则，‎ ‎∴，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量垂直的坐标运算，考查向量的模，属于基础题．‎ ‎6．C ‎【解析】‎ 定义在上的函数的图象是连续不断的，由图知满足，‎ 根据零点存在定理可知在一点存在零点.‎ 故选C.‎ 点睛: 本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间[a,b]内有零点,即存在,使得,这个c也就是方程的实数根.但是反之不一定成立.‎ ‎7．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过比较圆心到直线的距离和半径即可得到位置关系.‎ ‎【详解】‎ 圆的圆心坐标是，半径是，因为圆心到直线的距离，满足，所以圆与直线的位置关系是相离，‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系的判定，比较圆心到直线的距离和半径即可.‎ ‎8．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 奇函数满足两点：1.定义域关于原点对称；2. 。根据函数易判断增减性。‎ ‎【详解】‎ A:定义域不关于原点对称，所以A错；‎ B：定义域不关于原点对称，所以B错；‎ C: 是周期函数，增减区间都有，所以C错；‎ D: 满足是奇函数又是增函数特点，所以D正确。‎ 故答案选：D ‎【点睛】‎ 此题考查奇函数和增函数，特别注意奇偶性必须满足定义域关于原点对称这个条件，属于简单题目。‎ ‎9．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式表示的平面区域，然后可得目标函数经过平面区域内的点时取得最小值.‎ ‎【详解】‎ 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以，，为顶点的三角形区域（包含边界），‎ 由图易得当目标函数经过平面区域内的点时，‎ 取得最小值，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划，正确画出题中的不等式组表示的平面区域是解题的关键，属于基础题.‎ ‎10．2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数解析式，代入即可求解.‎ ‎【详解】‎ 函数，‎ 则.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数求值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.‎ ‎11．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，，，再利用正弦定理得解.‎ ‎【详解】‎ 因为，且，‎ 所以，，，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎12．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图判断出原图为四棱锥和四棱柱，由此计算出几何体的表面积.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，几何体由四棱锥和四棱柱组合而成.四棱锥侧面的高为，所以几何体的表面积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据三视图还原原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的加法与减法法则，在图形中寻找回路即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的加法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.‎ ‎14．(1) a=0.005;(2) 74.5;(3)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：（１）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；‎ ‎（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；‎ ‎（3）先分别求出3，4，5组的人数，再利用古典概型知识求解．‎ 试题解析：‎ 解：（1）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005． ‎ ‎（2）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5‎ ‎（3）由直方图，得：‎ 第3组人数为0.3×100=30，‎ 第4组人数为0.2×100=20人，‎ 第5组人数为0.1×100=10人．‎ 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，‎ 每组分别为：‎ 第3组：人，‎ 第4组：人，‎ 第5组：=1人．‎ 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人． ‎ 设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：‎ ‎（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），‎ 其中恰有1人的分数不低于90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为.‎ 考点：①频率分布直方；②平均数的求法；③古典概率．‎ ‎15．（1）证明见解析；（2）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，由三角形中位线可证得，根据线面平行判定定理可证得结论；‎ ‎（2）根据线面角定义可知所求角为，且，由长度关系可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接，交于，连接 四边形为正方形 为中点，又为中点 ‎ 平面，平面 平面 ‎（2）平面 直线与平面所成角即为 ‎ ‎ 设，则 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查立体几何中线面平行关系的证明、直线与平面所成角的求解；证明线面平行关系常采用两种方法：（1）在平面中找到所证直线的平行线；（2）利用面面平行的性质证得线面平行.‎ ‎16．,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，可知道，即可写出答案，令，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，,‎ 所以 即 ‎【点睛】‎ 本题考查函数关系的建立，解本类题型的关键在于读懂题意，需要注意的是实际问题中自变量的取值范围．属于基础题．‎ ‎17．（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据函数解析式化简题中的递推关系，结合等差数列的概念求解数列的通项公式；（Ⅱ）求出，进而得到不等式，利用分离变量法求解的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）因为（，且），‎ 所以．‎ 因为，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列，所以． ‎ ‎（Ⅱ）‎ 要使对恒成立，‎ 只要使对恒成立，‎ 只要使对恒成立，‎ 只要，‎ 故实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的概念和性质、数列的综合应用,分离变量法求最值．‎